四川省宜宾市第四中学2020届高三三诊模拟考试数学（理）试题 13页

‎2020年春四川省宜宾市第四中学高三三诊模拟考试 理科数学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷 选择题（60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知集合，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．在复平面内，已知复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为 ‎ ‎ ‎ A．6500元 B．7000元 C．7500元 D．8000元 ‎4．等差数列的前项的和等于前项的和，若，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎5．将三个数，，从小到大排列得 ‎ A． B． C． D．‎ ‎6．函数的图象与函数的图象关于直线对称，则关于函数以下说法正确的是 ‎ A．最大值为1，图象关于直线对称 B．在上单调递减，为奇函数 C．在上单调递增，为偶函数 D．周期为，图象关于点对称 ‎7．已知是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列命题：‎ ‎①若，，则；②若，，则；‎ ‎③若是异面直线，，，，，则；‎ ‎④若不平行，则与不可能垂直于同一平面.，其中为真命题的是 ‎ A．②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④‎ ‎8．岳阳高铁站进站口有3个闸机检票通道口，高考完后某班3个同学从该进站口检票进站到外地旅游，如果同一个人进的闸机检票通道口选法不同，或几个人进同一个闸机检票通道口但次序不同，都视为不同的进站方式，那么这3个同学的不同进站方式有（ ）种 A．24 B．‎36 ‎C．42 D．60‎ ‎9．甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则 ‎ A．乙、丁可以知道自己的成绩 B．乙可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．丁可以知道四人的成绩 ‎10．在正方体中，点为线段的中点，设点在直线上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知直线与椭圆交于两点，且（其中为坐标原点），若椭圆的离心率满足，则椭圆长轴的取值范围是 ‎ A． B． C． D．‎ 第II卷 非选择题（90分）‎ 二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．若实数满足约束条件，则的最大值为__________.‎ ‎14．已知随机变量，且，则______.‎ ‎15．已知，则的值为____________.‎ ‎16．在边长为的菱形中，，沿对角线折起，使二面角的大小为，这时点在同一个球面上，则该球的表面积为____.‎ 三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）第30届夏季奥运会将于‎2012年7月27日在伦敦举行，当地某学校招募了8名男志愿者和12名女志愿者．将这20名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：cm）：若身高在‎180cm以上（包括‎180cm）定义为“高个子”，身高在‎180cm以下（不包括‎180cm）定义为“非高个子”,且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”．‎ ‎（I）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？‎ ‎（Ⅱ）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用X表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出X的分布列，并求X的数学期望．‎ ‎18．（12分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥底面ABC，AC＝AB＝SA＝2，AC⊥AB，D、E分别是AC、BC的中点，F在SE上，且SF＝2FE.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面SBC⊥平面SAE ‎（Ⅱ）若G为DE中点，求二面角G﹣AF﹣E的大小.‎ ‎19．（12分）已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求的单调递增区间； ‎ ‎（Ⅱ）若对任意恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎20．（12分）已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数在区间上的最小值；‎ ‎（Ⅱ）判断函数在区间上零点的个数.‎ ‎21．（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左顶点为，右焦点为，，为椭圆上两点，圆.‎ ‎（Ⅰ）若轴，且满足直线与圆相切，求圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若圆的半径为2，点，满足，求直线被圆截得弦长的最大值.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点P是曲线上的动点，点Q在OP的延长线上，且，点Q的轨迹为．‎ ‎（Ⅰ）求直线l及曲线的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若射线与直线l交于点M，与曲线交于点（与原点不重合），求的最大值.‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知函数，，且的解集为 ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若，且，求证 ‎2020年春四川省宜宾市第四中学高三三诊模拟考试 理科数学参考答案 ‎1．A 2．C 3．D 4．C 5．B 6．B 7．A 8．D 9．A 10．A 11．A 12．A ‎13． 14． 15． 16．‎ ‎17．解：（Ⅰ）根据茎叶图，有“高个子”8人，“非高个子”12人，‎ 用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是，‎ 所以选中的“高个子”有人，“非高个子”有人 用事件表示“至少有一名“高个子”被选中”，‎ 则它的对立事件表示“没有一名“高个子”被选中”，　则 因此，至少有一人是“高个子”的概率是 ‎ ‎（Ⅱ）依题意，所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数X的取值分别为．　　　　　‎ ‎， ，‎ ‎，．‎ 因此，X的分布列如下：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 所以X的数学期望.‎ ‎18．（1）∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥BC，又∵AC＝AB，且点E是BC的中点，‎ ‎∴BC⊥AE，∵SA∩AE＝A，∴BC⊥底面SAE，∵BC⊂平面SBC，∴平面SBC⊥平面SAE．‎ ‎（2）以A点为坐标原点，分别以AC，AB，AS为x，y，z轴建立空间坐标系O﹣xyz，‎ 则A（0，0，0），S（0，0，2），E（1，1，0），G（1，，0），C（2，0，0），B（0，2，0），‎ 由SF＝2FE得F（，，），∴＝（1，1，0），＝（，，），＝（1，，0），＝（2，﹣2，0）.‎ 设平面AFG的法向量为＝（x，y，z），则，令y＝2，得到x＝﹣1，z＝﹣1，‎ 即＝（﹣1，2，﹣1），设平面AFE的法向量为，‎ 由（1）知为平面AES的一个法向量，＝＝（2，﹣2，0），‎ ‎∴cosα＝＝＝，∵二面角G﹣AF﹣E的平面角 为锐角，∴二面角G﹣AF﹣E的大小为.‎ ‎19：（1）因为 ‎，‎ 由，得，‎ 所以的单调递减区间为.‎ ‎（2）由题意，，‎ 原不等式等价于，即恒成立，‎ 令（）‎ 由，所以时，的最大值为，因此.‎ ‎20．解：（Ⅰ）因为， ‎ ‎①当时，，所以在上是增函数，无最小值； ‎ ‎②当时，又得，由得 ‎∴在上是减函数，在上是增函数， ‎ 若，则在上是减函数，则；‎ 若，则在上是减函数，在上是增函数，∴‎ 综上：当时，的最小值为； 当时，的最小值为 ‎（Ⅱ）由得 令，则，由得，由得，所以在上是减函数，在上是增函数，‎ 且，且，当时，，‎ 所以，当时，无有零点；当或时，有1个零点；‎ 当时，有2个零点.‎ ‎21．解：（1）因为椭圆的方程为，所以，，因为轴，所以， ‎ 根据对称性，可取， 则直线的方程为，即. ‎ 因为直线与圆相切，得，所以圆的方程为 .‎ ‎（2）圆的半径为2，可得圆的方程为. ‎ ‎①当轴时，，所以，得，‎ 此时得直线被圆截得的弦长为. ‎ ‎②当与轴不垂直时，设直线的方程为，，，‎ 首先由，得，‎ 即，所以（*）. ‎ 联立，消去得，‎ 在时，，代入（*）式，得，‎ 由于圆心到直线的距离为，所以直线被圆截得的弦长为，故当时，有最大值为.综上，因为，‎ 所以直线被圆截得的弦长的最大值为. ‎ ‎22．（1）消去直线l参数方程中的t，得，‎ 由，得直线l的极坐标方程为，故．‎ 由点Q在OP的延长线上，且，得，设，则，‎ 由点P是曲线上的动点，可得，即，所以的极坐标方程为 ‎．‎ ‎（2）因为直线l及曲线的极坐标方程分别为，，‎ 所以，， ‎ 所以，‎ 所以当时，取得最大值，为．‎ ‎23．，，故，由题意可得的解集为，即的解集为，故．‎ ‎（2）由，，，且，∴‎ ‎，‎ 当且仅当时，等号成立．所以.‎