高中数学第一章 1_2 类比推理 课件 18页

1 第一章 推理与证明 1.2 类比推理 2 复习 2. 归纳推理的一般步骤 : (1) 通过观察个别情况发现某些相同性质 ; (2) 从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题 ( 猜想 ). 1. 什么是归纳推理 ? 部分　　　　整体 特殊 一般 3 从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子 . 他的思路是这样的： 茅草是齿形的 ； 茅草能割破手 . 我需要一种能割断木头的工具； 它也可以是齿形的 . 这个推理过程是归纳推理吗？ 4 试根据等式的性质猜想不等式的性质。 等式的性质： (1) a=b a+c=b+c; (2) a=b  ac=bc; (3) a=b  a 2 =b 2 ; 等等。 猜想不等式的性质： (1) a ＞ b a+c ＞ b+c; (2) a ＞ b  ac ＞ bc; (3) a ＞ b  a 2 ＞ b 2 ; 等等。 问：这样猜想出的结论是否一定正确？ 5 火星 地 球 相似点 : 绕太阳运转、绕轴自转、有大气层、有季节变换、大部 分时间的温度适合地球上的某些已知生物的生存等。 地球上有生命 火星上可能有生命 猜想 火星上是否有生命？ 相似点 : 6 由两类对象具有某些类似特征，和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为 类比推理（简称类比）． 类比推理的定义 : 简言之，类比推理是由 特殊到特殊 的推理． 发 明行星三大 运动 定律的 开 普勒 曾说类 比推理是「自然奧妙的 参与者 」和自己「最好的老 师 」 数学家波利亚曾指出“类比是一个伟大的引路人 , 求解立体几何往往有赖于平面几何的类比问题 .” 7 类比推理的特点 ; 1. 类比是从人们已经掌握了的事物的属性 , 推测正在研究的事物的属性 , 是 以旧有的认识为基础 , 类比出新的结果 . 2. 类比是从一种事物的 特殊属性 推测另一种事物的 特殊属性 . 3. 类比的结果是猜测性的 不一定可靠 , 但它却有发现的功能 . 类比推理的一般步骤 : 观察、比较 联想、类推 猜想新结论 类比推理的一般步骤： ⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似性（或一致性）； ⑵ 用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个猜想； ⑶ 检验猜想。 8 例 1 、试将平面上的圆与空间的球进行类比 . 圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合 . 球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合 . 圆 弦 直径周长 面积 球 截面圆 大圆 表面积 体积 9 圆的概念和性质 球的概念和性质 与圆心距离相等的两弦相等 与圆心距离不相等的两弦不相等 , 距圆心较近的弦较长 以点 (x 0 ,y 0 ) 为圆心 , r 为半径的圆的方程为 (x-x 0 ) 2 +(y-y 0 ) 2 = r 2 圆心与弦 ( 非直径 ) 中点的连线垂直于弦 球心与不过球心的截面 ( 圆面 ) 的圆心的连线垂直于截面 与球心距离相等的两截面面积相等 与球心距离不相等的两截面面积不相等 , 距球心较近的面积较大 以点 (x 0 ,y 0 ,z 0 ) 为球心 , r 为半径的球的方程为 (x-x 0 ) 2 +(y-y 0 ) 2 +(z-z 0 ) 2 = r 2 利用圆的性质类比得出球的性质 球的体积 球的表面积 圆的周长 圆的面积 10 类比角度 实数的加法 实数的乘法 运算结果 若 a,b∈R, 则 a+b∈R 运算律 ( 交换律和结合律 ) a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c) 逆运算 加法的逆运算是减法 , 使得方程 a+x=0 有唯一解 x=-a 单位元 a+0=a 练习 1 类比实数的加法和乘法 , 列出它们相似的运算性质 . 若 a,b∈R, 则 ab∈R ab=ba (ab)c=a(bc) 乘法的逆运算是除法 , 使得 ax=1 有唯一解 x=1/a a·1=a 11 通过例 1 ，练习 1 你能得到 类比推理的一般模式 吗？ 类比推理的一般模式 : 所以 B 类事物可能具有性质 d ’ . A 类事物具有性质 a,b,c,d, B 类事物具有性质 a ’ ,b ’ ,c ’ , (a,b,c 与 a ’ ,b ’ ,c ’ 相似或相同） 12 例 2 类比平面内直角三角形的勾股定理 , 试 给出空间中四面体性质的猜想． 13 例 2 类比平面内直角三角形的勾股定理 , 试 给出空间中四面体性质的猜想． 直角三角形 3 个面两两垂直的四面体 ∠ C ＝ 90° 3 个边的长度 a ， b ， c 2 条直角边 a ， b 和 1 条斜边 c ∠ PDF ＝∠ PDE ＝∠ EDF ＝ 90° 4 个面的面积 S 1 ， S 2 ， S 3 和 S 3 个“直角面” S 1 ， S 2 ， S 3 和 1 个“斜面” S 14 15 练习 2 由图 (1) 有面积关系 : 则图 (2) 有体积关系 : 图 (1) 图 (2) 16 例 3 . 在平面上 , 设 h a ,h b ,h c 是三角形 ABC 三条边上的高 .P 为三角形内任一点 ,P 到相应三边的距离分别为 p a ,p b ,p c , 我们可以得到结论 : 试通过类比 , 写出在空间中的类似结论 . 平面上 空间中 图 形 结论 A B C P p a p b p c A B C D P 17 合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为 合情推理 。 通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理。 合情推理的应用 数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论。 证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向 18