2019-2020学年河北省邯郸市六校（大名县、磁县等六县一中）高二上学期期中考试数学试题（解析版） 14页

‎2019-2020学年河北省邯郸市六校（大名县、磁县等六县一中）高二上学期期中考试数学试题 一、单选题 ‎1．某公司要从员工号为1到300的员工中抽取5人进行培训，若用系统抽样的方法，则选取的5名员工的编号可能是（ ）‎ A．10，20，30，40，50 B．5，10，15，20，25‎ C．5，65，125，185，245 D．1，2，3，4，5‎ ‎【答案】C ‎【解析】系统抽样方法选取的编号依次构成一个等差数列，且公差为60，即可判定.‎ ‎【详解】‎ 由题知，系统抽样的间隔为组距，每部分选取的号码间隔为60.‎ 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查系统抽样，由系统抽样确定组距是解题的关键，进而可确定每组的编号.‎ ‎2．下列命题是真命题的是（ ）‎ A．任意， B．存在，‎ C．存在， D．任意，‎ ‎【答案】C ‎【解析】直接利用全称命题和存在量词，结合不等式逐项即可判断.‎ ‎【详解】‎ 对于A,当时，，故选项A错误；‎ 对于B,因为恒成立，故选项B错误；‎ 对于C,当时，，故选项C正确；‎ 对于D,当时，，故选项D错误.‎ 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查全称命题和存在命题的真假，考查对概念的理解和不等式的考查，属于基础题.‎ ‎3．从4名男生，2名女生中随机抽取3人，则下列事件中的必然事件是（ ）‎ A．至少有2名男生 B．至少有1名男生 C．3人都是男生 D．有2名女生 ‎【答案】B ‎【解析】从4名男生，2名女生中随机抽取3人，显然必有1名男生，根据这个事实对四个选项逐一判断.‎ ‎【详解】‎ 从4名男生，2名女生中随机抽取3人，有可能2名女生1名男生，选项A、C错误；也有可能3人全是男生，选项D错误，只要选项B是必然事件.‎ 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查了对必然事件的理解.解题的关键是对问题的隐含事实的认识.‎ ‎4．“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】解不等式，利用集合的包含关系可对两条件之间的关系进行判断.‎ ‎【详解】‎ 由得，故“”是“”的必要不充分条件.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查必要不充分条件的判断，一般转化为两集合的包含关系，同时也可以逻辑关系来进行判断，考查推理能力，属于基础题.‎ ‎5．如图，记录的是甲乙两个小组成员参加数学知识竞赛的成绩情况，若甲组成绩的平均数为67，乙组成绩的中位数为63，则（ ）‎ ‎ ‎ A．11 B．10‎ C．9 D．8‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据茎叶图中的数据，结合平均数与中位数的概念，求出的值，进而求出结果.‎ ‎【详解】‎ 由甲组平均成绩为67可得，由乙组成绩中位数为63可得，∴.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查茎叶图的应用，要求熟练掌握平均数和中位数的定义和判断方法，比较基础．‎ ‎6．已知椭圆的两焦点为，，椭圆上一点到的距离为4，为的中点，则（为坐标原点）的长为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】首先根据已知可得求出，进一步利用三角形的中位线求的结果．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，分别为，，的中点，∴.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题以椭圆为背景考查了三角形中位线定理，属于基础题．‎ ‎7．若双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的渐近线方程是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设双曲线的焦距为，由题意得出关于、、的关系式，求出、的等量关系，即可求出双曲线的渐近线方程.‎ ‎【详解】‎ 设双曲线的焦距为，根据实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，得，‎ 则，即，即，，则，‎ ‎.‎ 因此，双曲线的渐近线方程为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线渐近线方程的求解，解题的关键就是根据题中条件得出、的等量关系，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎8．设是边长为2的正方形的中心，在正方形内任取一点，则点到的距离大于1的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先求出正方形的面积，然后求出动点到点的距离，所表示的平面区域的面积,最后根据几何概型计算公式求出概率.‎ ‎【详解】‎ 正方形的面积为4，满足的区域的面积为，点到的距离大于1的点构成的区域面积为，所以所求概率为.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查几何概型，考查了圆的面积，计算面积是解题的关键，属于基础题.‎ ‎9．已知点，点为的焦点，点在抛物线上移动，则的最小值是（ ）‎ A．5 B．6 C．7 D．4‎ ‎【答案】A ‎【解析】设点M在准线上的垂足为N，由抛物线的定义把问题转化为求 的最小值，同时可推断出当三点共线时最小，可得答案．‎ ‎【详解】‎ 作出抛物线和它的准线，过点作准线的垂线，垂足为，根据抛物线定义，所以当，，三点共线时最小，最小值为5.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的简单性质，涉及与抛物线有关的最值问题，属中档题．‎ ‎10．样本，，…，的平均数为5，方差为3，则对于样本，，…，，下列结论正确的是（ ）‎ A．平均数为13，方差为3 B．平均数为11，方差为6‎ C．平均数为13，方差为12 D．平均数为11，方差为12‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用和差积的平均数和方差公式解答.‎ ‎【详解】‎ ‎∵，根据平均数的运算性质可得，根据方差的关系可得.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查平均数和方差的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎11．已知，是椭圆的左右焦点，过点的直线与椭圆交于，两点，若，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由椭圆的定义即可求出三角形的周长为，结合已知即可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由椭圆的定义知与的周长都为，故的周长为，.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的定义，熟记椭圆定义即可，属于基础题型.‎ ‎12．设、分别为双曲线的左、右顶点，、是双曲线上关于轴对称的不同两点，设直线、的斜率分别为、，若，则双曲线的离心率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设点，则点，由点在双曲线上得出，然后利用斜率公式得出，由此可计算出双曲线的离心率.‎ ‎【详解】‎ 设点.则，，，‎ 则，又，即，，‎ 由有，，因此，双曲线的离心率为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线离心率的计算，同时也考查双曲线方程的应用，解题的关键在将点横坐标与纵坐标通过点的坐标满足双曲线方程建立等式求解，考查运算求解能力，属于中等题.‎ 二、填空题 ‎13．命题“，”的否定为______．‎ ‎【答案】．．‎ ‎【解析】否定结论，并把存在量词改为全称量词。‎ ‎【详解】‎ 命题“，”的否定为“．．”‎ 故答案为：．．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题的否定，要注意命题的否定与否命题的区别，在命题的否定中，存在量词与全称量词要互换。‎ ‎14．若，两事件对立，且，则______.‎ ‎【答案】0.6‎ ‎【解析】对立事件的概率和为1，结合的值，即可求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎，两事件对立，∴，.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对立事件的概率，理解基本概念是关键，属于基础题．‎ ‎15．若方程表示双曲线，则实数的取值范围为______.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】利用双曲线方程的特点，可得，解不等式，即可求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 若因为方程表示双曲线，‎ 所以，解得或，‎ 所以实数的取值范围是或.‎ 故答案为：或 ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关双曲线方程中系数的关系，利用其特征得到关于的不等关系式，解不等式求得结果，考查了运算能力，属于中档题.‎ ‎16．抛物线的顶点为，点的坐标为，倾斜角为的直线与线段相交（经过点和点）且交抛物线于，两点，则的取值范围为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设出直线的方程，与抛物线方程联立，消去，运用韦达定理求得，，再由弦长公式求得的表达式，由的范围即可求得答案．‎ ‎【详解】‎ 设直线的方程为，有，由方程组消去，得，设，，则，，所以，所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与抛物线方程的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．‎ 三、解答题 ‎17．已知：，：函数的定义域为.如果“或”为真命题，“且”为假命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由二次函数和不等式的性质分别可得真时的的取值范围，再由“或”为真命题，“且”为假命题，则，一真一假，分类讨论取并集可得．‎ ‎【详解】‎ 解：由为真知，.‎ 由“或”为真命题，“且”为假命题知，和一个为真，一个为假，‎ 若真假，此时不存在；‎ 若假真，此时，‎ 综上，实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了含有联结词的命题的真假，掌握复合命题的真假和分类讨论是关键，考查了推理和运算能力，属于中档题.‎ ‎18．在平面直角坐标中，，，点是平面上一点，使的周长为.‎ ‎（1）求点的轨迹方程；‎ ‎（2）求的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）由题意得出，由椭圆的定义可知点的轨迹是以点、为焦点的椭圆（去掉左右端点），设点的轨迹方程为，求出、的值，可得出点的轨迹方程；‎ ‎（2）利用，并利用基本不等式可求出的最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题知，，，‎ 由椭圆的定义可知，动点的轨迹是以点、为焦点的椭圆（去掉左右端点），‎ 设动点的轨迹方程为，则，，‎ ‎，得，因此，动点的轨迹方程为；‎ ‎（2）由（1）可知，由基本不等式得，‎ 当且仅当时等号成立，因此，的最大值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用椭圆的定义求轨迹方程，同时也考查了利用椭圆的定义和基本不等式求最值，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎19．某学者为了研究某种细菌个数（个）随温度变化的关系，收集有关数据如下表所示：‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎6‎ 由散点图知，线性相关.‎ ‎（1）求细菌个数关于温度的回归方程；‎ ‎（2）当细菌的个数为8时，预测温度是多少？（精确到0.1）‎ 参考公式：.‎ ‎【答案】（1）（2）.‎ ‎【解析】（1）由题中所给数据和公式分别求得,以及即可求得线性回归方程；‎ ‎（2）把细菌的个数为8代入指数回归方程，可得预测温度．‎ ‎【详解】‎ 解：（1），，‎ ‎，.‎ ‎，，‎ ‎∴细菌个数关于温度的回归方程为.‎ ‎（2）由（1）中回归方程知，当细菌的个数为8时，，，‎ 即预测温度为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考察线性回归方程的求法，考查数学运算能力，属于基础题.‎ ‎20．已知抛物线的焦点到准线的距离为4，直线与抛物线交于两点.‎ ‎（1）求此抛物线的方程；‎ ‎（2）若以为直径的圆过原点O，求实数k的值.‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】（1）根据焦点到准线的距离，可得到，可得结果.‎ ‎（2）假设的坐标，得到，然后联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理，根据，可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题知：抛物线的焦点 到准线的距离为，‎ ‎∴抛物线的方程为 ‎（2）设联立，‎ 得，‎ 则，，‎ ‎，‎ ‎∵以为直径的圆过原点O，‎ ‎∴，∴，‎ 即，‎ 解得或（舍），∴‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线与抛物线的几何关系的应用，属基础题.‎ ‎21．某电视台为了了解某社区居民对某娱乐节目的收视情况，随机抽取了名观众进行调查，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该娱乐节目时间的频率分布直方图：‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）根据统计结果，试估计观众观看该娱乐节目时间的中位数（结果保留一位小数）；‎ ‎（3）从观看时间在，的人中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人的观看时间都在中的概率.‎ ‎【答案】（1）0.03（2）41.7（3）‎ ‎【解析】（1）根据每个条形图高的和等于，即可求得.‎ ‎（2）设中位数为，，解方程即可；‎ ‎（3）运用分层抽样求出各组的人数，进而求得概率.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）根据频率分布直方图可得.‎ ‎（2）设中位数为，，则，解得.‎ ‎（3）由题知，抽取的6人中观看时间在的有2人，记为，，在中的有4人，记为1，2，3，4，则从中随机抽取2人有，，，，，，，，，12，13，14，23，24，34共15种，其中都在中的有12，13，14，23，24，34共6种，故所求概率.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了分层抽样、频率分布直方图中平均数、中位数的求法，属基础题.‎ ‎22．已知椭圆的右焦点为，是椭圆上一点，‎ 轴，.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若直线与椭圆交于、两点，线段的中点为，为坐标原点，且，求面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）设椭圆的焦距为，可得出点在椭圆上，将这个点的坐标代入椭圆的方程可得出，结合可求出的值，从而可得出椭圆的标准方程；‎ ‎（2）分直线的斜率不存在与存在两种情况讨论，在轴时，可得出，从而求出的面积；在直线斜率存在时，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理结合，得出，计算出与的高，可得出面积的表达式，然后可利用二次函数的基本性质求出面积的最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设椭圆的焦距为，由题知，点，，‎ 则有，，又，，，‎ 因此，椭圆的标准方程为；‎ ‎（2）当轴时，位于轴上，且，‎ 由可得，此时；‎ 当不垂直轴时，设直线的方程为，与椭圆交于，，‎ 由，得.‎ ‎，，从而 已知，可得.‎ ‎.‎ 设到直线的距离为，则，‎ ‎.‎ 将代入化简得.‎ 令，‎ 则.‎ 当且仅当时取等号，此时的面积最大，最大值为.‎ 综上：的面积最大，最大值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆标准方程的求解，同时也考查了直线与椭圆中三角形面积最值的计算，一般将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求法来求解，同时在计算最值时，常用函数的基本性质以及基本不等式进行求解，考查运算求解能力，属于难题.‎