高考数学考点44 用样本估计总体 31页

1 用样本估计总体 （1）了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各 自的特点. （2）理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差. （3）能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并给出合理的解释. （4）会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本 估计总体的思想. （5）会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题. 一、数字特征 1．众数、中位数、平均数 数字特征 样本数据 频率分布直方图 众数 出现次数最多的数据 取最高的小长方形底边中点的横坐标 中位数 将数据按大小依次排列，处在最中间位置的 一个数据(或最中间两个数据的平均数) 把频率分布直方图划分左右两个面积相 等的分界线与 x 轴交点的横坐标 平均数 样本数据的算术平均数 每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点 的横坐标之和 2．极差、方差和标准差 极差：即一组数据中最大值与最小值的差． 方差： . 标准差： . 注：平均数反映了数据取值的平均水平，方差和标准差反映了数据波动程度的大小．标准差、方差越大， 2 2 2 2 1 2 1[( ) ( ) ( ) ]ns x x x x x xn       2 2 2 1 2 1[( ) ( ) ( ) ]ns x x x x x xn       2 数据的离散程度越大，越波动；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定． 3．性质 （1）若 的平均数为 ，那么 的平均数为 . （2）数据 与数据 的方差相等，即数据经过平移后 方差不变． （3）若 的方差为 s2，那么 的方差为 . 二、茎叶图 1．定义 茎叶图是统计中用来表示数据的一种图，茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁边生长出来的数． 2．表示方法 （1）对于样本数据较少，且分布较为集中的一组数据：若数据是两位整数，则将十位数字作茎，个位数 字作叶；若数据是三位整数，则将百位、十位数字作茎，个位数字作叶．样本数据为小数时做类似处 理． （2）对于样本数据较少，且分布较为集中的两组数据，关键是找到两组数据共有的茎． 三、统计表 1．频率分布直方图 （1）画频率分布直方图的步骤 ①求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)； ②决定组距与组数； ③将数据分组； ④列频率分布表； ⑤画频率分布直方图(以横轴表示样本分组，纵轴表示频率与组距的比值). （2）频率分布直方图的性质 ①落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示，且各小长方形的面积的和等于 1. ②频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系 a.最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数； b.中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的； 1 2, , , nx x x x 1 2, , , nmx a mx a mx a   mx a 1 2, , , nx x x 1 1 2 2 n nx x a x x a x x a       , , , 1 2, , , nx x x 1 2 , , nax b ax b ax b  , 2 2a s 3 c.平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中 点的横坐标之和． 2．频率分布折线图和总体密度曲线 (1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图． (2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越 接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线． 3．各种统计表的优点与不足 优点 不足 频率分布 表 表示数据较确切 分析数据分布的总体态势不方便 频率分布 直方图 表示数据分布情况非常直观 原有的具体数据信息被抹掉了 频率分布 折线图 能反映数据的变化趋势 不能显示原有数据 茎叶图 一是所有的信息都可以从这个茎叶图中得到； 二是茎叶图便于记录和表示，能够展示数据的 分布情况 样本数据较多或数据位数较多时， 不方便表示数据 考向一 数字特征的应用 明确数字特征的意义： 平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义， 平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小. 典例 1 某学习小组在一次数学测验中，得 100 分的有 1 人，得 95 分的有 1 人，得 90 分的有 2 人，得 85 分的有 4 人，得 80 分和 75 分的各 1 人，则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别为 4 A．85，85，85 B．87，85，86 C．87，85，85 D．87，85，90 【答案】C 【解析】平均数=100＋95＋90 × 2＋85 × 4＋80＋75 10 =87 分，众数为 85，中位数为 85.故选 C. 1．若一组数据 的方差为 1，则 的方差为 A．1 B．2 C．4 D．8 2．已知一组数据 3,5,7,x,10 的平均数为 6,则这组数据的方差为 A． B．6 C． D．5 考向二 茎叶图的应用 茎叶图的优、缺点： 由茎叶图可以清晰地看到数据的分布情况，这一点同频率分布直方图类似．它优于频率分布直方图的第一 点是从茎叶图中能看到原始数据，没有任何信息损失；第二点是茎叶图便于记录和表示，其缺点是当样本 容量较大时，作图较繁琐. 典例 2 为了了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校 400 名授课教师 中抽取 20 名，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示，如图所示． 据此可估计上学期该校 400 名教师中，使用多媒体进行教学次数在[16，30)内的人数为 A．100 B．160 C．200 D．280 33 5 28 5 5 【答案】B 3．一次数学考试后，某老师从自己所带的两个班级中各抽取 6 人，记录他们的考试成绩，得到如图所示的 茎叶图.已知甲班 6 名同学成绩的平均数为 82，乙班 6 名同学成绩的中位数为 77，则 A．3 B． C．4 D． 考向三 频率分布直方图的应用 频率分布直方图是用样本估计总体的一种重要方法，是高考命题的一个热点，多以选择题或填空题的形式 呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题，且主要有以下几个命题角度： (1)已知频率分布直方图中的部分数据，求其他数据．可根据频率分布直方图中的数据求出样本与整体的关 系，利用频率和等于 1 就可求出其他数据． (2)已知频率分布直方图，求某种范围内的数据．可利用图形及某范围结合求解． (3)与概率有关的综合问题，可先求出频率，再利用古典概型等知识求解. 典例 3 某商店为调查进店顾客的消费水平，调整营销思路，统计了一个月来进店的 2000 名顾客的消费金 额(单位:元)，并从中随机抽取了 100 名顾客的消费金额按[0,50]，(50,100]，(100,150]，(150,200]，(200,250] 进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.已知 a,b,c 成等差数列，则该商店这一个月来消费金额超过 150 元的顾客数量约为 x y  3 4 6 A．600 B．30 C．60 D．300 【答案】A 4．200 辆载着某炮兵团士兵的汽车急赴某地抗洪抢险,如图是汽车途经某大桥时的速度的频率分布直方图,则 这 200 辆汽车的速度的中位数的估计值为 A．64 B．63 C．63.5 D．65 典例 4 为了增强学生的环保意识，某中学随机抽取了 50 名学生举行了一次环保知识竞赛，并将本次竞赛 的成绩(得分均为整数，满分 100 分)进行整理，制成下表： 成绩 [40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100] 7 频数 2 3 14 15 12 4 （1）作出被抽查学生成绩的频率分布直方图； （2）若从成绩在[40，50)中选 1 名学生，从成绩在[90，100]中选 2 名学生，共 3 名学生召开座谈会，求 [40，50)组中学生 A1 和[90，100]组中学生 B1 同时被选中的概率． A1B1B2，A1B1B3，A1B1B4，A1B2B3，A1B2B4，A1B3B4，A2B1B2，A2B1B3，A2B1B4，A2B2B3，A2B2B4，A2B3B4， 共 12 个， 事件 M 包含的基本事件为：A1B1B2，A1B1B3，A1B1B4，共 3 个， 所以学生 A1 和 B1 同时被选中的概率为 P(M)＝ 3 12＝1 4. 5．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出 吨该商品可获利润 万元，未售出的商品， 每 吨亏损 万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所 示．已知电商为下一个销售季度筹备了 吨该商品．现以 （单位：吨， ）表示下一个 销售季度的市场需求量， （单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润． （1）根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量 的平均数与中位数的大小； （2）根据频率分布直方图估计利润 不少于 57 万元的概率. 1 0.5 1 0.3 130 x 100 150x  T x T 8 1．有下列说法：①一组数据不可能有两个众数；②一组数据的方差必须是正数；③将一组数据中的每一个 数据都加上或减去同一常数后，方差不变；④在频率分布直方图中，每个小长方形的面积等于相应小组 的频率．其中错误的有 A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 2．某商场对一个月内每天的顾客人数进行统计，得到如图所示的样本茎叶图，则该样本的中位数和众数分 别是 A．46，45 B．45，46 C．45，45 D．47，45 3．某仪器厂从新生产的一批零件中随机抽取 40 个检测.如图是根据抽样检测后零件的质量（单位：克）绘 制的频率分布直方图，样本数据分 8 组，分别为 、 ， 、 、 、 、 、 ，则样本的中位数在 9 A．第 3 组 B．第 4 组 C．第 5 组 D．第 6 组 4．在如图所示的茎叶图中,有一个数字模糊不清,但某同学曾经计算得到该组数据的极差与中位数之和为 61, 则模糊不清的数字为 A．1 B．2 C．3 D．4 5．在某次高中数学竞赛中，随机抽取 90 名考生，其分数如图所示，若所得分数的平均数，众数，中位数 分别为 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为 A． B． C． D． 6．从某小学随机抽取 100 名学生,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图).若要从身高在 [120,130),[130,140),[140,150]三组内的学生中,用分层抽样的方法选取 18 人参加一项活动,则从身高在 [140,150]内的学生中选取的人数应为 10 A．2 B．3 C．4 D．5 7．已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示,若它们的中位数相同,平均数也相同,则图中的 m,n 的比值 = A．1 B． C． D． 8．为普及校园安全知识,某校举行了由全部学生参加的校园安全知识考试,从中抽出 60 名学生,将其成绩分成 六段[40,50),[50,60),…,[90,100]后画出如图所示的频率分布直方图.观察图形的信息,估计这次考试的及格 率(60 分及以上为及格)、平均分分别为 A．75%，71 B．80%，85 C．85%，90 D．70%，65 9．一个样本 ，3，5，7 的平均数是 ，且 ， 分别是数列 的第 2 项和第 4 项，则这个 样本的方差是 1 3 3 8 2 9 a b a b   2 *2n n N 11 A．3 B．4 C．5 D．6 10．已知甲、乙两名篮球运动员进行罚球训练,每人练习 10 组,每组罚球 40 个,甲、乙两人每组命中个数的茎 叶图如图所示,则下列结论中错误的是 A．甲命中个数的极差是 29 B．乙命中个数的众数是 21 C．甲的命中率比乙高 D．甲命中个数的中位数是 25 11．某网店在 2018 年 1 月的促销活动中,随机抽查了 100 名消费者的消费情况,并记录了他们的消费金额(单 位:千元),将数据分成 6 组:(0,1],(1,2],(2,3],(3,4],(4,5],(5,6],整理得到频率分布直方图如图所示.若消费金额 不超过 3 千元的人数占总人数的 ,则消费金额超过 4 千元的人数为 A．12 B．15 C．16 D．18 12．某市安踏专卖店为了了解某日旅游鞋的销售情况,抽取了部分顾客所购旅游鞋的尺寸,将所得数据整理后, 画出频率分布直方图.已知从左到右前 3 个小组的频率之比为 1∶2∶3,第 4 小组与第 5 小组的频率分布 直方图如图所示,第 2 小组的频数为 10,则第 5 小组的频数是 12 A．4 B．5 C．8 D．10 13．某次知识竞赛中,五个参赛小队的初始积分都是 50,在答题过程中,各小队每答对一题可使本队积分增加 5, 每答错一题本队积分不变,若答题过程中五个小队答对的题数分别是 4,7,6,2,5,则这五个小队积分的方差 为　　　　. 14．随着智能手机的普及，网络购物越来越受到人们的青睐，某研究性学习小组对使用智能手机的利与弊 随机调查了 10 位同学，得到的满意度打分如茎叶图所示． 若这组数据的中位数、平均数分别为 ，则 的大小关系是__________． 15．某市为了增加 2018 届高三毕业生对各著名高校的了解,从而调动他们的学习动力,利用 2017 年暑假组织 部分有意愿的学生赴部分大学参加夏令营,各大学夏令营的天数都在[2,12]内,现从中抽出 100 名学生,统 计他们参加夏令营的天数,绘制成如图所示的频率分布直方图,则这 100 名学生中参加夏令营的天数在 [6,10)的人数为　　　　. 16．为组织好“市九运会”,组委会征集了 800 名志愿者,现对他们的年龄抽样统计后,得到如图所示的频率分布 直方图,但是年龄在[25,30)内的数据不慎丢失,依据此图可得: ,a b ,a b 13 (1)年龄在[25,30)内对应小长方形的高度为　　　； (2)这 800 名志愿者中年龄在[25,35)内的人数为　　　. 17．某届马拉松招聘志愿者,报名者首先进入笔试,按笔试成绩选出参加面试的人员,最后确定入选名单.现从 报名的所有人中按男女比例采用分层抽样的方式抽取了 100 名,统计了他们的笔试成绩(满分 100 分),统 计结果见如下所示的频率分布表,其中分数在区间[90,100]内的人员直接进入面试阶段,若分数在区间 [80,90)内,则需要进行短期的培训后,再参加第二次笔试,从而确定能否参加面试. 分数区间 频数 频率 [50,60) 8 0.08 [60,70) b [70,80) 42 0.42 [80,90) a 0.26 [90,100] 8 合计 100 1.00 （1）求 a 与 b 的值,并作出频率分布直方图; （2）(i)根据表中数据,估计这 100 名人员笔试成绩的中位数 (精确到小数点后 1 位); (ii)分析知,这 100 名人员在各分数段内的男女比例如下表所示,那么若以频率分布表中的频率近似作为 概率,在总共 2000 名参考人员中,求经过第一次考试就可直接进入面试的男女人数的估计值. 14 分数段 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 男女比例 1∶1 3∶1 3∶4 7∶6 3∶5 18．随着科技发展,手机成了人们日常生活中必不可少的通信工具,现在的中学生几乎都拥有了属于自己的手 机了.为了调查某地区高中生一周使用手机的频率,某机构随机调查了该地区 100 名高中生某一周使用 手机的时间(单位:小时),所取样本数据分组区间为 ,由 此得到如图所示的频率分布直方图． (1)求 的值并估计该地区高中生一周使用手机时间的平均值; (2)从使用手机时间在 的四组学生中,用分层抽样方法抽取 13 人,则 每层各应抽取多少人? 15 19．某市为了制定合理的节电方案,对居民用电情况进行了调查,通过抽样,获得了某年 200 户居民每户的月均 用电量(单位:百千瓦 时),将数据按 , , , , , 分成 9 组,制成 了如图所示的频率分布直方图. (1)求直方图中 的值; (2)设该市有 100 万户居民,估计全市每户居民中月均用电量不低于 6 百千瓦 时的人数及每户居民月均 用电量的中位数; (3)政府计划对月均用电量在 4 百千瓦 时以下的用户进行奖励,月均用电量在 内的用户奖励 20 元/ 月,月均用电量在 内的用户奖励 10 元/月,月均用电量在 内的用户奖励 2 元/月.若该市共有 400 万户居民,试估计政府执行此计划的年度预算. 16 20．某研究小组为了研究某品牌智能手机在正常使用情况下的电池供电时间，分别从该品牌手机的甲、乙 两种型号中各选取 部进行测试，其结果如下： 甲种手机供电时间（小时） 乙种手机供电时间（小时） （1）求甲、乙两种手机供电时间的平均值与方差，并判断哪种手机电池质量好； （2）为了进一步研究乙种手机的电池性能，从上述 部乙种手机中随机抽取 部，求这两部手机中恰 有一部手机的供电时间大于该种手机供电时间平均值的概率. 21．某城市为了满足市民出行的需要和节能环保的要求，在公共场所提供单车共享服务，某部门为了对该 城市共享单车进行监管，随机选取了 位市民对共享单车的情况进行问卷调査，并根据其满意度评分 值（满分 分）制作的茎叶图如图所示： 6 19 18 21 22 23 20 18 17.5 20 23 22 22.5 6 2 20 100 17 （1）分别计算男性打分的平均数和女性打分的中位数； （2）从打分在 分以下（不含 分）的市民中抽取 人，求有女性被抽中的概率. 1．（2018 新课标全国Ⅰ理科）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更 好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得 到如下饼图： 建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例 则下面结论中不正确的是 A．新农村建设后，种植收入减少 70 70 3 18 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 2．（2017 新课标全国Ⅲ理科）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图． 根据该折线图，下列结论错误的是 A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在 7，8 月 D．各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳 3．（2016 新课标全国Ⅲ理科）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温 和平均最低气温的雷达图.图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 15 C，B 点表示四月的平均最低气温 约为 5 C.下面叙述不正确的是 A．各月的平均最低气温都在 0 C 以上 B．七月的平均温差比一月的平均温差大 C．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D．平均最高气温高于 20 C 的月份有 5 个 o o o o 19 4．（2016 山东理科）某高校调查了 200 名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布 直方图，其中自习时间的范围是 ，样本数据分组为 .根据直方图，这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是 A．56 B．60 C．120 D．140 5．（2018 江苏）已知 5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这 5 位裁判打出的分数的平 均数为 ▲ ． 6．（2016 上海理科）某次体检，6 位同学的身高（单位：米）分别为 1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77， 则这组数据的中位数是_________（米）． 7．（2017 新课标全国Ⅱ理科）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机 抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）．其频率分布直方图如下： （1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件：“旧养殖法的箱产量低于 50kg，新养殖法的箱 产量不低于 50kg”，估计 A 的概率； [17.5,30] [17.5,20),[20,22.5),[22.5,25), [25,27.5),[27.5,30] 20 （2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关； 箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法 （3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到 0.01）． 附： ， 8．（2017 北京理科）为了研究一种新药的疗效，选100 名患者随机分成两组，每组各 50 名，一组服药，另 一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标 x 和 y 的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者， “+”表示未服药者. （1）从服药的 50 名患者中随机选出一人，求此人指标 y 的值小于 60 的概率； （2）从图中 A，B，C，D 四人中随机选出两人，记 为选出的两人中指标 x 的值大于 1.7 的人数，求 的分布列和数学期望 E( )； （3）试判断这 100 名患者中服药者指标 y 数据的方差与未服药者指标 y 数据的方差的大小.（只需写出结论） 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d         21 9．（2016 四川理科）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活 用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准 （吨），一位居民的月用水量不超过 的部分按平价收 费，超出 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年 100 位居民每人的月均用 水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5]分成 9 组，制成了如图所示的频率分布 直方图. （1）求直方图中 a 的值； （2）设该市有 30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数，并说明理由； （3）若该市政府希望使 85%的居民每月的用水量不超过标准 （吨），估计 的值，并说明理由. x x x a 0.52 0.40 0.16 0.12 0.08 0.04 4.543.532.521.510.50 月均用水量（吨） 组距 频率 x x 22 10．（2016 北京理科）A，B，C 三个班共有 100 名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得 了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）： A 班 6 6.5 7 7.5 8 B 班 6 7 8 9 10 11 12 C 班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5 （1）试估计 C 班的学生人数； （2）从 A 班和 C 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙.假设 所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率； （3）再从 A，B，C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是 7，9，8.25（单位：小 时）.这 3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为 ，表格中数据的平均数记为 ， 试判断 和 的大小.（结论不要求证明） 1 0 0 1 23 3．【答案】C 【解析】由 ，可得 . 由 ，可得 ， ，故选 C. 4．【答案】D 【解析】由频率分布直方图知,前两个小矩形的面积之和为(0.01+0.02)×10=0.3, 由于 0.5-0.3=0.2，则 ×10=5， 所以中位数为 60+5=65.故选 D． 5．【解析】（1）估计一个销售季度内市场需求量 的平均数为 72 77 81 80 86 90 826 x       6x  70 82 772 y   2y  6 2 4x y     0.2 0.4 x 24 所以下一个销售季度内的利润 不少于 57 万元的概率的估计值为 ． 1．【答案】C 【解析】对于①，由于一组数据的众数不唯一，故①错误； 对于②，一组数据的方差必须是非负数，故②错误； 对于③，根据方差的定义知③正确； 对于④，根据频率分布直方图中频率的意义知④正确． 综上可得①②错误． 故选 C． 2．【答案】A 【解析】由茎叶图可知所给数据，其中出现最多的是 ，共三次，所以为众数，将所有数据从小到大排 列后，中间两数为 ，故中位数为 ．故本题答案为 ． 3．【答案】B T 0.7 45 45,47 46 A 25 【解析】由图计算可得前四组的频数是 22，其中第 4 组的频数为 8，故本题正确答案是 7．【答案】C 【解析】由茎叶图可知乙的中位数是 =33,又甲、乙两组数据的中位数相同,所以 m=3. 从而甲的平均数为 =33, 又甲、乙两组数据的平均数相同,所以 =33,解得 n=8, 所以 . 8．【答案】A 【解析】及格的各组的频率和是(0.015+0.030+0.025+0.005)×10=0.75,即及格率为 75%; 样本的均值为 45×0.10+55×0.15+65×0.15+75×0.30+85×0.25+95×0.05=71, 用这个分数估计总体的分数即得总体的平均分数为 71.故选 A． 【名师点睛】利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点： ①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数； ②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的； ③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中 点的横坐标之和. 9．【答案】C 32 34 2  39 33 27 3   32 34 38 20 4 n    3 8 m n  26 【解析】∵样本 ，3，5，7 的平均数是 ，且 ， 分别是数列 的第 2 项和第 4 项， ∴ ， ，故选 C. 10．【答案】D 【解析】由茎叶图可知甲命中个数的极差为 37-8=29,故 A 正确; 易知乙命中个数的众数是 21,故 B 正确; 甲的命中率为 =0.535,乙的命中率为 =0.4225,所以甲的命中率比乙高,C 正确; 甲命中个数的中位数为 =23,所以 D 不正确.故选 D． 11．【答案】B 【解析】∵消费金额不超过 3 千元的人数占总人数的 ,∴第 4,5,6 组的频率之和为 1-0.6=0.4,从图中可 知第 4 组的频率为 0.25,∴第 5,6 组的频率之和为 0.4-0.25=0.15,∴消费金额超过 4 千元的人数为 15. 12．【答案】B 【解析】设从左到右前 3 个小组的频率分别为 x,2x,3x,第 5 小组的频数是 y, 则 解得 故选 B． 13．【答案】74 【解析】由题意知,五个小队的积分分别是 70,85,80,60,75, 所以五个小队的积分的平均值为 =74, 所以五个小队的积分的方差为 =74. 14．【答案】 【解析】从图中可知中位数为 ， 平均数为 ，所以 . 15．【答案】58 【解析】由频率分布直方图可得参加夏令营的天数在[6,10)的频率为 1-(0.04+0.12+0.05)×2=0.58,则参加 夏令营的天数在[6,10)的人数为 100×0.58=58. a b a b   2 *2n n N  2 2 4 22 1, 2 4a b            2 2 2 22 1 1 4 3 4 5 4 7 4 54s             2 3 0.15 2 0.05 2 1, 10 ,2 0.05 2 x x x y x          0.1, 5, x y    70 85 80 60 75 5     2 2 2 2 2(70 74) (85 74) (80 74) (60 74) (75 74) 5          a b 83 87 852    1 75 76 77 81 83 87 89 93 94 95 8510x            a b 27 16．【答案】(1)0.04;(2)440 【解析】(1)因为所有小长方形的面积之和为 1,所以年龄在[25,30)内对应小长方形的高度为 [1-(5×0.01+5×0.07+5×0.06+5×0.02)]=0.04. (2)年龄在[25,35)内的频率为 0.04×5+0.07×5=0.55,人数为 0.55×800=440. 17．【解析】（1）由已知得 a=0.26×100=26，分数区间[60,70)对应的频数为 100-8-42-26-8=16， 因而 b= =0.16. 频率分布直方图如图. （2）(i)设中位数为 x 分,则 10×0.008+10×0.016+(x-70)×0.042=0.5,得 x≈76.2. (ii)已知 100 名报名者可直接进入面试的男女人数比例为 3∶5,那么 2000 名参考人员中,经过第一次考 试就可直接进入面试的男性人数为 ×0.08×2000=60,女性人数为 ×0.08×2000=100. 18．【解析】(1)由于小矩形的面积之和为 1, 则 ,由此可得 ． 该地区高中生一周使用手机时间的平均值为 ． (2)使用手机时间在 的学生有 人,使用手机时间在 的学生有 人,使用手机时间在 的学生有 人,使用手机时 间在的学生有人, 故用分层抽样法从使用手机时间在的四组学生中抽样,抽取人数分别为. 19．【解析】(1)由题得=, 所以. 16 100 28 20．【解析】（1）甲的平均值， 乙的平均值， 甲的方差为 ， 乙的方差 ， 因为甲、乙两种手机的平均数相同，甲的方差比乙的方差小，所以认为甲种手机电池质量更好. （2）由题意得上述部乙种手机中有部手机的供电时间大于该种手机供电时间平均值，记它们分别是， 其余的为， 从上述部乙种手机中随机抽取部的所有结果为： ，共有种， 其中恰有一部手机的供电时间大于该种手机供电时间平均值的结果为： ，共有种， 所以所求概率为. 21．【解析】（1）男性打分的平均数为（分）， 1．【答案】A 【解析】设新农村建设前的收入为 M，而新农村建设后的收入为 2M，则新农村建设前种植收入为 0.6M，而新农村建设后的种植收入为 0.74M，所以种植收入增加了，所以 A 项不正确；新农村建设前其 他收入我 0.04M，新农村建设后其他收入为 0.1M，故增加了一倍以上，所以 B 项正确；新农村建设前， 养殖收入为 0.3M，新农村建设后为 0.6M，所以增加了一倍，所以 C 项正确；新农村建设后，养殖收入 与第三产业收入的综合占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以 D 正确；故选 A. 2．【答案】A 故选 A. 【名师点睛】将频率分布直方图中相邻的矩形的上底边的中点顺次连接起来，就得到一条折线，我们称 这条折线为本组数据的频率分布折线图，频率分布折线图的首、尾两端取值区间两端点需分别向外延伸 半个组距，即折线图是频率分布直方图的近似，它们比频率分布表更直观、形象地反映了样本数据的分 布规律. 3．【答案】D 【解析】由题图可知各月的平均最低气温都在 0C 以上，A 正确； 由题图可知七月的平均温差大于 7.5C，而一月的平均温差小于 7.5C，所以七月的平均温差比一月的平均 29 温差大，B 正确； 由题图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在 10C，基本相同，C 正确； 由题图可知平均最高气温高于 20℃的月份有 3 个，所以不正确． 故选 D． 4．【答案】D 【解析】自习时间不少于 22.5 小时为后三组，其频率和为，故人数为人，选 D. 【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图，是一道基础题目.从历年高考题目看，图表题已是屡见不鲜， 作为一道应用题，考查考生的识图、用图能力，以及应用数学知识解决实际问题的能力. 5．【答案】90 【解析】由茎叶图可知，5 位裁判打出的分数分别为，故平均数为. 6．【答案】1.76 7．【解析】（1）记表示事件“旧养殖法的箱产量低于”，表示事件“新养殖法的箱产量不低于”，由题意知， 旧养殖法的箱产量低于的频率为， 故的估计值为 0.62． 新养殖法的箱产量不低于的频率为， 故的估计值为 0.66． 因此，事件 A 的概率估计值为． （2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表： 箱 产 量 箱 产 量 旧 养 殖 法 62 38 新 养 34 66 30 殖 法 的观测值， 由于，故有的把握认为箱产量与养殖方法有关． （3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于的直方图面积为 ， 箱产量低于的直方图面积为， 故新养殖法箱产量的中位数的估计值为． 【名师点睛】（1）利用独立性检验，能够帮助我们对日常生活中的实际问题作出合理的推断和预测．独 立性检验就是考察两个分类变量是否有关系，并能较为准确地给出这种判断的可信度，随机变量的观测 值值越大，说明“两个变量有关系”的可能性越大． （2）利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐 标即众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”， 等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和． 8．【解析】（1）由图知，在服药的 50 名患者中，指标的值小于 60 的有 15 人， 所以的分布列为 0 1 2 故的期望. （3）在这 100 名患者中，服药者指标数据的方差大于未服药者指标数据的方差. 【名师点睛】求分布列的三种方法： （1）由统计数据得到离散型随机变量的分布列； （2）由古典概型求出离散型随机变量的分布列； （3）由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及 n 次独立重复试验有 k 次发生的概率求离散型 随机变量的分布列． 9．【解析】（1）由频率分布直方图知，月均用水量在[0，0.5)中的频率为 0.08×0.5=0.04， 同理，在[0.5，1)，[1.5，2)，[2，2.5)，[3，3.5)，[3.5，4)，[4，4.5]中的频率分别为 0.08，0.20，0.26， 31 0.06，0.04，0.02． 由 0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02=1， 解得 a=0.30． （2）由（1），100 位居民每人月均用水量不低于 3 吨的频率为 0.06+0.04+0.02=0.12． 由以上样本的频率分布，可以估计全市 30 万居民中月均用水量不低于 3 吨的人数为 所以，估计月用水量标准为 2.9 吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准． 【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生分析问题、 解决问题的能力.在频率分布直方图中，第 n 个小矩形的面积就是相应组的频率，所有小矩形的面积之和 为 1，这是解题的关键，也是识图的基础． 10．【解析】（1）由题意知，抽出的名学生中，来自 C 班的学生有名.根据分层抽样方法，C 班的学生人数估 计为. （2）设事件为“甲是现有样本中 A 班的第个人”，， 事件为“乙是现有样本中 C 班的第个人”，， 由题意可知，，；，. ，，. 设事件为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”.由题意知， . 因此 . （3）. 【名师点睛】求复杂的互斥事件的概率的方法：一是直接法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥事 件概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式， 即运用逆向思维的方法(正难则反)求解，应用此公式时，一定要分清事件的对立事件到底是什么事件， 不能重复或遗漏.特别是对于含“至多”“至少”等字眼的题目，用第二种方法往往显得比较简便。