• 1.27 MB
  • 2021-06-15 发布

北京市第四中学2020-2021学年高三第一学期期中考试数学试卷

  • 11页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
‎2020-2021学年度第一学期期中 高三年级数学学科 ‎ 数 学 试 卷 ‎(试卷满分为150分,考试时间为120分钟)‎ 一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)‎ 1. 已知全集,集合,,则 A. B. ‎ C. D. ‎ 2. 下列命题中的假命题是 A. B. ‎ C. D. ‎ 3. 已知向量,,若与共线,则实数 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ 4. 已知是上的奇函数,当时,,则的解集是 A. B. C. D. ‎ 5. 将函数的图象向左平移个单位长度,得到函数的图象,则 A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 6. 若,且,则下列不等式中,恒成立的是 ‎ ‎ A. B. C. D.‎ 11‎ ‎2020-2021学年度第一学期期中 高三年级数学学科 ‎ 1. 已知三角形,那么“”是“三角形为锐角三角形”的 ‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎ 2. 声音的等级(单位:)与声音强度(单位:)满足. 喷气式飞机起飞时,声音的等级约为;一般说话时,声音的等级约为,那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的 A.105倍 B.108倍 C. 1010倍 D.1012倍 3. 函数,的大致图象是 ‎ A. B. C. D.‎ 4. 已知函数 给出下列三个结论:‎ ‎① 当时,函数的单调递减区间为;‎ ‎② 若函数无最小值,则的取值范围为;‎ ‎③ 若且,则,使得函数恰有3个零点,,,且. ‎ 其中,所有正确结论的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3‎ 二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)‎ 11. 函数的定义域是_________.‎ 12. 已知,且. 则=_________,=_________. ‎ 11‎ ‎2020-2021学年度第一学期期中 高三年级数学学科 ‎ 11. 已知非零向量,满足,则与的夹角等于_________. ‎ 12. 圆与直线相切于点,则圆的半径为_________,直线的方程为_________. ‎ 15. 关于的方程的实根个数记为.‎ 若,则=_________;‎ 若,存在使得成立,则的取值范围是_________. ‎ 三、解答题(本大题共6小题,共85分)‎ ‎16.(本小题满分14分)‎ 在中,,,.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)求的值.‎ ‎17.(本小题满分14分)‎ 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;‎ ‎(Ⅱ)求函数在上的最大值;‎ ‎(Ⅲ)求证:存在唯一的,使得.‎ 11‎ ‎2020-2021学年度第一学期期中 高三年级数学学科 ‎ ‎18.(本小题满分14分)‎ 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)从①,;②,这两个条件中任选一个,作为题目的已知条件,‎ 求函数在上的最小值,并直接写出函数的一个周期.‎ ‎19.(本小题满分14分)‎ 已知:函数.‎ ‎(Ⅰ)求;‎ ‎(Ⅱ)求证:当时,;‎ ‎(Ⅲ)若对恒成立,求实数的最大值.‎ ‎20.(本小题满分14分)‎ 已知为平面直角坐标系的原点,过点的直线与圆交于,两点.‎ ‎(Ⅰ)若,求直线的方程;‎ ‎(Ⅱ)若与的面积相等,求直线的斜率.‎ ‎21.(本小题满分15分)‎ 对于集合,定义函数对于两个集合,,定义集合. 已知,.‎ ‎(Ⅰ)写出和的值,并用列举法写出集合;‎ ‎(Ⅱ)用表示有限集合所含元素的个数,求的最小值;‎ ‎(Ⅲ)有多少个集合对,满足,且?‎ 11‎ ‎2020-2021学年度第一学期期中 高三年级数学学科 ‎ 参考答案 一、 选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分,请将答案填涂在答题卡上 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 B A D C C D B B D C 二、 填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分 题号 ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ 答案 ‎ ‎ ‎1,‎ 三、解答题(本大题共6小题,共85分)‎ ‎16.解:(Ⅰ),∴由余弦定理,‎ ‎∴b=7,∴c=b﹣2=5;‎ ‎(Ⅱ)在中,,,由正弦定理有:,∴,‎ ‎∵,∴,∴C为锐角,∴,‎ ‎∴ .‎ ‎17. 解:(Ⅰ)由,得 , ‎ ‎ 所以,又 ‎ 所以曲线在点处的切线方程为:,‎ 即: . ‎ ‎(Ⅱ)令,得 .‎ 11‎ ‎2020-2021学年度第一学期期中 高三年级数学学科 ‎ ‎ 与在区间的情况如下:‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 极小值 ‎ ‎ 因为 ‎ 所以函数在区间上的最大值为6. ‎ ‎(Ⅲ)证明:设=,‎ 则, ‎ 令,得.‎ 与 随x的变化情况如下:‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ 极大值 极小值 ‎ ‎ 则的增区间为,,减区间为. ‎ 又,,所以函数在没有零点, ‎ 又,‎ 所以函数在上有唯一零点. ‎ 综上,在上存在唯一的,使得. ‎ ‎18. 解:(Ⅰ). ‎ ‎(Ⅱ)选择条件①.的一个周期为. ‎ 11‎ ‎2020-2021学年度第一学期期中 高三年级数学学科 ‎ ‎. ‎ 因为,所以.所以.所以.‎ 当时,即时,在取得最小值. ‎ 选择条件②.的一个周期为. ‎ ‎. ‎ 因为,所以.‎ 所以 当时,即时,在取得最小值. ‎ ‎19. 解: ‎ ‎(Ⅰ) ‎ ‎(Ⅱ)令,则, ‎ 当时,设,则 所以在单调递减,‎ 即,所以 所以在上单调递减,所以, ‎ 所以.‎ ‎(Ⅲ)原题等价于对恒成立,‎ 即对恒成立,‎ 令,则.‎ 易知,即在单调递增,‎ 所以,所以, ‎ 故在单调递减,所以. ‎ 11‎ ‎2020-2021学年度第一学期期中 高三年级数学学科 ‎ 综上所述,的最大值为 . ‎ 11‎ ‎2020-2021学年度第一学期期中 高三年级数学学科 ‎ ‎20. 解:(Ⅰ)依题意,直线的斜率存在,‎ 因为 直线过点,可设直线:. ‎ 因为 两点在圆上,所以 ,‎ 因为 ,所以 ‎ 所以 所以 到直线的距离等于.‎ 所以 , ‎ ‎ 得,‎ 所以 直线的方程为或.‎ ‎(Ⅱ)(解法一)因为与的面积相等,所以,‎ 设 ,,所以 ,.‎ 所以 即  (*);‎ 因为 ,两点在圆上,‎ 所以 把(*)代入,得 ,‎ 所以 ‎ 所以 直线的斜率, 即. ‎ ‎(解法二)因为与的面积相等,所以, ‎ 设,,所以 ,.‎ 所以 ,即  ①;‎ 11‎ ‎2020-2021学年度第一学期期中 高三年级数学学科 ‎ 联立  消去y得. ‎ 由韦达定理知  ②    ③‎ 由①②可知,, , ‎ 带入③得 , 所以 . ‎ ‎21. 解:(Ⅰ),,. ‎ ‎(Ⅱ)根据题意可知:对于集合,①若且,则;②若且,则.‎ 所以 要使的值最小,2,4,8一定属于集合;1,6,10,16是否属于不影响的值;集合不能含有之外的元素.‎ 所以 当为{1,6,10,16}的子集与{2,4,8}的并集时,取到最小值4. …8分 ‎(Ⅲ)因为 ,‎ 所以 .‎ 由定义可知:.‎ 所以 对任意元素,,‎ ‎ .‎ 所以 .‎ 所以 . ‎ 由 知:.‎ 所以 .‎ 11‎ ‎2020-2021学年度第一学期期中 高三年级数学学科 ‎ 所以 .‎ 所以 ,即.‎ 因为 ,‎ 所以 满足题意的集合对(P,Q)的个数为.‎ 11‎