【数学】青海省海东市2020届高三第四次模拟考试试题（文）（解析版） 17页

青海省海东市2020届高三第四次模拟考试数学试题（文）‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】解，即，解得，所以，‎ 所以.‎ 故选：D.‎ ‎2.已知复数，，则在复平面内对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】由可得，故，解得，故.故在复平面内对应的点位于第二象限.‎ 故选：B.‎ ‎3.已知等差数列的前项和为，，，则（ ）‎ A. 20 B. ‎22 ‎C. 24 D. 26‎ ‎【答案】A ‎【解析】，解得．‎ 又，‎ 则．‎ 故选：A．‎ ‎4.已知，则( )‎ A. a＞b＞c B. c＞b＞a C. a＞c＞b D. b＞a＞c ‎【答案】C ‎【解析】∵，∴，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∵，且，∴，‎ ‎∴，‎ 故选：C.‎ ‎5.若x，y满足约束条件，则的最大值为( )‎ A. 5 B. ‎6 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】由x，y满足约束条件，作出可行域如图，‎ 由，得yx，‎ 由图可知，当直线yx过可行域内点时 直线在y轴上的截距最小，最大.‎ 联立，解得 ‎∴目标函数z=x﹣2y的最大值为.‎ ‎ 故选：D.‎ ‎6.某公司对旗下的甲、乙两个门店在1至9月份的营业额（单位：万元）进行统计并得到如图折线图.‎ 下面关于两个门店营业额的分析中，错误的是( )‎ A. 甲门店的营业额折线图具有较好的对称性，故而营业额的平均值约为32万元 B. 根据甲门店的营业额折线图可知，该门店营业额的平均值在[20，25]内 C. 根据乙门店的营业额折线图可知，其营业额总体是上升趋势 D. 乙门店在这9个月份中的营业额的极差为25万元 ‎【答案】A ‎【解析】对于A，甲门店的营业额折线图具有较好的对称性，营业额平均值远低于32万元，A错误.‎ 对于B，甲门店的营业额的平均值为21.6，‎ 即该门店营业额的平均值在区间[20，25]内，B正确.‎ 对于C，根据乙门店的营业额折线图可知，其营业额总体是上升趋势，C正确.‎ 对于D，乙门店在这9个月中的营业额最大值为30万元，最小值为5万元，‎ 则极差为25万元，D正确.‎ 故选：A.‎ ‎7.著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，我们经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如某体育品牌的LOGO为，可抽象为如图所示的轴对称的优美曲线，下列函数中，其图象大致可“完美”局部表达这条曲线的函数是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】观察图象可知，函数的图象关于y轴对称，‎ 对于A选项，，为偶函数，‎ 对于B选项，，为奇函数，‎ 对于C选项，，为偶函数，‎ 对于D选项，，为奇函数，‎ 而选项B，D为奇函数，其图象关于原点对称，不合题意；‎ 对选项A而言，当时，如取，，则有，f（x）＜0，不合题意；‎ 故选：C ‎8.某几何体的三视图如图所示，则其体积是( )‎ A. B. 36π C. 63π D. 216+9π ‎【答案】C ‎【解析】由三视图知，该几何体是圆柱与圆锥的组合体，如图所示；‎ 则该组合体的体积为V=V柱+V锥=π32 6π323=63π.‎ 故选：C.‎ ‎9.已知函数的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于，若，则正数的最小值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵函数的图象与轴的两个相邻交点的距离等于，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 又∵，‎ ‎∴是的一条对称轴，‎ ‎∴， ，‎ ‎∴.‎ ‎∵‎ 故令，得为最小值.‎ 故选：B.‎ ‎10.已知函数在上是减函数，则的取值范围是（ ）.‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由，得到，‎ 因为在上是减函数，所以在上恒成立，‎ 所以，，，，‎ 所以，‎ 则的取值范围是．‎ 故选：B．‎ ‎11.某旅游景点安装有索道厢式缆车，在里面既安全又能欣赏美景.从早上八点开始，该景点缆车每五分钟发一个轿厢，小张和小李都在上午九点到九点半之间随机搭乘缆车上山，则小张和小李乘同一个轿厢上山的概率为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设小张到起点站的时间为9时分，小李到起点站的时间为9时分；‎ 所以：，‎ 记事件：小张和小李乘同一个轿厢上山；‎ 所以：，，，，，，；‎ 作出可性域以及目标区域（阴影部分）如图所示，‎ 可知．‎ 故选：B．‎ ‎12.已知（不在轴上）是双曲线上一点，，分别是的左、右焦点，记，，若，则的离心率的取值范围是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意知，‎ 则，‎ 点在双曲线右支上，‎ ‎，，‎ 又，，即，‎ 得，又，‎ ‎．‎ 故选：D．‎ 二、填空题.‎ ‎13.已知向量，，，则，的夹角为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意，设，的夹角为，‎ 向量，则，则有，‎ 又由，则；‎ 故答案为：．‎ ‎14.九连环是中国传统的智力玩具，用九个圆环相连成串，以解开为胜.解九连环需要相当长的时间，非常考验人的耐心，其规律可用来表达，其中表示解下第个圆环所需移动的最少次数，已知，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，数列满足：，即，‎ 所以，‎ 又由，上式累加可得，所以.‎ 故答案为：.‎ ‎15.如图，在正方体中，，，分别为棱，的中点，过点的平面平面，则平面截该正方体所得截面的面积为______.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】如图所示，分别取的中点，连接，可得截面，‎ 再连接，分别交交于点，连接，则 又因为，进而得到平面平面，即截面为等腰梯形，‎ 又由，可得，‎ 在等腰梯形中，可得，即梯形的高为，‎ 所以截面的面积为.‎ 故答案为：.‎ ‎16.已知点在抛物线上，点在圆，点，令，则的最小值为______，此时点的横坐标为______.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】设抛物线的焦点，点，，则，‎ ‎，‎ 又抛物线的焦点与圆心重合，故要使取得最小值，则应取最大值，‎ 由抛物线的定义可知，‎ ‎，，‎ 当且仅当，即时，等号成立．‎ 故答案为：；．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：‎ ‎17.‎2020年4月8日零时正式解除离汉通道管控，这标志着封城76天的武汉打开城门了.在疫情防控常态下，武汉市有序复工复产复市，但是仍然不能麻痹大意，仍然要保持警惕，严密防范、慎终如始.为科学合理地做好小区管理工作，结合复工复产复市的实际需要，某小区物业提供了，两种小区管理方案，为了了解哪一种方案最为合理有效，物业随机调查了50名男业主和50名女业主，每位业主对，两种小区管理方案进行了投票（只能投给一种方案），得到下面的列联表：‎ 方案 方案 男业主 ‎35‎ ‎15‎ 女业主 ‎25‎ ‎25‎ ‎（1）分别估计，方案获得业主投票的概率；‎ ‎（2）判断能否有95％的把握认为投票选取管理方案与性别有关.‎ 附：‎ 解：（1）由调查数据可知，方案获得业主投票的比率为，因此方案获得业主投票的概率估计为0.6；‎ 方案获得业主投票的比率为，因此方案获得业主投票的概率估计为0.4；‎ ‎（2）‎ 方案 方案 合计 男业主 ‎35‎ ‎15‎ ‎50‎ 女业主 ‎25‎ ‎25‎ ‎50‎ 合计 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ ‎.‎ 故有95％的把握认为投票选取管理方案与性别有关.‎ ‎18.在中，内角，，的对边分别为，，，且.‎ ‎（1）求角.‎ ‎（2）若，求的面积的最大值.‎ 解：（1），由正弦定理可得，‎ 化简可得，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎（2），且，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 当，即时，的面积最大，可得的面积的最大值．‎ ‎19.如图，已知直三棱柱，，分别是棱，的中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若，，求三棱锥的体积.‎ ‎（1）证明：取的中点，连结，，‎ ‎，分别是，的中点，，，‎ 四边形是平行四边形，，‎ 平面，平面，‎ 平面．‎ ‎（2）解：，是的中点，‎ ‎△的面积为，‎ ‎，是的中点，‎ 三棱锥的高为，‎ 三棱锥的体积为．‎ ‎20.已知0＜m＜2,动点M到两定点F1（﹣m,0）,F2（m,0）的距离之和为4,设点M的轨迹为曲线C,若曲线C过点.‎ ‎（1）求m的值以及曲线C的方程；‎ ‎（2）过定点且斜率不为零的直线l与曲线C交于A,B两点.证明：以AB为直径的圆过曲线C的右顶点.‎ ‎（1）解：设M（x,y）,因为|MF1|+|MF2|=4＞‎2m,所以曲线C是以两定点F1,F2为焦点,长半轴长为2的椭圆,所以a=2.‎ 设椭圆C的方程为1（b＞0）,代入点得b2=1,‎ 由c2=a2﹣b2,得c2=3,‎ 所以,故曲线C的方程为；‎ ‎（2）证明：设直线l：x=ty,A（x1,y1）,B（x2,y2）,‎ 椭圆的右顶点为P（2,0）,联立方程组 消去x得0.‎ ‎△＞0,y1+y2,y1y2,‎ 所以 ,∴,‎ 故点P在以AB为直径的圆上,即以AB为直径的圆过曲线C的右顶点.‎ ‎21.已知函数，.‎ ‎（1）若在处取得极值，求的的单调区间；‎ ‎（2）若在上没有零点，求的取值范围.‎ 解：（1）的定义域，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，递增区间为，‎ ‎，递减区间为，‎ 所以递增区间为，递减区间为.‎ ‎（2），‎ ‎， ‎ 因为，所以只需证明在满足.‎ 当时，在恒成立，‎ 在上递减，‎ ‎，得，与矛盾；‎ ‎②当时， ，递减，‎ ‎，递增，‎ 所以 ‎③，在恒成立，‎ 在上递增，‎ ‎，满足题意，‎ 综上有，.‎ ‎（二）选考题：‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22.在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．曲线的极坐标方程为，曲线与曲线的交线为直线．‎ ‎（1）求直线和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）直线与轴交于点，与曲线相交于，两点，求的值．‎ 解：（1）已知曲线的参数方程为为参数），‎ 转换为直角坐标方程为①，‎ 曲线的极坐标方程为，整理得，‎ 根据转换为直角坐标方程为②，‎ ‎∴①②两个方程相减得公共弦所在直线的方程为，‎ 曲线的极坐标方程为，‎ 根据转换为直角坐标方程为；‎ ‎（2）直线与轴交于，‎ ‎∴直线的参数方程为为参数），‎ 代入到，得，‎ ‎∴，，‎ 故．‎ ‎ [选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23.设函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若方程有两个不等实数根，求a的取值范围.‎ 解：（1），‎ ‎∵，∴或，∴或，即，‎ ‎∴不等式的解集为；‎ ‎（2）方程，即，‎ 显然不是方程的根，故，‎ 令，‎ 当x＜0时，，当且仅当时取等号，‎ 作出的图象，如图所示：‎ ‎∵方程有两个不等实数根，‎ ‎∴由图象可知.‎