- 738.00 KB
- 2021-06-15 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
2019—2020 学年高二第一学期期中考试
数学科试题
本试卷共 4 页,22 小题,满分 150 分.考试时间 120 分钟.
一、单项选择题:共 10 小题,每小题 5 分.每个小题只有一项是符合题目要求的.
1、设集合 M={x|x2-3x-4<0},N={x|0≤x≤5},则 M∩N=( )
A、(0,4] B、[0,4) C、[-1,0) D、(-1,0]
2、已知命题 p:对任意 x∈R,总有 2x>0; q:“x>1”是“x>2”的充分不必要条件,则下列
命题为真命题的是( )
A、 p q B、 p q C、 p q D、 p q
3、在等差数列 na 中,若 2 45, 2a a ,则 6a ( )
A、-1 B、0 C、1 D、6
4、已知函数 1( ) ( )x xf x e e
,则 ( )f x ( )
A、是奇函数,且在 R 上是增函数 B、是偶函数,且在 R 上是增函数
C、是奇函数,且在 R 上是减函数 D、是偶函数,且在 R 上是减函数
5、从 2,3,4,5 中任取 2 个不同的数,则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是( )
A、 1
2
B、 1
3
C、 1
4
D、 1
6
6、在 ABC 中,内角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ,已知 14, 3a A ,
sin 3sinB C ,则 ABC 的面积为( )
A、 52
4
B、 3 6
2
C、 3 3
2
D、 3 6
4
7、已知直线 l 经过点 0,2 且倾斜角为
3
,则圆 C: 2 2 2 3 2 3 0x y x y 的
圆心到直线 l 的距离为( )
A、2 B、3 C、4 D、5
8、函数
1
2 0
x xf x x
的最小值为( )
A、1 B、2 C、3 D、4
9、在 ABC ,内角 , ,A B C 所对的边长分别为 , ,a b c .若
sin cosa B C 3sin cos 2c B A b ,且 a b ,则 B ( )
A、
6
B、
3
C、 2
3
D、 5
6
10、等比数列 na 的前 n 项和为 nS ,已知 3 2 19S S a , 5 9a ,则 1a ( )
A、 1
3
B、 1
3
C、 1
9
D、 1
9
二、多项选择题:共 2 小题,每小题 5 分.每个小题有多项是符合题目要求的,全对 5 分,
少选 2 分,错选 0 分.
11、已知函数 sinf x A x 0, 0, 2A
的部分图像如图所示,
下列结论正确的是( )
A、函数的最小正周期为 B、
12
C、 f x 在区间 ,2
上单调递减 D、 5 224f
12、已知直三棱柱 1 1 1ABC A B C 的各棱长相等,点 D 是棱 1AA 的中点,
点 P 是线段 1BC 上的动点,下列说法正确的是( )
A、存在点 P 使得 DP 平面 1 1BCC B B、存在点 P 使得 BD CP
C、点 P 从点 B 运动到点 1C 的过程中,直线 DP 与平面 ABC 所成角先减小后增大
D、点 P 从点 B 运动到点 1C 的过程中,直线 DP 与平面 ABC 所成角先增大后减小
三、填空题:共 4 小题,每小题 5 分,第 16 题第一个空 2 分,第二个空 3 分.
13、已知向量 (1,2)a
, (2, 2)b
, (1, )c
.若 (2 )c a b
,则 ;
14、已知 x , y 满足
3 0
3 5 0
3 0
x y
x y
x
≤
≤
≥
,则 2z x y 的最大值是 ;
15、函数 3 2sin cos4f x x x
的最大值为 .
16、已知 R ,函数 2
4 ,( ) 4 3,
x xf x x x x
≥
,当 2 时,不等式 ( ) 0f x
的解集是 ;若函数 ( )f x 恰有 2 个零点,则 的取值范围是 .
四、解答题:本大题共 6 个小题,满分 70 分,其中 17 题 10 分,其它各题 12 分.解答应写
出文字说明,证明过程或演算步骤.
17、(10 分)
记 nS 为等差数列{ }na 的前 n 项和,已知 1 7a , 3 15S .
(1)求{ }na 的通项公式;
(2)求 nS ,并求 nS 的最小值.
18、(12 分)
在 ABC 中,角 , ,A B C 所对的边分别是 , ,a b c , S 为其面积,
若4 2 cosS ac B .
(1)求角 B 的大小;
(2)设 BAC 的角平分线 AD 交 BC 于 D ,
3AD , 6BD ,求cos BAC 的值。
19、(12 分)
设 21( ) sin cos sin cos2f x x x x x .
(Ⅰ)求 ( )f x 的最小正周期及单调递增区间;
B D C
A
(Ⅱ)在锐角 ABC 中,角 , ,A B C ,的对边分别为 , ,a b c ,若 ( ) 02
Af , 1a ,求
ABC 面积的最大值.
20、(12 分)
如图,正方形 ABCD 的边长为 4, E , F 分别为 AD , BC 的中点,以 DF 为折痕把
DFC△ 折起,使点C 到达点 P 的位置,且 PF BF .
(1)证明:平面 PEF 平面 ABFD ;
(2)求三棱锥 P DEF 的体积;
(3)求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值.
21、(12 分)
已知公差为正数的等差数列 na 的前 n 项和为 nS ,且 2 3 40a a , 4 26S ,数列 nb
的前 n 项和 12 2n
nT n N 。
(1)求数列 na 与 nb 的通项公式;
(2)求数列 n na b 的前 n 项和 nM .
22、(12 分)
设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)满足下列条件:
①当 x∈R 时,其最小值为 0,且 f (x-1)=f(-x-1)成立;
②直线 y x 与函数 f x 相切于点 1, 1f .
(1)求 f(1)的值;
(2)求 f(x)的解析式;
(3)求最大的实数 m(m>1),使得 t R ,只要当 x∈[1,m]时,就有 f(x+t)≤x 成立.
2019-2020 学年高二第一学期第一次调研考试数学科试题参考答案
一、单项选择题: BDAAB CBDBC
1、解析 由题意可得 M={x|-12⇒x>1,而 x>1 x>2,因此“x>1”是“x>2”的必
要不充分条件,故命题 q 是假命题,则¬q 是真命题,p∧¬q 是真命题,选 D.
3、解析 由等差数列的性质得 ,选 A.
4、【解析】 ,得 为奇函数,易
知 在 R 上是增函数.选 A.
5、B【解析】任取两个不同的数有 共 6 种,2
个数之差的绝对值为 2 的有 ,故
6、由正弦定理得 ,由余弦定理得: ,解得 ,
∴
7、由题意得直线的方程为: ,圆 的圆心为 ,
∴圆心到直线的距离为:
8、由基本不等式得: ,当且仅当 ,即 时取等,∴
9、B【解析】边换角后约去 ,得 ,所以 ,但 B 非最大角,所
以 .
10、C【解析】设等比数列 的公比为 ,∵ ,∴ ,
即 ,∴ ,由 ,即 ,∴ .
二、多项选择题: AD ABC
11、由图可知 ,故 A、D 正确
三、填空题:13、 -2 14、5 15、5
16、 ; 【解析】若 ,则当 时,令 ,得 ;
当 时,令 ,得 .综上可知 ,所以不等式 的
解集为 .令 ,解得 ;令 ,解得 或 .因为函数
恰有 2 个零点,结合函数的图象(图略)可知 或 .
四、解答题:
17、【解析】(1)设 的公差为 d,由题意得 .……2 分
由 得 d=2.……3 分
所以 的通项公式为 .……5 分
(2)由(1)得 .……7 分
所以当 时, 取得最小值,最小值为−16.……10 分
18、【解析】(1)由三角形的面积公式得: 1 分
…… 3 分
∴ ……4 分
∵ ……5 分
∴ ……6 分
(2)在 中,由正弦定理得 ……8 分
所以 ……10 分
∴ ……12 分
19、【解析】(Ⅰ)由题意
.2 分
∴函数 的最小正周期为 ……3 分
由 ( ),可得 ( );……5 分
所以 的单调递增区间是 ( );……6 分
(Ⅱ) , ,……7 分
由题意 是锐角,所以 .……8 分
由余弦定理: ,……9 分
可得 ……10 分
,且当 时成立.……11 分
. 面积最大值为 .……12 分
20、【解析】(1)由已知可得, ⊥ , ⊥ ,1 分
∵PF、EF 在平面 PEF 上,PF 交 EF 于点 F……2 分
所以 ⊥平面 PEF.……3 分
又 平面 ,所以平面 ⊥平面 .……4 分
(2)作 ⊥ ,垂足为 .由(1)得, ⊥平面 .……5 分
由(1)可得, ⊥ .又 =4, =2,所以 = .……6 分
又 =2, =4,故 ⊥ .……7 分
可得 , .……8 分
∴ ……9 分
(3)连接 ,由(2)知, 是 在平面 上的射影,……10 分
∴ 就是 与平面 所成角,……11 分
∴ 与平面 所成角的正弦值为 ……12 分
21、【解析】(1)由题意知 ,
∴ , 1 分
又公差为正数,故 , , , 2 分
∴ , 3 分
由 得
当 , 4 分
当 时, 5 分
综上得 . 6 分
(2)由(1)知
∴ 7 分
〖解法 1〗(错位相减法)
8 分
得 10 分
. 12 分
〖解法 2〗(待定系数法的简单解答过程)
设 8 分
由 ,得 解得 9 分
所以 10 分
注意:用待定系数法没有说明 的原理,最后结果正确也要扣 2
分。
〖解法 3〗(分合法)
7 分
8 分
∴ 10 分
化简得 12 分
22、解 (1)由②知,点 在直线 上,∴f(1)=1.……2 分
(2)由①知二次函数的开口向上且关于 x=-1 对称,故可设此二次函数为 f(x)=a(x+
1)2(a>0),又由 f (1)=1 代入求得 a=
1
4,故 f(x)=
1
4(x+1)2.……5 分
(3)假设存在 t∈R,只要 x∈[1,m],就有 f(x+t)≤x.
取 x=1,有 f(t+1)≤1,……6 分
即
1
4(t+2)2≤1,
解得-4≤t≤0.……7 分
对固定的 t∈[-4,0],取 x=m,有 f(t+m)≤m,
即
1
4(t+m+1)2≤m,……8 分
化简得 m2+2(t-1)m+(t2+2t+1)≤0,
解得 1-t-≤m≤1-t+,……9 分
故 m≤1-t+≤1-(-4)+=9,……10 分
t=-4 时,对任意的 x∈[1,9],
恒有 f(x-4)-x=
1
4(x2-10x+9)=
1
4(x-1)(x-9)≤0,……11 分
所以 m 的最大值为 9.……12 分