天津市七校2020届高三上学期期中考试联考数学试题 20页

‎2019～2020学年度第一学期期中七校联考高三数学 一、选择题：共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式简化集合的表示，用列举法表示集合，最后根据集合交集的定义求出.‎ ‎【详解】，，‎ 又，所以，故本题选C.‎ ‎【点睛】本题考查了列举法表示集合、集合交集的运算，正确求解出不等式的解集是解题的关键.‎ ‎2.若x＞0＞y，则下列各式中一定正确的是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 举反例否定A,B,C，根据不等式性质证明D成立.‎ ‎【详解】∵,, ∴A,B,C不正确，‎ ‎∵x＞0，∴＞0，∵y＜0，∴＜0，∴＞．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查比较大小，考查基本分析判断能力，属基本题.‎ ‎3.已知，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．‎ ‎【详解】,故 故选：C ‎【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，熟记指对函数的单调性与底的关系是关键，属于基础题．‎ ‎4.要得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ）‎ A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为函数，要得到函数的图象，只需要将函数的图象向右平移个单位。‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：三角函数图象进行平移变换时注意提取x的系数，进行周期变换时，需要将x的系数变为原来的ω倍，要特别注意相位变换、周期变换的顺序，顺序不同，其变换量也不同．‎ 此处有视频，请去附件查看】‎ ‎5.有下面四个命题，其中正确命题的序号是（ ）‎ ‎①“直线、不相交”是“直线、为异面直线”的充分而不必要条件；②“直线平面内所有直线”的充要条件是“平面”；③“直线直线”的充要条件是“平行于 所在的平面”；④“直线平面”的必要而不充分条件是“直线平行于内的一条直线．”‎ A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ③④‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①“直线、为异面直线” “直线、不相交”，反之不成立，即可判断出关系；‎ ‎②根据线面垂直的判定与性质定理即可判断出正误；‎ ‎③“直线直线”与“平行于所在的平面”相互不能推出，即可判断出正误；‎ ‎④“直线平面” “直线平行于内的一条直线”，反之不成立；即可判断出关系．‎ ‎【详解】解：①“直线、为异面直线” “直线、不相交”，‎ ‎“直线、不相交” 直线、的位置关系有平行或异面，故由“直线、不相交”得不到“直线、为异面直线”‎ 因此“直线、不相交”是“直线、为异面直线”的必要而不充分条件，因此不正确；‎ ‎②“直线平面内所有直线”的充要条件是“平面”，正确；‎ ‎③由“直线直线”则直线与直线所在的平面的位置关系有平行、在平面内；‎ 由“平行于所在的平面”则直线与直线可能平行，异面；‎ 故“直线直线”与“平行于所在的平面”相互不能推出，‎ 因此不正确；‎ ‎④由“直线平面” 可得直线平行平面内的无数条直线；‎ 由“直线平行于内的一条直线”则直线可能与平面平行也可能在平面内；‎ 故“直线平面” “直线平行于内的一条直线”，反之不成立，‎ ‎ “直线平面”的必要而不充分条件是“直线平行于内的一条直线．”‎ 综上只有②④正确．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查了空间位置关系的判定与性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎6.在中，分别为的对边．如果成等差数列，的面积为，那么（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得．平方后整理得．利用三角形面积可求得的值，代入余弦定理可求得的值．‎ ‎【详解】解：，，成等差数列，．‎ 平方得．①‎ 又的面积为，且，‎ 由，解得，‎ 代入①式可得，‎ 由余弦定理．‎ 解得，又为边长，．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列和三角形的面积，涉及余弦定理的应用，属基础题．‎ ‎7.已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，则的大小关系正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用条件构造函数，然后利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性比较大小．‎ ‎【详解】解：根据题意，设，‎ 若为奇函数，则，则函数为偶函数，‎ 当时，，‎ 又由当时，，则，则函数在上为减函数，‎ ‎，（2），，‎ 且，‎ 则有；‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，涉及函数奇偶性的性质以及应用，关键是构造新函数，属于综合题．‎ ‎8.如图，，点是线段上的一个动点，为的中点，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意以为坐标原点，建立面直角坐标系，用坐标表示出，然后进行运算。‎ ‎【详解】解：‎ 所以可建立以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，‎ 则，，，‎ 直线的方程为 因为是线段上的一个动点，所以可设，则 ‎，‎ 当时，‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查向量的数量积，当出现图形比较规则时可采用建立平面直角坐标系法，用坐标进行运算比较方便，属于中档题。‎ ‎9.已知函数,若函数在区间[－2，4]内有3个零点，则实数的取值范围是（ ）．‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先作出函数的图像，再由函数在区间[－2，4]内有3个零点可得，函数与在区间[－2，4]内有3个不同交点，进而可求出结果.‎ ‎【详解】当时，；当时，；又时，，所以可作出函数在[－2，4]的图像如下：‎ 又函数在区间[－2，4]内有3个零点，所以函数与在区间[－2，4]内有3个不同交点，由图像可得或,‎ 即或.‎ 故选D ‎【点睛】本题主要考查函数的零点问题，将函数有零点的问题转化为两函数有交点的问题来处理，运用数形结合思想即可求解，属于常考题型.‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.‎ ‎10.函数的图象在点处的切线方程为___．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得函数的导数，利用导数的几何意义求得切线的斜率，利用直线的点斜式方程，即可求得切线的方程.‎ ‎【详解】由题意，函数，则，‎ 所以函数的图象在点处的斜率为，‎ 即函数的图象在点处切线方程为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程，其中解答熟记函数导数的几何意义，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎11.已知数列首项为，且，则为________.‎ ‎【答案】31‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造可得，从而可得数列是以2为首项，以2为等比数列，可先求，进而可求，把代入可求 ‎【详解】‎ 是以2为首项，以2为等比数列 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用数列的递推关系求解数列的项，待定系数法 迭代的方法即构造等比（等差）数列的方法求解，‎ ‎12.若在上单调递减，则的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知得在，上单调递增，且由此能求出的取值范围．‎ ‎【详解】解：函数在，上单调递减，‎ 在，上单调递增，‎ ‎，‎ 解得．‎ 故答案：‎ ‎【点睛】本题考查复合函数的单调性，实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数的单调性的合理运用．‎ ‎13.如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知求出直三棱柱截球所得圆的半径，再求出球心到截面的距离，利用勾股定理求得半径，代入球的体积公式得答案．‎ ‎【详解】解：直三棱柱的底面边长分别是5，12，13，底面为直角三角形，‎ 设其内切圆的半径为，则，解得．‎ 又直三棱柱的高为4，且球心到下底面距离为8，则球心到截面的距离为4．‎ 如图，，，则球的半径．‎ 球的体积为 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查球的表面积与体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．‎ ‎14.已知，且，求的最小值________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将变形为，展开，利用基本不等式解之．‎ ‎【详解】解：已知，，，‎ 则，‎ 当且仅当时等号成立；‎ 故答案为：3‎ ‎【点睛】本题考查了利用基本不等式求代数式的最值；关键是变形为能够利用基本不等式的形式．‎ ‎15.设函数，其中．若函数在上恰有个零点，则的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的零点，对大于0的零点按从小到大排序，第二个在上，第三个大于，由此可求得的范围．‎ ‎【详解】取零点时满足条件，当时的零点从小到大依次为 ‎，所以满足 ，解得：‎ ‎【点睛】本题考查三角函数零点个数问题，属于中等题，解题时只要求出零点，按题设条件列出不等关系即可求解参数范围．‎ 三、解答题：本大题共5个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎16.设函数. ‎ ‎（Ⅰ）求的最小正周期和对称中心；‎ ‎（Ⅱ）若函数，求函数在区间上的最值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）， ；（Ⅱ），.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）把已知函数解析式变形，再由辅助角公式化积，利用周期公式求周期，再由求得值，可得函数的对称中心；‎ ‎（Ⅱ）求出的解析式，得到函数在区间上的单调性，则最值可求．‎ ‎【详解】（Ⅰ）由已知，有 ‎． ‎ 最小正周期，‎ 由，得，．‎ 对称中心为；‎ ‎（Ⅱ）由，得，‎ 当时，，，可得在区间上单调递增，‎ 当时，，，可得在区间上单调递减．‎ ‎．‎ 又，．‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的恒等变换应用，考查型函数的图象和性质，是中档题．‎ ‎17.如图，在四边形ABCD中，，，，，．‎ 求边AB的长及的值；‎ 若记，求的值．‎ ‎【答案】（1）,；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知可求，中，由正弦定理可求AB，中由余弦定理，可求．‎ 由可得，进而可求，进而根据二倍角公式，可求，然后根据两角差的余弦公式即可求解.‎ ‎【详解】由题意，因为，，，‎ ‎，，‎ 中，由正弦定理可得，，，‎ ‎．‎ 中由余弦定理可得，‎ 由可得，，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角恒等变换的应用，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎18.如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，‎ ‎，点、分别在线段、上，且，其中，连接，延长与的延长线交于点，连接．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）若时，求二面角的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）若直线与平面所成角的正弦值为时，求值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）在线段上取一点，使得，，证明四边形为平行四边形，得到，然后证明平面．‎ ‎（Ⅱ）以为坐标原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，平面的一个法向量利用空间向量的数量积，求解二面角的正弦值．‎ ‎（Ⅲ）令，，，，，求出平面的一个法向量利用空间向量的数量积转化求解即可．‎ ‎【详解】（Ⅰ）在线段上取一点，使得，，‎ 且，‎ ‎，‎ ‎，且，‎ 且，‎ 四边形为平行四边形，‎ ‎，‎ 又平面，平面，‎ 平面．‎ ‎（Ⅱ）以为坐标原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，‎ ‎，，1，，，0，‎ 设平面的一个法向量为，‎ ‎，，‎ ‎，令，，，‎ 设平面的一个法向量为，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 令，，，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 二面角的正弦值为．‎ ‎（Ⅲ）令，，，，，‎ 设平面的一个法向量为，‎ ‎，，‎ ‎，令，‎ ‎，‎ 由题意可得：，‎ ‎，‎ ‎，．‎ ‎【点睛】本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．‎ ‎19.已知是各项均为正数等比数列，是等差数列，且.‎ ‎（I）求和的通项公式；‎ ‎（II）设数列满足，求；‎ ‎（III）对任意正整数，不等式成立，求正数的取值范围．‎ ‎【答案】（I），，；（II）；（III）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设出公比和公差，将已知转化为，的方程组，解方程组，结合，即可得到和的通项公式；‎ ‎（2）将要求的算式分组后，分别用等比数列的求和公式和错位相减法求和相加即可；‎ ‎（3）将分离后，转化为在上恒成立，进而转化为求函数在上的最小值．‎ ‎【详解】解：（1）设数列的公比为，数列的公差为，由题意，‎ 由已知有，消去整理得：，‎ ‎，解得，‎ ‎，‎ 数列的通项公式为，，‎ 数列的通项公式为，；‎ ‎（2），‎ ‎，‎ 令 令 令 ‎；‎ ‎（3）对任意正整数，不等式成立 即对任意正整数成立 记 则 ‎，即递增 故，‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列和等比数列通项公式，分组求和，公式求和以及错位相减法求和，不等式恒成立问题．考查了分析解决问题的能力和推理转化能力．属于难题．‎ ‎20.已知.‎ ‎（I）若，判断函数在的单调性；‎ ‎（II）设，对，有恒成立，求的最小值；‎ ‎（III）证明：.‎ ‎【答案】（I）在单调递增；（II）2；（III）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1），函数，‎ ‎．．根据，可得，而．即可得出单调性．‎ ‎（2）由题意知，，对，，有恒成立．，设，由，可得时，‎ 单调递增，又，，因此在内存在唯一零点，使，即，利用其单调性可得：，故，设，．利用导数研究其单调性即可得出所求的最小值．‎ ‎（3）由可知时，（1），即：．设，可得，可得，求和利用对数的运算性质即可得出．‎ ‎【详解】解：（1），函数，．‎ ‎．‎ 又，，而．‎ ‎，‎ 故在上单调递增．‎ ‎（2）由题意知，，对，，有恒成立．‎ ‎，‎ 设，则，‎ 由于，故，‎ 时，单调递增，又，，‎ 因此在内存在唯一零点，使，即，‎ 且当，，，单调递减；‎ ‎，，，，单调递增．‎ 故，‎ 故，‎ 设，．‎ ‎，‎ 又设，，‎ 故在上单调递增，因此，即，在上单调递增，‎ ‎，，又，，‎ 故所求的最小值为2．‎ ‎（3）由（1）可知时，，即：‎ 设，则 因此 即 ‎,‎ 得证．‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、换元法、放缩法、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎