上海市金山区2021届高三数学上学期一模试题（Word版附答案） 11页

金山区 2020 学年第一学期质量监控 高三数学试卷 (满分：150 分，完卷时间：120 分钟) （答题请写在答题纸上） 一．填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1~6 题每题 4 分，第 7~12 题每题 5 分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1．若函数 )42sin(  xy ，则它的最小正周期 T= ． 2．若复数 2 i 1 2iz   (i 为虚数单位)，则 z 的模 || z = ． 3．若矩阵 sin cos mA n        ， sin cos mB n        ，且 A B ，则 2 2m n = ． 4．若函数 2log ( ) 1y x m   的反函数的图像经过点 (1,3) ，则实数 m  ． 5．已知集合 { | 3sin , }M y y x x  R ， { || | }N x x a  ，若 M N ，则实数 a 的 取值范围是 ． 6．已知 1F 、 2F 是椭圆 2 2 125 16 x y  的两个焦点， AB 是过点 1F 的弦，则 2ABF△ 的周 长是 ． 7．在五个数字 1，2，3，4，5 中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的 概率是 ．(结果用数值表示) 8．在直角三角形 ABC 中， 5AB  ， 12AC  ， 13BC  ，点 M 是 ABC△ 外接圆 上的任意一点，则 AMAB 的最大值是 ． 9．已知实数 a 、 b 、 c 成等差数列，则点 ( 1,0)P  到直线 0ax by c   的最大距离 是 ． 10．球面上有 3 个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的 1 6 ，以这 3 个点为 顶点构成的三角形的周长为 18，则此球的半径为 ． 11．关于 x 的方程 2 3 0( , )x ax b a b     R 在[1,2] 上有实根，则 2 2( 4)a b  的最 小值为 ． 12．若 ( ) | 1| | 2 | | 2020 | | 1| | 2 | | 2020 |f x x x x x x x               ， xR ，且 2( 3 2) ( 1)f a a f a    ，则满足条件的所有整数 a 的和是 ． 二．选择题（本大题共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分）每题有且只有一个正确选项．考 生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．在 4(1 2 )x 的二项展开式中，二项式系数的和为( )． (A) 8 (B) 16 (C) 27 (D) 81 14．“| 1| 2x   成立”是“ ( 3) 0x x   成立”的( )． (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 15．已知定义在 R 上的函数 ( )f x 是奇函数，且满足 )()3( xfxf  ， (1) 3f   ，数 列{ }na 满足 2n nS a n  (其中 nS 为{ }na 的前 n 项和)，则 5 6( ) ( )f a f a  ( )． (A) 3 (B) 2 (C) 3 (D) 2 16．已知 ABC△ 的外接圆圆心为O ， o120A ，若 ACyABxAO  ( x ，y  R )， 则 yx  的最小值为( )． (A) 1 2 (B) 2 3 (C) 3 2 (D) 2 三．解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写 出必要的步骤 ． 17．(本题满分 14 分，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分) 已知 a 、 b 、 c 是 ABC△ 中 A 、 B 、 C 的对边， 34a ， 6b ， 3 1cos A ． (1) 求 c ； (2) 求 B2cos 的值． 18．(本题满分 14 分，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分) 如图，在三棱锥 ABCP  中， PA 底面 ABC ，△ABC 是边长为 2 的正三角形， 侧棱 PB 与底面所成的角为 4  ． (1) 求三棱锥 ABCP  的体积V ； (2) 若 D 为 PB 的中点，求异面直线 PA 与CD 所成角的 大小． 19．(本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分) 已知定义域为 R 的函数 1 2( ) 1 2 x xf x   . (1) 试判断函数 1 2( ) 1 2 x xf x   在 R 上的单调性，并用函数单调性的定义证明； (2) 若对于任意t R ，不等式 2 2( 2 ) ( ) 0f t t f t k    恒成立，求实数 k 的取值 范围． 20．(本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 7 分) 已知点 P 在抛物线 2: 4C y x 上，过点 P 作圆 2 22:( 3)M rx y   ( 0 2r  ) 的两条切线，与抛物线C 分别交于 A 、 B 两点，切线 PA 、 PB 与圆 M 分别相切于点 E 、 F . (1) 若点 P 到圆心 M 的距离与它到抛物线C 的准线的距离相等，求点 P 的坐标； (2) 若点 P 的坐标为 (1,2) ，且 2r  时，求 PFPE  的值； (3) 若点 P 的坐标为 (1,2) ，设线段 AB 中点的纵坐标为t ，求t 的取值范围. 第 18 题图 P A B C D 21．(本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 7 分，第 3 小题满分 7 分) 若数列{ }na 满足 11 n n a a    ( 1  ，且  为实常数)， *nN ，则称数列{ }na 为 ( )B  数列. (1) 若数列{ }na 的前三项依次为 21 a ， xa 2 ， 93 a ，且{ }na 为 (3)B 数列， 求实数 x 的取值范围； (2) 已知{ }na 是公比为 ( 1)q q  的等比数列，且 1 0a  ，记 2 1 3 2 1| | | | | |n n nT a a a a a a       . 若存在数列{ }na 为 (4)B 数列，使得 1lim 0n n n n T tT T     成立，求实数t 的取值范围； (3) 记无穷等差数列{ }na 的首项为 1a ，公差为 d ，证明：“ 1 10 d a    ”是 “{ }na 为 ( )B  数列”的充要条件. 金山区 2020 学年第一学期期末考试高三数学试卷评分参考答案 (满分：150 分，完卷时间：120 分钟) 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1~6 题每题 4 分，第 7~12 题每题 5 分） 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果． 1． ；2．1；3．1；4．2；5． 3a  ；6．20；7．0.3；8．45；9．2 2 ；10．6；11．2； 12．6． 二、选择题（本大题共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分）每题有且只有一个正确选项．考 生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．B；14．B；15．C；16．D. 17 ． 解 ： (1) 在 ABC△ 中 ， 由 余 弦 定 理 得 ， Abccba cos2222  ，………………………………2 分 即 )3 1(623648 2  cc ， ………………………………………………………… ……4 分 整 理 ， 得 01242  cc ，…………………………………………………………………………6 分 解 得 2c ； ……………………………………………………………………………………… …7 分 (2) 在 ABC△ 中 ， 由 余 弦 定 理 得 ， ac bcaB 2cos 222  ，……………………………………9 分 得 3 3cos B ，………………………………………………………………………………… …11 分 3 11cos22cos 2  BB . …………………………………………………… ………………14 分 18．解：(1) PA  底面 ABC ， PBA 为 侧 棱 PB 与 底 面 所 成 的 角 ， 即 4 PBA ，…………………………………………2 分 2PA AB   . 又 1 2 2 sin 32 3S      ，………………………………………………………………… …4 分 故 1 1 2 33 23 3 3V Sh     ，…………………………………………………………… …6 分 即 三 棱 锥 ABCP  的 体 积 为 2 3 3 ；………………………………………………………………7 分 (2) 取 AB 中点 E ，连结 DE ，CE ，则 DE ∥ PA ， CDE 就 是 异 面 直 线 PA 与 CD 所 成 的 角 ( 或 其 补 角)，………………………………………9 分 3CE  ， 1 12DE PA  . 因为 PA 底面 ABC ， DE  底面 ABC . 在 直 角 三 角 形 CDE 中 ， 3tan CECDE DE    ， 第 18 题图 P A B C D E 所以 3 CDE ， ……………………………………………13 分 所以异面直线 PA 与CD 所成角的大小为 3  ．…………………14 分 19 ． 解 ： (1) 任 取 1 2,x x R ， 且 1 2x x ，…………………………………………………………………1 分 则 1 22 2x x ， 11 2 0x  ， 21 2 0x  ， 于 是 1 2 2 1 1 2 1 21 2 1 2 1 2 2(2 2 )( ) ( ) 01 2 1 2 (1 2 )(1 2 ) x x x x x x x xf x f x           ，………………………………4 分 即 1 2( ) ( )f x f x ， 故 函 数 1 2( ) 1 2 x xf x   在 R 上 单 调 递 减. ……………………………………6 分 (2) 任 取 xR ， 则 1 2 2 1( ) ( )1 2 2 1 x x x xf x f x          ，………………………………………7 分 故 1 2( ) 1 2 x xf x   为 奇 函 数 ， 从 而 2 2 2( 2 ) ( ) ( )f t t f t k f k t      ，………………………9 分 由 (1) 知 ， 函 数 ( )f x 在 R 上 单 调 递 减，……………………………………………………………11 分 故 2 22t t k t   ， 即 22 2 0t t k   对 于 任 意 t R 恒 成 立，………………………………12 分 由 4 8 0k    ， 得 1 2k   ， 即 实 数 k 的 取 值 范 围 是 1( 2, )  ． ………………………14 分 20．解：(1) 设点 P 的坐标为 ( , )x y ， 则 2 2 2 4 ( 3) | 1| y x x y x       ， 解 得 2 2 2 x y   或 2 2 2 x y    ，………………………………3 分 即 点 P 的 坐 标 为 (2,2 2) 或 (2, 2 2) ； ………………………………………………………4 分 (2) 当 点 P 的 坐 标 为 (1,2) ， 且 2r  时 ， 2 2| | (1 3) 2 2 2PM     ，………………6 分 在 直 角 三 角 形 PME 中 ， | | 8 2 6PE    ， 且 30MPE  ，…………………………7 分 同 理 ， | | 6PF  ， 且 30MPF   ，…………………………………………………………8 分 从 而 6| | | | co 6 cos60 3sPE PF PE PF EPF          ；…………………………… 9 分 (3) 由 题 意 知 切 线 PA 、 PB 的 斜 率 均 存 在 且 不 为 零 ， 设 切 线 方 程 为 2 ( 1)y k x   ，……10 分 由 2 | 2 2| 1 k r k    ，得 2 2 2(4 ) 8 4 0r k k r     ， 记 切 线 PA 、 PB 的 斜 率 分 别 为 1k 、 2k ， 则 1 2 2 1 2 8 4 1 k k r k k       ，………………………………12 分 由于切线 PA 、 PB 的方程分别为 12 ( 1)y k x   、 22 ( 1)y k x   ， 联立 2 1 4 2 ( 1) y x y k x        ，消去 x ，得 2 1 14 8 4 0k y y k    ， 设 1 1( , )A x y 、 2 2( , )B x y ，则 1 1 42 y k   ，故 1 1 4 2y k   ， 同 理 ， 2 2 4 2y k   ，………………………………………………………………………………14 分 于是 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 [ 1( )2 2 162 2 22 4 0, 6)y y k kt k k k k r             , 即 t 的 取 值 范 围 是 [ 10, 6)  .………………………………………………………………………16 分 21 ． (1) 解 ： 由 32 9 1 3 1 3 3 x x         ， 得 2 3 6 3 27 x x        ， 故 实 数 x 的 取 值 范 围 是 [3,6]； …………………………4 分 (2) 解 ： 由 { }na 为 (4)B 数 列 ， 得 1 1[ ,4]4 n n aq a   ，…………………………………………………6 分 ① 当 (1,4]q 时， 1n na a  ， 故 2 1 3 2 1 1 1( ) ( ) ( )n n n nT a a a a a a a a          ， 从 而 1 1 1 1 n n n n T q T q     ， 1 (1,4]lim n n n T qT    ， 所 以 当 q>1 时 ， t ≥ q；…………………………………9 分 ② 当 1[ ,1)4q 时， 1n na a  ， 故 1 2 2 3 +1 1 1( ) ( ) ( )n n n nT a a a a a a a a          ， 从 而 1 1 1 1 n n n n T q T q     ， 1lim 1n n n T T    ， 所 以 当 0