高中数学：《平行线等分线段定理》课件1（新人教A版选修4-1） 64页

平行线等分线段定理 定理：如果一组平行线在一条直线上 截得的线段相等， 那么在其他直线上截得的线段 也相等 . A B C 证明： 连结 AB 1 、 A 1 B 、 BC 1 、 B 1 C ， ∵ AB = BC ， ∴ S △ ABB 1 = S △ CBB 1 ； ∵ l 1 ∥ l 2 ∥ l 3 ， ∴ A 1 B 1 = B 1 C 1 . 说明：这里是用面积来证明的 , 请你注意学习这种方法 . l 1 l 2 l 3 A 1 B 1 C 1 ∴ S △ A 1 BB 1 = S △ C 1 BB 1 ， 已知：直线 l 1 ∥ l 2 ∥ l 3 ， AB = BC ， 求证： A 1 B 1 = B 1 C 1 . H ∟ （等底同高） （同底等高） ∴ S △ ABB 1 = S △ A 1 BB 1 ， S △ CBB 1 = S △ C 1 BB 1 ， 定理的适用情况 1 A B C l 1 l 2 l 3 A 1 B 1 C 1 ∵ 直线 l 1 ∥ l 2 ∥ l 3 ， AB = BC ， ∴ A 1 B 1 = B 1 C 1 . 定理的适用情况 2 A B C l 1 l 2 l 3 A 1 C 1 ∵ 直线 l 1 ∥ l 3 ， AB = BC ， ∴ A 1 B = BC 1 . ( 不再用全等三角形来证明 .) 定理的适用情况 3 A B C l 1 l 2 l 3 A 1 B 1 C 1 ∵ 直线 l 1 ∥ l 2 ∥ l 3 ， AB = BC ， ∴ A 1 B 1 = B 1 C 1 . 从特殊情况的研究中得到后面的两个推论 . 推论 1 ： A B C l 1 l 2 l 3 A 1 B 1 C 1 推论 1 ： A B C l 1 l 2 l 3 A 1 B 1 C 1 推论 1 ： A B C A 1 B 1 C 1 推论 1 ： A B C A 1 B 1 C 1 A B C A 1 B 1 C 1 推论 1 ： 经过梯形一腰的中点与底边平行的直线 , 必平分另一腰 . ∴ A 1 B 1 =B 1 C 1 . 在梯形 ACC 1 A 1 中， AA 1 ∥ CC 1 ， ∵ AB=BC, BB 1 ∥ CC 1 ， A B C l 1 l 2 l 3 A 1 B 1 C 1 推论 2 ： A B C l 1 l 2 l 3 A 1 B 1 C 1 推论 2 ： A B C l 1 l 2 l 3 A 1 B 1 C 1 推论 2 ： A B C l 1 l 2 l 3 A 1 B 1 C 1 推论 2 ： A B C l 1 l 2 l 3 A 1 B 1 C 1 推论 2 ： A B C l 1 l 2 l 3 A 1 B 1 C 1 推论 2 ： A B C l 1 l 2 l 3 A 1 B 1 C 1 推论 2 ： A B C l 1 l 2 l 3 A 1 B 1 C 1 推论 2 ： A B C l 1 l 2 l 3 A 1 B 1 C 1 推论 2 ： A B C l 1 l 2 l 3 A 1 B 1 C 1 推论 2 ： A B C l 1 l 2 l 3 A 1 B 1 C 1 推论 2 ： A B C B 1 C 1 推论 2 ： A B C B 1 C 1 推论 2 ： A B C l 1 l 2 l 3 A 1 B 1 C 1 推论 2 ： A B C B 1 C 1 推论 2 ： A B C B 1 C 1 推论 2 ： 推论 2 ： A B C B 1 C 1 推论 2 ： 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线 必平分第三边 . 在△ ACC 1 中， ∴ AB 1 =B 1 C . AB=BC ， BB 1 ∥ CC 1 ， A B C B 1 C 1 AF 交 BE 于 O ，且 AO = OD = DF ， 厘米 . 若 BE =60 厘米，那么 BO = C D E F O 20 一、填空题 1 、已知 AB ∥ CD ∥ EF ， A B 且 AE = BE ， 那么 DF = . CF 2 、已知 AD ∥ EF ∥ BC ， E F B C A D E 是 AB 的中点， 则 DG = ， H 是 E F B C A D G H 的中点， . F 是 的中点 BG AC CD 3 、已知 AD ∥ EF ∥ BC ， 4 、已知△ ABC 中， AB = AC ， AD ⊥ BC ， M 是 AD 的中点， CM 交 AB 于 P ， DN ∥ CM 交 AB 于 N ， 如果 AB =6 厘米， 则 PN = 厘米 . 2 A B C D . M P N ∟ 5 、已知△ ABC 中， CD 平分∠ ACB ， A B C D AE ⊥ CD 交 BC 于 E ， E DF ∥ CB 交 AB 于 F ， F AF =4 厘米， 则 AB = 厘米 . 8 ∟ 二、判断题 1 、若 AB ∥ CD ∥ EF ， A B C D E F AC = CE ， 则 BD = DF = AC = CE . ( ) × 则 AB ∥ CD ∥ EF ， 2 、如图，若 AC = CE ， BD = DF ， ( ) × A B C D E F A B C D E F 3 、过平行四边形对角线的交点且平行于一 组对边的直线必平分另一组对边。 ( ) √ A B C D O M N ( ( ( ( ″ ″ 4 、如图，已知 □ ABCD 中， ( ) AA 1 ⊥ l, BB 1 ⊥ l, CC 1 ⊥ l, DD 1 ⊥ l, 连结 AC 、 BD 交于点 O ，作 OO 1 ⊥ l, 则 A 1 B 1 = C 1 D 1 . √ A B C D O l A 1 B 1 C 1 D 1 O 1 ∟ ∟ ∟ ∟ ∟ 5 、过梯形一腰的中点且平行于底边的直线平 分两条对角线及另一腰。 ( ) √ P N M A B C D ( ( Q ( ( ( ( ( ( 三、证明题 1 、已知： Rt△ ABC 中，∠ ACB =90° ， A B C D 为 BC 边的中点， D DE ⊥ BC 交 AB 于 E ， E 求证： AB =2 CE . . ∟ ∟ 分析：需要证明 E 是 AB 的中点，使 CE 成为斜边的中线 . 证明： ∵∠ ACB =90° ， ∴∠ BDE =∠ ACB ， ∴ DE ∥ CA ， ∵ D 是 BC 的中点， ∴ E 是 AB 的中点， ∴ AB =2 CE . ∵ DE ⊥ BC ， ∴∠ BDE =90° ； 2 、已知： □ ABCD 中， E 、 F 分别是 AB 、 DC A B C D E F 的中点， M N 求证： BM = MN = NC . 分析：需证明 EC ∥ AF . 证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB = DC ， AB ∥ DC ； . . 分别交 BD 于 M 、 N ， ∵ E 、 F 分别是 AB 、 DC 的中点， ∴ AE = FC ， ∴ 四边形 AECF 是平行四边形， ∴ EC ∥ AF , ∴ BM = MN , MN = ND , 即 BM = MN = ND . CE 、 AF 3 、已知：梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ， A B C D E E 是 AB 边的中点， EF ∥ DC ，交 BC 于 F ， F 求证： DC =2 EF . 证明： M 作 EM ∥ BC 交 DC 于 M ， ∵ E 是梯形 ABCD 的腰 AB 的中点， ∴ M 是 DC 的中点，即 DC =2 MC ； ∵ EF ∥ DC ， ∴ EF = MC ， ∴ DC =2 EF . . 4 、已知：直角梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ， ∠ ABC =90° ， A B C D E E 是 DC 边的中点， 求证： AE = BE . 分析：需证 E 在 AB 的中垂线上 . 证明： F 作 EF ∥ BC 交 AB 于 F ， ∵ E 是梯形 ABCD 的腰 DC 的中点， ∴ F 是 AB 的中点； ∵ EF ∥ BC ，∠ ABC =90° ， ∴∠ AFE =∠ ABC =90° ， ∴ EF 是 AB 的垂直平分线， ∴ AE = BE . ∟ ∟ . 5 、已知：△ ABC 的两中线 AD 、 BE 相交于点 A B C D E G G ， CH ∥ EB 交 AD 的延长线于点 H ， H 求证： AG =2 GD . 分析：需要证明 GH =2 GD =2 DH . 证明： ∵ AD 、 BE 是中线， ∴ AE = EC ， BD = DC ， ∵ CH ∥ EB ， ∴ AG = GH ， ∴ AG =2 GD . 本题说明 三角形的两中线的交点把中线分成 2 ： 1 的两部分 . 这个结论叫做 重心定理 . （ 现行课本已把它略去 . ） GD = DH ， 6 、已知：梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ， A B C D E ABDE 是平行四边形， AD 的延长线交 EC 于 F ， F 求证： EF = FC . 分析：需证明 AF 、 BC 在 其他直线上截得 相等的线段 . 6 、已知：梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ， A B C D E ABDE 是平行四边形， AD 的延长线交 EC 于 F ， F 求证： EF = FC . 分析：需证明 AF 、 BC 在 其他直线上截得 相等的线段 . 证法 1 ： O 连结 BE 交 AF 于点 O ， ∵ 四边形 ABDE 是平行四边形， ∵ AF ∥ BC ， ∴ EF = FC . ∴ BO = OE ； ″ ′ ′ ″ A B C D E F 证法 2 ： H 延长 ED 交 BC 于点 H ， ∵ 四边形 ABDE 是平行四边形， ∵ AF ∥ BC ， ∴ EF = FC . ∴ 四边形 ABHD 是平行四边形， ∴ AB = DH ， ∴ ED = DH ； ∴ AB ∥ ED ，即 AB ∥ DH ， 且 AB=ED ， ′ ′ ″ ″ 6 、已知：梯形 ABCD 中， AD ∥BC ， ABDE 是平行四边形， AD 的延长线交 EC 于 F ， 求证： EF = FC . 分析：需证明 AF 、 BC 在 其他直线上截得 相等的线段 . A B C D E F 证法 3 ： M ′ ″ ″ ′ ′ 6 、已知：梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ， ABDE 是平行四边形， AD 的延长线交 EC 于 F ， 求证： EF = FC . 分析：需证明 AF 、 BC 在 其他直线上截得 相等的线段 . A B C D E F 证法 4 ： N ′ ″ ″ ′ ′ 6 、已知：梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ， ABDE 是平行四边形， AD 的延长线交 EC 于 F ， 求证： EF = FC . 分析：需证明 AF 、 BC 在 其他直线上截得 相等的线段 . 证法 5 ： A B C D E F P 。 。 × × AAS 分析：本题还有多种 构造全等形的证法 . 例如 ： 6 、已知：梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ， ABDE 是平行四边形， AD 的延长线交 EC 于 F ， 求证： EF = FC . 证法 6 ： AAS A B C D E F Q 。 。 × × 分析：本题还有多种 构造全等形的证法 . 例如 ： 6 、已知：梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ， ABDE 是平行四边形， AD 的延长线交 EC 于 F ， 求证： EF = FC . 证法 7 ： A B C D E F S × × × ） ） AAS 分析：本题还有多种 构造全等形的证法 . 例如 ： 6 、已知：梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ， ABDE 是平行四边形， AD 的延长线交 EC 于 F ， 求证： EF = FC . ） ） 证法 8 ： A B C D E F T ） ） 。 。 × × AAS 分析：本题还有多种 构造全等形的证法 . 例如 ： 6 、已知：梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ， ABDE 是平行四边形， AD 的延长线交 EC 于 F ， 求证： EF = FC . 证法 9 ： AAS A B C D E F P 。 。 × × 分析：本题还有多种 构造全等形的证法 . 例如 ： 6 、已知：梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ， ABDE 是平行四边形， AD 的延长线交 EC 于 F ， 求证： EF = FC . 证法 10 ： AAS A B C D E F Q 。 。 × × 分析：本题还有多种 构造全等形的证法 . 例如 ： 6 、已知：梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ， ABDE 是平行四边形， AD 的延长线交 EC 于 F ， 求证： EF = FC . 证法 11 ： AAS A B C D E F S 。 。 × × 分析：本题还有多种 构造全等形的证法 . 例如 ： 6 、已知：梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ， ABDE 是平行四边形， AD 的延长线交 EC 于 F ， 求证： EF = FC . 证法 12 ： AAS A B C D E F T 。 。 。 分析：本题还有多种 构造全等形的证法 . 例如 ： 已知：梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ， ABDE 是平行四边形， AD 的延长线交 EC 于 F ， 求证： EF = FC . × × × 7 、已知：△ ABC 中， AB = AC ， D 在 AB 上， F 在 AC 的延长线上， 且 BD = CF ， DF 交 BC 于 E ， 求证： DE = EF . 分析： 这是一道应已证过的题。 除用证三角形全等的方法外， 本题还可用平行线等分线段 定理的推论来证明。 这里给出动画显示，证明的语句略去。 证法 1 ： A B C D E F H ） ） （ （ . . . . ″ ″ ′ ′ 证法 2 ： A B C D E F H ( 以下略去。） 7 、已知：△ ABC 中， AB = AC ， D 在 AB 上， F 在 AC 的延长线上， 且 BD = CF ， DF 交 BC 于 E ， 求证： DE = EF . 8 、已知： AC ⊥ AB ， DB ⊥ AB ， O 是 CD 的中点， 求证： OA = OB . 分析：需证明点 O 在 AB 的垂直平分线上 . 证明： 作 OE ⊥ AB 于 E ， ∵ AC ⊥ AB ， DB ⊥ AB ， ∴∠ CAB =90° ，∠ DBA =90° ， ∴∠ CAB =∠ OEA =∠ DBA ， ∴ AC ∥ OE ∥ DB ； ∵ O 是 CD 的中点， ∴ E 是 AB 的中点， ∴ OE 是 AB 的垂直平分线， ∴ OA = OB . 则∠ OEA =90° ； A B C D O E ∟ ∟ ∟ 9 、已知： AD 为△ ABC 的中线， A B C D M P M 为 AD 的中点， 直线 CM 交 AB 于点 P ， 求证： AP = — 1 3 AB . 分析：可证明 BP =2 AP . 证明： Q 作 DQ ∥ CP 交 AB 于点 Q ； ∵ D 是 BC 的中点， M 是 AD 的中点， ∴ Q 是 BP 的中点， P 是 AQ 的中点， ∴ AP = PQ = QB ， ∴ AP = — 3 1 AB . 10 、已知：∠ ACB =90° ， AC = BC ， A B C 求证： MN = NB . 分析： 若结论成立，则过 B 作 NC 的平行线交直线 AC 必截得 相等的线段，反之亦然 . D ∟ E F M N ∟ ∟ CE = CF ， EM ⊥ AF ， CN⊥ AF ， A B C 10 、证明： D 延长 AC 到 D ，使 CD = CE ， 连结 DB . ∵∠ ACB =90° ， CN ⊥ AF ， ∴∠ CAF =∠ CBD ； ∴∠ NCF =∠ CAF =∠ CBD ， ∵ EM ⊥ AF ， ∴ EM ∥ CF ， ∴ MN = NB . 则△ ACF ≌△ BCD ， ∟ E F M N ∟ ∟ ∴ DB ∥ CN ； ∴ EM ∥ CN ∥ DB ， 小结： 　　平行线等分线段定理是一个重要 的定理，在这里是利用面积证明的， 这种证法还可以用于后面即将学到的 平行线分线段成比例定理。