新高考2020高考数学二轮复习大题考法专训六圆锥曲线中的定点定值存在性问题 5页

大题考法专训（六） 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题 A级——中档题保分练 ‎1．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，上顶点M到直线x＋y＋4＝0的距离为3.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)设直线l过点(4，－2)，且与椭圆C相交于A，B两点，l不经过点M，证明：直线MA的斜率与直线MB的斜率之和为定值．‎ 解：(1)由题意可得，解得 所以椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)证明：易知直线l的斜率恒小于0，设直线l的方程为y＋2＝k(x－4)，k＜0且k≠－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 联立得(1＋4k2)x2－16k(2k＋1)x＋64k(k＋1)＝0，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝，‎ 因为kMA＋kMB＝＋ ‎＝，‎ 所以kMA＋kMB＝2k－(4k＋4)×＝2k－4(k＋1)×＝2k－(2k＋1)＝－1(为定值)．‎ ‎2．(2019·济南模拟)已知抛物线C1：y2＝2px(p＞0)与椭圆C2：＋＝1有一个相同的焦点，过点A(2,0)且与x轴不垂直的直线l与抛物线C1交于P，Q两点，P关于x轴的对称点为M.‎ ‎(1)求抛物线C1的方程；‎ ‎(2)试问直线MQ是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．‎ 解：(1)由题意可知，抛物线的焦点为椭圆的右焦点，坐标为(1,0)，‎ 所以p＝2，‎ 所以抛物线C1的方程为y2＝4x.‎ ‎(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x3，y3)，‎ 因为点P与点M关于x轴对称，所以y3＝－y1，‎ 设直线PQ的方程为x＝ty＋2，‎ 代入y2＝4x得，y2－4ty－8＝0，所以y1y2＝－8，‎ - 5 -‎ 设直线MQ的方程为x＝my＋n，‎ 代入y2＝4x得，y2－4my－4n＝0，所以y2y3＝－4n，‎ 因为y3＝－y1，所以y2(－y1)＝－y1y2＝－4n＝8，即n＝－2，‎ 所以直线MQ的方程为x＝my－2，必过定点(－2,0)．‎ ‎3．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，其离心率为，短轴长为2.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)过定点M(0,2)的直线l与椭圆C交于G，H两点(G在M，H之间)，设直线l的斜率k＞0，在x轴上是否存在点P(m,0)，使得以PG，PH为邻边的平行四边形为菱形？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由．‎ 解：(1)由已知，得解得 所以椭圆C的标准方程为＋＝1.‎ ‎(2)设直线l的方程为y＝kx＋2(k＞0)，‎ 联立消去y并整理得，(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0，由Δ＞0，解得k＞.‎ 设G(x1，y1)，H(x2，y2)，‎ 则y1＝kx1＋2，y2＝kx2＋2，x1＋x2＝.‎ 假设存在点P(m,0)，使得以PG，PH为邻边的平行四边形为菱形，则PG―→＋PH―→＝(x1＋x2－‎2m，k(x1＋x2)＋4)，‎ GH―→＝(x2－x1，y2－y1)＝(x2－x1，k(x2－x1))，‎ ‎(PG―→＋PH―→)·GH―→＝0，‎ 即(1＋k2)(x1＋x2)＋4k－‎2m＝0，‎ 所以(1＋k2)·＋4k－‎2m＝0，‎ 解得m＝－＝－.‎ 因为k＞，所以－≤m＜0，当且仅当＝4k时等号成立，故存在满足题意的点P，且m的取值范围是.‎ B级——拔高题满分练 ‎1．(2019·开封模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为 - 5 -‎ M，△MF‎1F2为等腰直角三角形，且其面积为1.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)过点M分别作直线MA，MB交椭圆C于A，B两点，设这两条直线的斜率分别为k1，k2，且k1＋k2＝2，证明：直线AB过定点．‎ 解：(1)由题意得a2＝1，∴a＝，‎ 又b＝c，a2＝b2＋c2，∴b＝1，‎ ‎∴椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)证明：由(1)得M(0,1)．当直线AB的斜率不存在时，设A(x0，y0)，则B(x0，－y0)，由k1＋k2＝2得＋＝2，得x0＝－1.‎ 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋m(m≠1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 由可得(1＋2k2)x2＋4kmx＋‎2m2‎－2＝0，‎ 则Δ＝8(2k2－m2＋1)＞0，‎ x1＋x2＝，x1·x2＝.‎ 由k1＋k2＝2，得＋＝2，‎ 即＝2，‎ ‎(2－2k)x1x2＝(m－1)(x1＋x2)，‎ ‎(2－2k)(‎2m2‎－2)＝(m－1)(－‎4km)，‎ 由m≠1，得(1－k)(m＋1)＝－km，∴m＝k－1，‎ 即y＝kx＋m＝kx＋k－1＝k(x＋1)－1，‎ 故直线AB过定点(－1，－1)，‎ 经检验，当k＞0或k＜－2时，直线AB与椭圆C有两个交点，满足题意．‎ 综上所述，直线AB过定点(－1，－1)．‎ ‎2．设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，圆O：x2＋y2＝2与x轴正半轴交于点A，圆O在点A处的切线被椭圆C截得的弦长为2.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)设圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于M，N两点，试判断|PM|·|PN|是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．‎ 解：(1)设椭圆的半焦距为c，‎ - 5 -‎ 由椭圆的离心率为，知b＝c，a＝b，‎ 则椭圆C的的方程为＋＝1.‎ 易求得A(，0)，则点(，)在椭圆上，‎ 所以＋＝1，‎ 解得所以椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)当过点P且与圆O相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为x＝，由(1)知，M(，)，N(，－)，＝(，)，＝(，－)，·＝0，∴OM⊥ON.‎ 当过点P且与圆O相切的切线斜率存在时，可设切线方程为y＝kx＋m，M(x1，y1)，N(x2，y2)，‎ 则＝，即m2＝2(k2＋1)．‎ 联立消去y，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋‎2m2‎－6＝0，则Δ＞0，x1＋x2＝－，x1x2＝，‎ ‎∵＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，‎ ‎∴·＝x1x2＋y1y2‎ ‎＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)‎ ‎＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2‎ ‎＝(1＋k2)·＋km·＋m2‎ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝0，‎ ‎∴OM⊥ON.‎ 综上所述，圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于点M，N，都有OM⊥ON，‎ 在Rt△OMN中，由△OMP∽△NOP，可得|PM|·|PN|＝|OP|2＝2为定值．‎ ‎3．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，点A - 5 -‎ 在椭圆C上．‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在直线y＝上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足PM―→＝NQ―→？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．‎ 解：(1)设椭圆C的焦距为‎2c，则c＝1，‎ 因为A在椭圆C上，‎ 所以‎2a＝|AF1|＋|AF2|＝2，‎ 因此a＝，b2＝a2－c2＝1，‎ 故椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)不存在满足条件的直线，证明如下：‎ 假设存在斜率为2的直线，满足条件，则设直线的方程为y＝2x＋t，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P，Q(x4，y4)，MN的中点为D(x0，y0)，‎ 由消去x，得9y2－2ty＋t2－8＝0，‎ 所以y1＋y2＝，且Δ＝4t2－36(t2－8)＞0，‎ 故y0＝＝，且－3＜t＜3.‎ 由PM―→＝NQ―→，得＝(x4－x2，y4－y2)，‎ 所以有y1－＝y4－y2，y4＝y1＋y2－＝t－.‎ ‎(也可由PM―→＝NQ―→，知四边形PMQN为平行四边形，而D为线段MN的中点，因此D也为线段PQ的中点，所以y0＝＝，可得y4＝)‎ 又－3＜t＜3，所以－＜y4＜－1，‎ 与椭圆上点的纵坐标的取值范围是[－1,1]矛盾．‎ 因此不存在满足条件的直线．‎ - 5 -‎