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  • 2021-06-15 发布

2019-2020学年河南省开封市五县联考高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)

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‎2019-2020学年河南省开封市五县联考高二上学期期末考试数学(理)试题 一、单选题 ‎1.函数在区间上的平均变化率为( )‎ A.-1 B.1 C.2 D.3‎ ‎【答案】B ‎【解析】直接利用平均变化率公式进行求值.‎ ‎【详解】‎ 因为,‎ 所以在区间上的平均变化率为.‎ 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查函数的平均变化率,考查运算求解能力,属于基础题.‎ ‎2.“”是“”成立的( )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】解对数不等式,再利用集合间的包含关系进行判断.‎ ‎【详解】‎ 因为,‎ 集合为集合的真子集,‎ 所以推出,反之不成立,‎ 所以“”是“”成立的必要不充分条件.‎ 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查充分条件与必要条件的判断、对数不等式求解,考查运算求解能力,求解时注意将问题转化成集合间的基本关系,属于基础题.‎ ‎3.双曲线:的离心率是( )‎ A.3 B. C.2 D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】双曲线:化为标准方程是,则,,根据离心率公式,求解即可.‎ ‎【详解】‎ 双曲线:化为标准方程是,其离心率是.‎ 故选:D ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的离心率,双曲线方程标准化,是解决本题的关键,属于较易题.‎ ‎4.函数的单调增区间为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】先求定义域,再求导数,令解不等式,即可.‎ ‎【详解】‎ 函数的定义域为 令,解得 故选:D ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数研究函数的单调性,属于中档题.‎ ‎5.设等差数列的前项和为,且,则( )‎ A.45 B.54 C.63 D.72‎ ‎【答案】C ‎【解析】设等差数列的公差为,利用等差数列通项公式求得,再代入等差数列前项和公式求出.‎ ‎【详解】‎ 设等差数列的公差为,‎ 由,得 所以,所以.‎ 所以.‎ 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列通项公式、前项和公式,考查函数与方程思想,考查运算求解能力,属于基础题.‎ ‎6.已知,满足,则的最大值为( )‎ A.5 B.6 C.7 D.8‎ ‎【答案】A ‎【解析】作出可行域,根据简单线性规划求解即可.‎ ‎【详解】‎ 作出可行域如图:‎ 由可得:,‎ 平移直线经过点A时,有最大值,‎ 由解得,‎ 平移直线经过点A时,有最大值,‎ ‎.‎ 故选:A ‎【点睛】‎ 本题主要考查了简单的线性规划,属于中档题.‎ ‎7.设,函数为奇函数,曲线的一条切线的切点的纵坐标是0,则该切线方程为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据奇函数的定义先求得的值,再利用导数的几何意义求得切线方程.‎ ‎【详解】‎ 因为函数是奇函数,所以对一切恒成立,‎ 所以对一切恒成立,‎ 所以对一切恒成立,‎ 所以,解得,所以,所以.‎ 因为曲线的一条切线的切点的纵坐标是0,‎ 所以令,解得.‎ 所以曲线的这条切线的切点的坐标为,‎ 切线的斜率为.‎ 故曲线的这条切线方程为,即.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性、导数的几何意义,考查函数与方程思想、数形结合思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意涉及切线问题时,要先明确切点坐标.‎ ‎8.若函数,则当时,的最大值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】对函数求导得,解不等式求得函数的单调区间,从而求得的最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ 当时,,是增函数,‎ 当时,,是减函数,‎ ‎∴最大值为.‎ 故选:D ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数研究函数在闭区间的最值,考查函数与方程思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意先判断函数的单调性,再求最值.‎ ‎9.已知,,,若不等式对已知的,及任意实数恒成立,则实数的取值范围是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用基本不等式求得的最小值,再利用参变分离将问题转化为恒成立问题,从而求得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎∵,‎ 当且仅当时等号成立,‎ ‎∴,即,‎ ‎∴.‎ 故选:D ‎【点睛】‎ 本题考查基本不等式求最值、一元二次函数的最值,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意参变分离法的运用.‎ ‎10.公差不为0的等差数列的部分项,,,…构成公比为4的等比数列,且,,则( )‎ A.4 B.6 C.8 D.22‎ ‎【答案】B ‎【解析】设等差数列的公差为,利用,,构成公比为4的等比数列,都用表示,再利用等差数列的通项公式得到,从而得到等量关系,并求得的值.‎ ‎【详解】‎ 设等差数列的公差为.‎ 因为等比数列的公比为4,且,,‎ 所以,,构成公比为4的等比数列.‎ 所以,所以,得.‎ 所以,‎ 所以,即,解得.‎ 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列中基本量法运算,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意子数列为等比数列的运用.‎ ‎11.椭圆的左焦点为,直线与椭圆相交于点,当的周长最大时,的面积是 A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】先确定周长最大时的取值,再求解三角形的面积.‎ ‎【详解】‎ 设椭圆右焦点为,的周长为,则.‎ 因为,所以;‎ 此时,故的面积是故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用椭圆的定义求解最值问题.利用定义式实现两个焦半径之间的相互转化是求解关键.‎ ‎12.已知抛物线的焦点为,点是抛物线上一点,且满足,从点引抛物线准线的垂线,垂足为,则的内切圆的周长为( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】不妨设点在第一象限,则,,求出,,再利用三角形等面积法,求得内切圆的半径,进而求得答案.‎ ‎【详解】‎ 如图,不妨设点在第一象限,则,,‎ ‎,所以,此时,‎ 所以.从而的面积为.‎ 易知点,,所以.‎ 设的内切圆的半径为,内心为点,‎ 则由,得,解得.‎ 所以的内切圆的周长为.‎ 故选:A ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的焦半径、三角形的内切圆,考查函数与方程思想、数形结合思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意利用等积法求内切圆的半径.‎ 二、填空题 ‎13.质点按规律做直线运动(位移单位:,时间单位:),则质点在时的瞬时速度为______(单位:).‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】对进行求导,再将的值代入,即可得答案.‎ ‎【详解】‎ 因为,所以,‎ 所以质点在时的瞬时速度为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数在物理中的运用,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意导数与瞬时速度的关系.‎ ‎14.______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】利用微积分基本定理直接运算求值.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查定积分的运算求值,考查运算求解能力,属于基础题.‎ ‎15.已知为坐标原点,为抛物线:的焦点,直线:与抛物线交于,两点,点在第一象限,若,则的值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设,,利用焦半径的公式代入,并与抛物线方程联立,求得点的坐标,再代入斜率公式求得的值.‎ ‎【详解】‎ 设,,直线过抛物线的焦点,‎ ‎∵,,所以,,‎ ‎∴,‎ 由,得,‎ ‎∴,,,‎ ‎∴,.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的焦半径、直线与抛物线的位置关系、斜率公式,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意焦半径公式的运用.‎ ‎16.已知函数,令,若函数有四个零点,则实数的取值范围为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】可作出的图像,将问题转化为函数与直线的交点问题,观察图像可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 当时,,‎ 可理解为函数与直线的交点问题(如图)‎ 令,有,设切点的坐标为,‎ 则过点的切线方程为,‎ 将点坐标代入可得:,‎ 整理为:,‎ 解得:或,得或,‎ 故,而,两点之间的斜率为,‎ 故.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查零点及交点问题,过点的切线问题,意在考查学生的划归能力,‎ 分析能力,逻辑推理能力,计算能力,难度较大.‎ 三、解答题 ‎17.已知函数.‎ ‎(1)求函数的单调区间;‎ ‎(2)求函数在区间上的值域.‎ ‎【答案】(1)的增区间为,减区间为,;(2).‎ ‎【解析】(1)对函数求导得,再解导数不等式求得函数的单调区间;‎ ‎(2)由(1)得函数在递减,在递增,在递减,比较,,的大小及时,函数值大于0,即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由,‎ 当时,解得,当,解得或,‎ 故函数的增区间为,减区间为,.‎ ‎(2)由,,,‎ 又由,‎ 由,,可得 ‎ [或利用,,可得]‎ 又由当时,,‎ 故函数在区间上的值域为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数研究函数的单调区间、求函数的值域,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意函数将函数的极值与区间端点函数值的大小进行比较,同时注意函数值的正负.‎ ‎18.如图,在三棱锥中,平面平面,、均为等边三角形,为的中点,点在上.‎ ‎(1)求证:平面平面;‎ ‎(2)若点是线段的中点,求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2).‎ ‎【解析】(1)证明平面,再利用面面垂直的判定定理,即可证明结论;‎ ‎(2)以,,所在的直线分别为,,轴建立空间直角坐标系,设,求出向量和面的一个法向量,再求两向量夹角的余弦值,从而求得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)因为、均为等边三角形,为的中点,‎ 所以,.‎ 又,所以平面,即平面.‎ 又平面,所以平面平面;‎ ‎(2)因为平面平面,平面平面,,平面,所以平面.‎ 又平面,所以,所以,,两两互相垂直.‎ 故以,,所在的直线分别为,,轴建立空间直角坐标系如下图所示:‎ 不妨设,则,.‎ 则点,,,,,.‎ 则,,,‎ 设平面的法向量为,则,‎ 取,,,则,‎ ‎,,,‎ ‎,‎ 则直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面垂直、面面垂直的证明、线面角的向量法求解,考查转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意建系前要证明三条直线两两互相垂直.‎ ‎19.已知抛物线的焦点为,点在抛物线上,且.‎ ‎(1)求抛物线的方程;‎ ‎(2)过焦点的直线与抛物线分别交于两点,点的坐标分别为,,为坐标原点,若,求直线的方程.‎ ‎【答案】(1);(2)或 ‎【解析】【试题分析】(1)将点的坐标代入抛物线方程,结合抛物线的定义可求得,抛物线方程为.(2)设直线的方程为,联立直线方程和抛物线方程,消去,写出韦达定理,代入,化简可求得,即求得直线方程.‎ ‎【试题解析】‎ ‎(1)由点在抛物线上,有,解得,‎ 由抛物线定义有:,解:,‎ 故抛物线的方程为.‎ ‎(2)设直线的方程为:,联立方程,消去得:,‎ 故有:,,,‎ ‎ ,‎ 则,故,解得:,‎ 所求直线的方程为:或.‎ ‎20.已知函数的一个极值点为2.‎ ‎(1)求函数的极值;‎ ‎(2)求证:函数有两个零点.‎ ‎【答案】(1)极小值为,没有极大值;(2)证明见解析.‎ ‎【解析】(1)先求定义域为,再求导数为,由题意可知,解得,则,确定导数的正负,求解即可.‎ ‎(2)由(1)可知的单调性,分别确定、、的正负,从而判断零点个数,即可.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)解:定义域为 ‎∵2是的极值点 ‎∴ ∴‎ ‎∴.‎ ‎∴时,;时,‎ ‎∴的单调减区间为,单调增区间为.‎ ‎∴有极小值为,没有极大值.‎ ‎(2)证明:由(1)知的单调减区间为,单调增区间为 ‎∵‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎∴有1个零点在区间内,有1个零点在区间内,‎ ‎∴只有两个零点.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数研究函数的极值,以及利用导数求函数的零点问题,属于较难的题.‎ ‎21.在平面直角坐标系中,四个点,,,中有3个点在椭圆:上.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)过原点的直线与椭圆交于,两点(,不是椭圆的顶点),点在椭圆上,且,直线与轴、轴分别交于、两点,设直线,的斜率分别为,,证明:存在常数使得,并求出的值.‎ ‎【答案】(1);(2)证明见解析,.‎ ‎【解析】(1)根据椭圆的对称性可知,关于轴对称的,在椭圆上.分类讨论,当在椭圆上时,当在椭圆上时,分别求解,根据确定,即可.‎ ‎(2)设,,由题意可知,,设直线的方程为,与椭圆联立,变形整理得,确定,,从而,直线的方程为,分别令、确定点与点的坐标,求直线,的斜率分别为,,求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)∵,关于轴对称.‎ ‎∴这2个点在椭圆上,即①‎ 当在椭圆上时,②‎ 由①②解得,.‎ 当在椭圆上时,③‎ 由①③解得,.‎ 又 ‎∴,‎ ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎(2)设,,则.‎ 因为直线的斜率,又.‎ 所以直线的斜率.‎ 设直线的方程为,由题意知,.‎ 由可得,‎ 所以,.‎ 由题意知,所以,所以直线的方程为,令,得,即,可得,‎ 令,得,即,可得,‎ 所以,即,因此,存在常数使得结论成立.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求椭圆的标准方程,以及直线与椭圆的位置关系,属于较难的题.‎ ‎22.已知函数,.‎ ‎(1)若曲线与在点处有相同的切线,求函数的极值;‎ ‎(2)若时,不等式在(为自然对数的底数,)上恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)的极大值,极小值为;(2).‎ ‎【解析】(1)利用导数的几何意义求得,再对函数求导,解导数不等式求得单调区间,从而求得函数的极值;‎ ‎(2)设,定义域为,要使在上恒成立,只需在上恒成立;对分5种情况讨论,研究函数的最小值,从而求得的范围.‎ ‎【详解】‎ ‎(1),,,,‎ 由题意知,∴,‎ ‎∴,∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴或时,,时,,‎ ‎∴在上是增函数,在上是减函数,在上是增函数,‎ ‎∴的极大值,极小值为.‎ ‎(2)设,定义域为,‎ 要使在上恒成立,只需在上恒成立,‎ 因为,‎ 由于,所以由,即,可得或,‎ ‎①当,即,易知,令,‎ 解得.不满足条件;‎ ‎②当,即时,则必须,由①知,不满足条件;‎ ‎③当,即时,则必须,解得.不满足条件.‎ ‎④当,即时,则必须,‎ 由,解得,‎ 设,则,‎ 可知在区间上单调递增,所以,所以不满足条件;‎ ‎⑤当,即时,则必须,解得,而,‎ 所以.‎ 综上所述的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数几何意义、利用导数研究函数的性质、研究不等式恒成立求参数值,考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意讨论要做到不重不漏.‎

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