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  • 2021-06-15 发布

【数学】2020届一轮复习(理)人教通用版4-5-1简单的三角恒等变换学案

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‎§4.5 简单的三角恒等变换 最新考纲 考情考向分析 ‎1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.‎ ‎2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.‎ ‎3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.‎ ‎4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆).‎ 三角恒等变换是三角变换的工具,主要考查利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值,重在考查化简、求值,公式的正用、逆用以及变式运用,可单独考查,也可与三角函数的图象和性质、向量等知识综合考查,加强转化与化归思想的应用意识.选择、填空、解答题均有可能出现,中低档难度.‎ ‎1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β(C(α-β))‎ cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β(C(α+β))‎ sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β(S(α-β))‎ sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β(S(α+β))‎ tan(α-β)=(T(α-β))‎ tan(α+β)=(T(α+β))‎ ‎2.倍角公式 sin 2α=2sin αcos α;‎ cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;‎ tan 2α=.‎ ‎3.半角公式 cos =±,‎ sin =±,‎ tan =±,‎ 概念方法微思考 ‎1.诱导公式与两角和差的三角函数公式有何关系?‎ 提示 诱导公式可以看成和差公式中β=k·(k∈Z)时的特殊情形.‎ ‎2.怎样研究形如f(x)=asin x+bcos x函数的性质?‎ 提示 先根据辅助角公式asin x+bcos x=·sin(x+φ),将f(x)化成f(x)=Asin(ωx+φ)+k的形式,再结合图象研究函数的性质.‎ 题组一 思考辨析 ‎1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)存在实数α,β,使等式sin(α+β)=sin α+sin β成立.( √ )‎ ‎(2)对任意角α都有1+sin α=2.( √ )‎ ‎(3)y=3sin x+4cos x的最大值是7.( × )‎ ‎(4)公式tan(α+β)=可以变形为tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β),且对任意角α,β都成立.( × )‎ 题组二 教材改编 ‎2.若cos α=-,α是第三象限的角,则sin等于(  )‎ A.- B. C.- D. 答案 C 解析 ∵α是第三象限角,∴sin α=-=-,‎ ‎∴sin=-×+×=-.‎ ‎3.sin 347°cos 148°+sin 77°cos 58°= .‎ 答案  解析 sin 347°cos 148°+sin 77°cos 58°‎ ‎=sin(270°+77°)cos(90°+58°)+sin 77°cos 58°‎ ‎=(-cos 77°)·(-sin 58°)+sin 77°cos 58°‎ ‎=sin 58°cos 77°+cos 58°sin 77°‎ ‎=sin(58°+77°)=sin 135°=.‎ ‎4.tan 10°+tan 50°+tan 10°tan 50°= .‎ 答案  解析 ∵tan 60°=tan(10°+50°)=,‎ ‎∴tan 10°+tan 50°=tan 60°(1-tan 10°tan 50°)‎ ‎=-tan 10°tan 50°,‎ ‎∴原式=-tan 10°tan 50°+tan 10°tan 50°=.‎ 题组三 易错自纠 ‎5.化简:= .‎ 答案  解析 原式= ‎===.‎ ‎6.(2018·抚顺模拟)已知θ∈,且sin=,则tan 2θ= .‎ 答案 - 解析 方法一 sin=,得sin θ-cos θ=,①‎ θ∈,①平方得2sin θcos θ=,‎ 可求得sin θ+cos θ=,∴sin θ=,cos θ=,‎ ‎∴tan θ=,tan 2θ==-.‎ 方法二 ∵θ∈且sin=,‎ ‎∴cos=,‎ ‎∴tan==,‎ ‎∴tan θ=.‎ 故tan 2θ==-.‎ ‎7.化简:= .‎ 答案 4sin α 解析 ===4sin α.‎ 第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 题型一 和差公式的直接应用 ‎1.(2018·呼和浩特质检)若sin(π-α)=,且≤α≤π,则sin 2α的值为(  )‎ A.- B.- C. D. 答案 A 解析 因为sin(π-α)=sin α=,≤α≤π,‎ 所以cos α=-=-,‎ 所以sin 2α=2sin αcos α=2××=-.‎ ‎2.已知tan=,tan=,则tan(α+β)的值为(  )‎ A. B. C. D.1‎ 答案 D 解析 ∵tan=,tan=,‎ ‎∴tan(α+β)=tan ‎= ‎==1.‎ ‎3.(2018·辽阳调研)已知sin α=,α∈,tan(π-β)=,则tan(α-β)的值为(  )‎ A.- B. C. D.- 答案 A 解析 ∵α∈,∴cos α=-,tan α=-,‎ 又tan β=-,‎ ‎∴tan(α-β)= ‎==-.‎ ‎4.计算的值为 .‎ 答案  解析 = ‎===.‎ 思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式,首先要记住公式的结构特征.‎ ‎(2)使用公式求值,应先求出相关角的函数值,再代入公式求值.‎ 题型二 和差公式的灵活应用 命题点1 角的变换 例1 (1)设α,β都是锐角,且cos α=,sin(α+β)=,则cos β= .‎ 答案  解析 依题意得sin α==,‎ 因为sin(α+β)=α,‎ 所以α+β∈,所以cos(α+β)=-.‎ 于是cos β=cos[(α+β)-α]‎ ‎=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α ‎=-×+×=.‎ ‎(2)设α为锐角,若cos=,则sin的值为(  )‎ A. B. C.- D.- 答案 B 解析 因为α为锐角,且cos=,‎ 所以sin==,‎ 所以sin=sin 2 ‎=2sincos=2××=,故选B.‎ 命题点2 三角函数式的变换 例2 (1)化简: (0<θ<π);‎ ‎(2)求值:-sin 10°.‎ 解 (1)由θ∈(0,π),得0<<,∴cos >0,‎ ‎∴==2cos .‎ 又(1+sin θ+cos θ) ‎= ‎=2cos ‎=-2cos cos θ,‎ 故原式==-cos θ.‎ ‎(2)原式=-sin 10° ‎=-sin 10°· ‎=-sin 10°· ‎=-2cos 10°= ‎= ‎= ‎==.‎ 引申探究 化简: (0<θ<π).‎ 解 ∵0<θ<π,∴0<<,∴=2sin ,‎ 又1+sin θ-cos θ=2sin cos +2sin2 ‎=2sin ,‎ ‎∴原式= ‎=-cos θ.‎ 命题点3 公式的逆用与变形 例3 (1)已知sin α+cos β=,sin β-cos α=,则sin(α-β)= .‎ 答案 - 解析 ∵sin α+cos β=,sin β-cos α=,‎ ‎∴(sin α+cos β)2=,(sin β-cos α)2=,‎ 即sin2α+2sin αcos β+cos2β=,①‎ sin2β-2sin βcos α+cos2α=.②‎ ‎①+②得sin2α+2sin αcos β+cos2β+sin2β-2sin βcos α+cos2α=(sin2α+cos2α)+(cos2β+sin2β)+2(sin αcos β-sin βcos α)=1+1+2sin(α-β)=2+2sin(α-β)=,则sin(α-β)=-.‎ ‎(2)已知α-β=,tan α-tan β=3,则cos(α+β)的值为 .‎ 答案 - 解析 ∵tan α-tan β=-==3,且α-β=,∴cos αcos β=,又cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=,∴sin αsin β=-,那么cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=-.‎ 思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.①当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;②当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系.‎ ‎(2)常见的配角技巧:2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β,β=-,α=+,=-等.‎ 跟踪训练 (1)计算:= .(用数字作答)‎ 答案  解析 ====.‎ ‎(2)已知α∈,β∈,且cos α=,cos(α+β)=-,则sin β= .‎ 答案  解析 由已知可得sin α=,sin(α+β)=,‎ ‎∴sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=×-×=.‎ ‎(3)若sin x+cos x=,则tan= .‎ 答案 ± 解析 由sin x+cos x=,得2sin=,即sin=,所以cos=±,所以tan=±,即tan=tan=±.‎ 用联系的观点进行三角变换 三角变换的关键是找到条件和结论中的角和式子结构之间的联系.变换中可以通过适当地拆角、凑角或对式子整体变形达到目的.‎ 例 (1)设α为锐角,若cos=,则sin的值为 .‎ 答案  解析 ∵α为锐角且cos=>0,‎ ‎∴α+∈,∴sin=.‎ ‎∴sin=sin ‎=sin 2cos -cos 2sin ‎=sincos- ‎=××- ‎=-=.‎ ‎(2)(1+tan 17°)·(1+tan 28°)的值为 .‎ 答案 2‎ 解析 原式=1+tan 17°+tan 28°+tan 17°·tan 28°‎ ‎=1+tan 45°(1-tan 17°·tan 28°)+tan 17°·tan 28°‎ ‎=1+1=2.‎ ‎(3)已知sin α=,α∈,则= .‎ 答案 - 解析 = ‎=cos α-sin α,‎ ‎∵sin α=,α∈,‎ ‎∴cos α=-,∴原式=-.‎ ‎1.sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°等于(  )‎ A.- B. C.- D. 答案 D 解析 sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin 30°=.‎ ‎2.已知α是第二象限角,且tan α=-,则sin 2α等于(  )‎ A.- B. C.- D. 答案 C 解析 因为α是第二象限角,且tan α=-,‎ 所以sin α=,cos α=-,‎ 所以sin 2α=2sin αcos α=2××=-,‎ 故选C.‎ ‎3.(2018·包头模拟)若sin α=,则sin-cos α等于(  )‎ A. B.- C. D.- 答案 A 解析 sin-cos α=sin αcos +cos αsin -cos α=×=.‎ ‎4.已知sin 2α=,则cos2等于(  )‎ A. B. C. D. 答案 A 解析 cos2= ‎====,故选A.‎ ‎5.已知α为锐角,若sin=,则cos等于(  )‎ A. B. C. D. 答案 A 解析 由于α为锐角,且sin=,‎ 则cos=,‎ 则cos=cos ‎=coscos +sinsin ‎=×+×=,故选A.‎ ‎6.已知cos α=,cos(α+β)=-,且α,β∈,则cos(α-β)的值为(  )‎ A.- B. C.- D. 答案 D 解析 因为α∈,所以2α∈(0,π),‎ 因为cos α=,所以cos 2α=2cos2α-1=-,‎ 所以sin 2α==,‎ 而α,β∈,所以α+β∈(0,π),‎ 所以sin(α+β)==,‎ 所以cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]‎ ‎=cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β)‎ ‎=×+×=.‎ ‎7.设a=cos 50°cos 127°+cos 40°sin 127°,b=(sin 56°-cos 56°),c=,则a,b,c的大小关系是(  )‎ A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.a>c>b 答案 D 解析 a=sin 40°cos 127°+cos 40°sin 127°‎ ‎=sin(40°+127°)=sin 167°=sin 13°,‎ b=(sin 56°-cos 56°)=sin 56°-cos 56°‎ ‎=sin(56°-45°)=sin 11°,‎ c==cos239°-sin239°=cos 78°=sin 12°,‎ ‎∵sin 13°>sin 12°>sin 11°,∴a>c>b.‎ ‎8.的值是 .‎ 答案  解析 原式= ‎= ‎==.‎ ‎9.= .‎ 答案  解析 = ==.‎ ‎10.已知sin α+cos α=,则sin2= .‎ 答案  解析 由sin α+cos α=,两边平方得1+sin 2α=,‎ 解得sin 2α=-,‎ 所以sin2= ‎===.‎ ‎11.化简:·= .‎ 答案  解析 原式=tan(90°-2α)· ‎=·· ‎=··=.‎ ‎12.(2018·营口模拟)已知sin(α-β)cos α-cos(β-α)sin α=,β是第三象限角,则sin= .‎ 答案  解析 依题意可将已知条件变形为 sin[(α-β)-α]=-sin β=,sin β=-.‎ 又β是第三象限角,所以cos β=-.‎ 所以sin=-sin ‎=-sin βcos -cos βsin ‎=×+×=.‎ ‎13.若α∈,且3cos 2α=sin,则sin 2α的值为(  )‎ A.- B. C.- D. 答案 C 解析 由3cos 2α=sin可得 ‎3(cos2α-sin2α)=(cos α-sin α),‎ 又由α∈可知,cos α-sin α≠0,‎ 于是3(cos α+sin α)=,‎ 所以1+2sin αcos α=,故sin 2α=-.故选C.‎ ‎14.已知coscos=,则sin4θ+cos4θ的值为 .‎ 答案  解析 因为coscos ‎= ‎=(cos2θ-sin2θ)=cos 2θ=.‎ 所以cos 2θ=.‎ 故sin4θ+cos4θ=2+2‎ ‎=+=.‎ ‎15.化简:·= .‎ 答案 -4 解析 原式=·=· ‎=-4·tan(45°+15°)=-4.‎ ‎16.已知α,β∈,且sin +cos =,sin(α-β)=-,则sin β= .‎ 答案  解析 由sin +cos=,平方可得sin α=.‎ ‎∵α∈,‎ ‎∴cos α=-.‎ 又∵-<α-β<,sin(α-β)=-,‎ ‎∴cos(α-β)=.‎ 故sin β=sin[α-(α-β)]‎ ‎=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)‎ ‎=×-×=.‎

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