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  • 2021-06-15 发布

广东省韶关市新丰县第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

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2019—2020 学年高二第一学期期中考试 数学科试题 本试卷共 4 页,22 小题,满分 150 分.考试时间 120 分钟. 一、单项选择题:共 10 小题,每小题 5 分.每个小题只有一项是符合题目要求的. 1、设集合 M={x|x2-3x-4<0},N={x|0≤x≤5},则 M∩N=( ) A、(0,4] B、[0,4) C、[-1,0) D、(-1,0] 2、已知命题 p:对任意 x∈R,总有 2x>0; q:“x>1”是“x>2”的充分不必要条件,则下列 命题为真命题的是( ) A、 p q B、 p q   C、 p q  D、 p q  3、在等差数列 na 中,若 2 45, 2a a  ,则 6a  ( ) A、-1 B、0 C、1 D、6 4、已知函数 1( ) ( )x xf x e e   ,则 ( )f x ( ) A、是奇函数,且在 R 上是增函数 B、是偶函数,且在 R 上是增函数 C、是奇函数,且在 R 上是减函数 D、是偶函数,且在 R 上是减函数 5、从 2,3,4,5 中任取 2 个不同的数,则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是( ) A、 1 2 B、 1 3 C、 1 4 D、 1 6 6、在 ABC 中,内角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ,已知 14, 3a A   , sin 3sinB C ,则 ABC 的面积为( ) A、 52 4 B、 3 6 2 C、 3 3 2 D、 3 6 4 7、已知直线 l 经过点  0,2 且倾斜角为 3  ,则圆 C: 2 2 2 3 2 3 0x y x y     的 圆心到直线 l 的距离为( ) A、2 B、3 C、4 D、5 8、函数     1 2 0 x xf x x    的最小值为( ) A、1 B、2 C、3 D、4 9、在 ABC ,内角 , ,A B C 所对的边长分别为 , ,a b c .若 sin cosa B C  3sin cos 2c B A b ,且 a b ,则 B  ( ) A、 6  B、 3  C、 2 3  D、 5 6  10、等比数列 na 的前 n 项和为 nS ,已知 3 2 19S S a  , 5 9a  ,则 1a  ( ) A、 1 3 B、 1 3  C、 1 9 D、 1 9  二、多项选择题:共 2 小题,每小题 5 分.每个小题有多项是符合题目要求的,全对 5 分, 少选 2 分,错选 0 分. 11、已知函数    sinf x A x   0, 0, 2A        的部分图像如图所示, 下列结论正确的是( ) A、函数的最小正周期为 B、 12    C、  f x 在区间 ,2       上单调递减 D、 5 224f      12、已知直三棱柱 1 1 1ABC A B C 的各棱长相等,点 D 是棱 1AA 的中点, 点 P 是线段 1BC 上的动点,下列说法正确的是( ) A、存在点 P 使得 DP  平面 1 1BCC B B、存在点 P 使得 BD CP C、点 P 从点 B 运动到点 1C 的过程中,直线 DP 与平面 ABC 所成角先减小后增大 D、点 P 从点 B 运动到点 1C 的过程中,直线 DP 与平面 ABC 所成角先增大后减小 三、填空题:共 4 小题,每小题 5 分,第 16 题第一个空 2 分,第二个空 3 分. 13、已知向量 (1,2)a  , (2, 2)b   , (1, )c  .若 (2 )c a b    ,则   ; 14、已知 x , y 满足 3 0 3 5 0 3 0 x y x y x        ≤ ≤ ≥ ,则 2z x y  的最大值是 ; 15、函数   3 2sin cos4f x x x      的最大值为 . 16、已知  R ,函数 2 4 ,( ) 4 3, x xf x x x x        ≥ ,当 2  时,不等式 ( ) 0f x  的解集是 ;若函数 ( )f x 恰有 2 个零点,则  的取值范围是 . 四、解答题:本大题共 6 个小题,满分 70 分,其中 17 题 10 分,其它各题 12 分.解答应写 出文字说明,证明过程或演算步骤. 17、(10 分) 记 nS 为等差数列{ }na 的前 n 项和,已知 1 7a   , 3 15S   . (1)求{ }na 的通项公式; (2)求 nS ,并求 nS 的最小值. 18、(12 分) 在 ABC 中,角 , ,A B C 所对的边分别是 , ,a b c , S 为其面积, 若4 2 cosS ac B . (1)求角 B 的大小; (2)设 BAC 的角平分线 AD 交 BC 于 D , 3AD  , 6BD  ,求cos BAC 的值。 19、(12 分) 设  21( ) sin cos sin cos2f x x x x x   . (Ⅰ)求 ( )f x 的最小正周期及单调递增区间; B D C A (Ⅱ)在锐角 ABC 中,角 , ,A B C ,的对边分别为 , ,a b c ,若 ( ) 02 Af  , 1a  ,求 ABC 面积的最大值. 20、(12 分) 如图,正方形 ABCD 的边长为 4, E , F 分别为 AD , BC 的中点,以 DF 为折痕把 DFC△ 折起,使点C 到达点 P 的位置,且 PF BF . (1)证明:平面 PEF  平面 ABFD ; (2)求三棱锥 P DEF 的体积; (3)求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值. 21、(12 分) 已知公差为正数的等差数列 na 的前 n 项和为 nS ,且 2 3 40a a  , 4 26S  ,数列 nb 的前 n 项和  12 2n nT n N    。 (1)求数列 na 与 nb 的通项公式; (2)求数列 n na b 的前 n 项和 nM . 22、(12 分) 设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)满足下列条件: ①当 x∈R 时,其最小值为 0,且 f (x-1)=f(-x-1)成立; ②直线 y x 与函数  f x 相切于点   1, 1f . (1)求 f(1)的值; (2)求 f(x)的解析式; (3)求最大的实数 m(m>1),使得 t R  ,只要当 x∈[1,m]时,就有 f(x+t)≤x 成立. 2019-2020 学年高二第一学期第一次调研考试数学科试题参考答案 一、单项选择题: BDAAB CBDBC 1、解析 由题意可得 M={x|-12⇒x>1,而 x>1 x>2,因此“x>1”是“x>2”的必 要不充分条件,故命题 q 是假命题,则¬q 是真命题,p∧¬q 是真命题,选 D. 3、解析 由等差数列的性质得 ,选 A. 4、【解析】 ,得 为奇函数,易 知 在 R 上是增函数.选 A. 5、B【解析】任取两个不同的数有 共 6 种,2 个数之差的绝对值为 2 的有 ,故 6、由正弦定理得 ,由余弦定理得: ,解得 , ∴ 7、由题意得直线的方程为: ,圆 的圆心为 , ∴圆心到直线的距离为: 8、由基本不等式得: ,当且仅当 ,即 时取等,∴ 9、B【解析】边换角后约去 ,得 ,所以 ,但 B 非最大角,所 以 . 10、C【解析】设等比数列 的公比为 ,∵ ,∴ , 即 ,∴ ,由 ,即 ,∴ . 二、多项选择题: AD ABC 11、由图可知 ,故 A、D 正确 三、填空题:13、 -2 14、5 15、5 16、 ; 【解析】若 ,则当 时,令 ,得 ; 当 时,令 ,得 .综上可知 ,所以不等式 的 解集为 .令 ,解得 ;令 ,解得 或 .因为函数 恰有 2 个零点,结合函数的图象(图略)可知 或 . 四、解答题: 17、【解析】(1)设 的公差为 d,由题意得 .……2 分 由 得 d=2.……3 分 所以 的通项公式为 .……5 分 (2)由(1)得 .……7 分 所以当 时, 取得最小值,最小值为−16.……10 分 18、【解析】(1)由三角形的面积公式得: 1 分 …… 3 分 ∴ ……4 分 ∵ ……5 分 ∴ ……6 分 (2)在 中,由正弦定理得 ……8 分 所以 ……10 分 ∴ ……12 分 19、【解析】(Ⅰ)由题意 .2 分 ∴函数 的最小正周期为 ……3 分 由 ( ),可得 ( );……5 分 所以 的单调递增区间是 ( );……6 分 (Ⅱ) , ,……7 分 由题意 是锐角,所以 .……8 分 由余弦定理: ,……9 分 可得 ……10 分 ,且当 时成立.……11 分 . 面积最大值为 .……12 分 20、【解析】(1)由已知可得, ⊥ , ⊥ ,1 分 ∵PF、EF 在平面 PEF 上,PF 交 EF 于点 F……2 分 所以 ⊥平面 PEF.……3 分 又 平面 ,所以平面 ⊥平面 .……4 分 (2)作 ⊥ ,垂足为 .由(1)得, ⊥平面 .……5 分 由(1)可得, ⊥ .又 =4, =2,所以 = .……6 分 又 =2, =4,故 ⊥ .……7 分 可得 , .……8 分 ∴ ……9 分 (3)连接 ,由(2)知, 是 在平面 上的射影,……10 分 ∴ 就是 与平面 所成角,……11 分 ∴ 与平面 所成角的正弦值为 ……12 分 21、【解析】(1)由题意知 , ∴ , 1 分 又公差为正数,故 , , , 2 分 ∴ , 3 分 由 得 当 , 4 分 当 时, 5 分 综上得 . 6 分 (2)由(1)知 ∴ 7 分 〖解法 1〗(错位相减法) 8 分 得 10 分 . 12 分 〖解法 2〗(待定系数法的简单解答过程) 设 8 分 由 ,得 解得 9 分 所以 10 分 注意:用待定系数法没有说明 的原理,最后结果正确也要扣 2 分。 〖解法 3〗(分合法) 7 分 8 分 ∴ 10 分 化简得 12 分 22、解 (1)由②知,点 在直线 上,∴f(1)=1.……2 分 (2)由①知二次函数的开口向上且关于 x=-1 对称,故可设此二次函数为 f(x)=a(x+ 1)2(a>0),又由 f (1)=1 代入求得 a= 1 4,故 f(x)= 1 4(x+1)2.……5 分 (3)假设存在 t∈R,只要 x∈[1,m],就有 f(x+t)≤x. 取 x=1,有 f(t+1)≤1,……6 分 即 1 4(t+2)2≤1, 解得-4≤t≤0.……7 分 对固定的 t∈[-4,0],取 x=m,有 f(t+m)≤m, 即 1 4(t+m+1)2≤m,……8 分 化简得 m2+2(t-1)m+(t2+2t+1)≤0, 解得 1-t-≤m≤1-t+,……9 分 故 m≤1-t+≤1-(-4)+=9,……10 分 t=-4 时,对任意的 x∈[1,9], 恒有 f(x-4)-x= 1 4(x2-10x+9)= 1 4(x-1)(x-9)≤0,……11 分 所以 m 的最大值为 9.……12 分

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