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- 2021-06-15 发布
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2019-2020学年河南省开封市五县联考高二上学期期末考试数学(理)试题
一、单选题
1.函数在区间上的平均变化率为( )
A.-1 B.1 C.2 D.3
【答案】B
【解析】直接利用平均变化率公式进行求值.
【详解】
因为,
所以在区间上的平均变化率为.
故选:B
【点睛】
本题考查函数的平均变化率,考查运算求解能力,属于基础题.
2.“”是“”成立的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】解对数不等式,再利用集合间的包含关系进行判断.
【详解】
因为,
集合为集合的真子集,
所以推出,反之不成立,
所以“”是“”成立的必要不充分条件.
故选:B
【点睛】
本题考查充分条件与必要条件的判断、对数不等式求解,考查运算求解能力,求解时注意将问题转化成集合间的基本关系,属于基础题.
3.双曲线:的离心率是( )
A.3 B. C.2 D.
【答案】D
【解析】双曲线:化为标准方程是,则,,根据离心率公式,求解即可.
【详解】
双曲线:化为标准方程是,其离心率是.
故选:D
【点睛】
本题考查双曲线的离心率,双曲线方程标准化,是解决本题的关键,属于较易题.
4.函数的单调增区间为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】先求定义域,再求导数,令解不等式,即可.
【详解】
函数的定义域为
令,解得
故选:D
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性,属于中档题.
5.设等差数列的前项和为,且,则( )
A.45 B.54 C.63 D.72
【答案】C
【解析】设等差数列的公差为,利用等差数列通项公式求得,再代入等差数列前项和公式求出.
【详解】
设等差数列的公差为,
由,得
所以,所以.
所以.
故选:C
【点睛】
本题考查等差数列通项公式、前项和公式,考查函数与方程思想,考查运算求解能力,属于基础题.
6.已知,满足,则的最大值为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
【答案】A
【解析】作出可行域,根据简单线性规划求解即可.
【详解】
作出可行域如图:
由可得:,
平移直线经过点A时,有最大值,
由解得,
平移直线经过点A时,有最大值,
.
故选:A
【点睛】
本题主要考查了简单的线性规划,属于中档题.
7.设,函数为奇函数,曲线的一条切线的切点的纵坐标是0,则该切线方程为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据奇函数的定义先求得的值,再利用导数的几何意义求得切线方程.
【详解】
因为函数是奇函数,所以对一切恒成立,
所以对一切恒成立,
所以对一切恒成立,
所以,解得,所以,所以.
因为曲线的一条切线的切点的纵坐标是0,
所以令,解得.
所以曲线的这条切线的切点的坐标为,
切线的斜率为.
故曲线的这条切线方程为,即.
故选:A.
【点睛】
本题考查函数的奇偶性、导数的几何意义,考查函数与方程思想、数形结合思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意涉及切线问题时,要先明确切点坐标.
8.若函数,则当时,的最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】对函数求导得,解不等式求得函数的单调区间,从而求得的最大值.
【详解】
,
当时,,是增函数,
当时,,是减函数,
∴最大值为.
故选:D
【点睛】
本题考查利用导数研究函数在闭区间的最值,考查函数与方程思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意先判断函数的单调性,再求最值.
9.已知,,,若不等式对已知的,及任意实数恒成立,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】利用基本不等式求得的最小值,再利用参变分离将问题转化为恒成立问题,从而求得答案.
【详解】
∵,
当且仅当时等号成立,
∴,即,
∴.
故选:D
【点睛】
本题考查基本不等式求最值、一元二次函数的最值,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意参变分离法的运用.
10.公差不为0的等差数列的部分项,,,…构成公比为4的等比数列,且,,则( )
A.4 B.6 C.8 D.22
【答案】B
【解析】设等差数列的公差为,利用,,构成公比为4的等比数列,都用表示,再利用等差数列的通项公式得到,从而得到等量关系,并求得的值.
【详解】
设等差数列的公差为.
因为等比数列的公比为4,且,,
所以,,构成公比为4的等比数列.
所以,所以,得.
所以,
所以,即,解得.
故选:B
【点睛】
本题考查等差数列中基本量法运算,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意子数列为等比数列的运用.
11.椭圆的左焦点为,直线与椭圆相交于点,当的周长最大时,的面积是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】先确定周长最大时的取值,再求解三角形的面积.
【详解】
设椭圆右焦点为,的周长为,则.
因为,所以;
此时,故的面积是故选D.
【点睛】
本题主要考查利用椭圆的定义求解最值问题.利用定义式实现两个焦半径之间的相互转化是求解关键.
12.已知抛物线的焦点为,点是抛物线上一点,且满足,从点引抛物线准线的垂线,垂足为,则的内切圆的周长为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】不妨设点在第一象限,则,,求出,,再利用三角形等面积法,求得内切圆的半径,进而求得答案.
【详解】
如图,不妨设点在第一象限,则,,
,所以,此时,
所以.从而的面积为.
易知点,,所以.
设的内切圆的半径为,内心为点,
则由,得,解得.
所以的内切圆的周长为.
故选:A
【点睛】
本题考查抛物线的焦半径、三角形的内切圆,考查函数与方程思想、数形结合思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意利用等积法求内切圆的半径.
二、填空题
13.质点按规律做直线运动(位移单位:,时间单位:),则质点在时的瞬时速度为______(单位:).
【答案】4
【解析】对进行求导,再将的值代入,即可得答案.
【详解】
因为,所以,
所以质点在时的瞬时速度为.
故答案为:.
【点睛】
本题考查导数在物理中的运用,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意导数与瞬时速度的关系.
14.______.
【答案】2
【解析】利用微积分基本定理直接运算求值.
【详解】
.
故答案为:.
【点睛】
本题考查定积分的运算求值,考查运算求解能力,属于基础题.
15.已知为坐标原点,为抛物线:的焦点,直线:与抛物线交于,两点,点在第一象限,若,则的值为______.
【答案】
【解析】设,,利用焦半径的公式代入,并与抛物线方程联立,求得点的坐标,再代入斜率公式求得的值.
【详解】
设,,直线过抛物线的焦点,
∵,,所以,,
∴,
由,得,
∴,,,
∴,.
故答案为:.
【点睛】
本题考查抛物线的焦半径、直线与抛物线的位置关系、斜率公式,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意焦半径公式的运用.
16.已知函数,令,若函数有四个零点,则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】可作出的图像,将问题转化为函数与直线的交点问题,观察图像可得到答案.
【详解】
当时,,
可理解为函数与直线的交点问题(如图)
令,有,设切点的坐标为,
则过点的切线方程为,
将点坐标代入可得:,
整理为:,
解得:或,得或,
故,而,两点之间的斜率为,
故.
【点睛】
本题主要考查零点及交点问题,过点的切线问题,意在考查学生的划归能力,
分析能力,逻辑推理能力,计算能力,难度较大.
三、解答题
17.已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)求函数在区间上的值域.
【答案】(1)的增区间为,减区间为,;(2).
【解析】(1)对函数求导得,再解导数不等式求得函数的单调区间;
(2)由(1)得函数在递减,在递增,在递减,比较,,的大小及时,函数值大于0,即可得到答案.
【详解】
(1)由,
当时,解得,当,解得或,
故函数的增区间为,减区间为,.
(2)由,,,
又由,
由,,可得
[或利用,,可得]
又由当时,,
故函数在区间上的值域为.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调区间、求函数的值域,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意函数将函数的极值与区间端点函数值的大小进行比较,同时注意函数值的正负.
18.如图,在三棱锥中,平面平面,、均为等边三角形,为的中点,点在上.
(1)求证:平面平面;
(2)若点是线段的中点,求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】(1)证明平面,再利用面面垂直的判定定理,即可证明结论;
(2)以,,所在的直线分别为,,轴建立空间直角坐标系,设,求出向量和面的一个法向量,再求两向量夹角的余弦值,从而求得答案.
【详解】
(1)因为、均为等边三角形,为的中点,
所以,.
又,所以平面,即平面.
又平面,所以平面平面;
(2)因为平面平面,平面平面,,平面,所以平面.
又平面,所以,所以,,两两互相垂直.
故以,,所在的直线分别为,,轴建立空间直角坐标系如下图所示:
不妨设,则,.
则点,,,,,.
则,,,
设平面的法向量为,则,
取,,,则,
,,,
,
则直线与平面所成角的正弦值为.
【点睛】
本题考查线面垂直、面面垂直的证明、线面角的向量法求解,考查转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意建系前要证明三条直线两两互相垂直.
19.已知抛物线的焦点为,点在抛物线上,且.
(1)求抛物线的方程;
(2)过焦点的直线与抛物线分别交于两点,点的坐标分别为,,为坐标原点,若,求直线的方程.
【答案】(1);(2)或
【解析】【试题分析】(1)将点的坐标代入抛物线方程,结合抛物线的定义可求得,抛物线方程为.(2)设直线的方程为,联立直线方程和抛物线方程,消去,写出韦达定理,代入,化简可求得,即求得直线方程.
【试题解析】
(1)由点在抛物线上,有,解得,
由抛物线定义有:,解:,
故抛物线的方程为.
(2)设直线的方程为:,联立方程,消去得:,
故有:,,,
,
则,故,解得:,
所求直线的方程为:或.
20.已知函数的一个极值点为2.
(1)求函数的极值;
(2)求证:函数有两个零点.
【答案】(1)极小值为,没有极大值;(2)证明见解析.
【解析】(1)先求定义域为,再求导数为,由题意可知,解得,则,确定导数的正负,求解即可.
(2)由(1)可知的单调性,分别确定、、的正负,从而判断零点个数,即可.
【详解】
(1)解:定义域为
∵2是的极值点
∴ ∴
∴.
∴时,;时,
∴的单调减区间为,单调增区间为.
∴有极小值为,没有极大值.
(2)证明:由(1)知的单调减区间为,单调增区间为
∵
∴
.
∴有1个零点在区间内,有1个零点在区间内,
∴只有两个零点.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的极值,以及利用导数求函数的零点问题,属于较难的题.
21.在平面直角坐标系中,四个点,,,中有3个点在椭圆:上.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过原点的直线与椭圆交于,两点(,不是椭圆的顶点),点在椭圆上,且,直线与轴、轴分别交于、两点,设直线,的斜率分别为,,证明:存在常数使得,并求出的值.
【答案】(1);(2)证明见解析,.
【解析】(1)根据椭圆的对称性可知,关于轴对称的,在椭圆上.分类讨论,当在椭圆上时,当在椭圆上时,分别求解,根据确定,即可.
(2)设,,由题意可知,,设直线的方程为,与椭圆联立,变形整理得,确定,,从而,直线的方程为,分别令、确定点与点的坐标,求直线,的斜率分别为,,求解即可.
【详解】
(1)∵,关于轴对称.
∴这2个点在椭圆上,即①
当在椭圆上时,②
由①②解得,.
当在椭圆上时,③
由①③解得,.
又
∴,
∴椭圆的方程为.
(2)设,,则.
因为直线的斜率,又.
所以直线的斜率.
设直线的方程为,由题意知,.
由可得,
所以,.
由题意知,所以,所以直线的方程为,令,得,即,可得,
令,得,即,可得,
所以,即,因此,存在常数使得结论成立.
【点睛】
本题考查求椭圆的标准方程,以及直线与椭圆的位置关系,属于较难的题.
22.已知函数,.
(1)若曲线与在点处有相同的切线,求函数的极值;
(2)若时,不等式在(为自然对数的底数,)上恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)的极大值,极小值为;(2).
【解析】(1)利用导数的几何意义求得,再对函数求导,解导数不等式求得单调区间,从而求得函数的极值;
(2)设,定义域为,要使在上恒成立,只需在上恒成立;对分5种情况讨论,研究函数的最小值,从而求得的范围.
【详解】
(1),,,,
由题意知,∴,
∴,∴,
∴,
∴或时,,时,,
∴在上是增函数,在上是减函数,在上是增函数,
∴的极大值,极小值为.
(2)设,定义域为,
要使在上恒成立,只需在上恒成立,
因为,
由于,所以由,即,可得或,
①当,即,易知,令,
解得.不满足条件;
②当,即时,则必须,由①知,不满足条件;
③当,即时,则必须,解得.不满足条件.
④当,即时,则必须,
由,解得,
设,则,
可知在区间上单调递增,所以,所以不满足条件;
⑤当,即时,则必须,解得,而,
所以.
综上所述的取值范围是.
【点睛】
本题考查导数几何意义、利用导数研究函数的性质、研究不等式恒成立求参数值,考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意讨论要做到不重不漏.