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- 2021-06-15 发布
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2018-2019学年江苏省扬州高邮市高二上学期期中考试数学试题
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分. 不需写出解答过程.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
1. 命题“,”的否定是 ▲ .
2. 过点且与直线垂直的直线方程是 ▲ .
3. 抛物线的准线方程是 ▲ .
4. 命题“若,则”的否命题是 ▲ .
5. 若圆的半径为3,圆心与点关于点对称,则圆的标准方程为 ▲ .
6. “直线与圆相切”是“”的 ▲ .(填“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分又不必要条件”中的一个)
7. 若抛物线上一点M到焦点的距离为3,则点M到y轴的距离为 ▲ .
8. 直线与直线平行,则与间的距离为 ▲ .
9. 椭圆的左、右两焦点分别为,椭圆上一点满足,则的面积为 ▲ .
10. 已知双曲线的一条渐近线平行于直线l:,且它的一个焦点在直线l上,则双曲线C的方程为 ▲ .
11. 已知椭圆的左焦点为,下顶点为.若平行于且在轴上截距为的直线与圆相切,则该椭圆的离心率为 ▲ .
1. 椭圆C:的左顶点为A,左焦点为F,过点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B,BF垂直于x轴,若<k<, 则椭圆的离心率的取值范围是 ▲ .
2. 过点作直线与圆交于两点,且为中点,则弦的长为 ▲ .
3. 已知点,,圆()上存在唯一的点,使,则实数的值是 ▲ .
二、解答题:(本大题共6小题,共90分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (本题满分14分)
在平面直角坐标系中,直线的方程为.
(Ⅰ) 若直线的斜率为,求实数的值;
(Ⅱ)若直线与坐标轴围成的三角形的面积为,求实数的值.
16.(本题满分14分)
已知命题, 命题 实数满足:方程表示双曲线.
(Ⅰ)若命题为真命题,求实数的取值范围;
(Ⅱ)若命题“或”为假命题,求实数的取值范围.
17.(本题满分14分)
已知点,圆.
(Ⅰ)过点作圆的切线,为切点,求线段的长;
(Ⅱ)过点作直线与圆交于两点,且,求直线的方程.
18.(本题满分16分)
为迎接第十四届中国双黄鸭蛋节,组委会设计了鸭蛋型图徽.图徽外框由半圆和半椭圆组成(如图),半圆的直径为10,椭圆的离心率为,且短轴与半圆的直径重合,图徽内有一矩形区域用于绘画图案,矩形关于椭圆的长轴对称,且顶点在图徽外框上.
(Ⅰ)建立适当的直角坐标系,求出半圆的方程和半椭圆的方程;
(Ⅱ)根据美学知识,当时达到最佳美观的效果,求达到最佳美观的效果时的长.
19.(本题满分16分)
已知椭圆C的两个顶点分别为A(−2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)已知点是椭圆上一点,求以点为切点的椭圆的切线方程;
(Ⅲ)设点是直线上一动点,过点作椭圆的两条切线,切点分别为,直线是否过定点?如果是,请求出定点坐标;如果不是,请说明理由.
20.(本题满分16分)
已知椭圆:,四点中恰有三个点在椭圆上.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)如图,动直线:交椭圆于两点,是椭圆上一点,直线的斜率为,且,是线段延长线上一点,且,以为圆的圆半径为,是圆的两条切线,切点分别为.求的最大值,并求取得最大值时直线的斜率.
2018-2019学年第一学期期中测试
数学参考答案
一、填空题:
1., 2. 3.4.若,则
5.6.必要不充分条件7.28.9.10.11.12.13.14或
二、解答题:
15. 解:(Ⅰ)直线斜率存在时,斜率为,则; ……7分
(Ⅱ)由,时,;时,;
则围成的三角形面积为,
由面积为可得. ……14分
16.解:(Ⅰ)因为恒成立,
则,......................3分
解得,所以实数的取值范围是. .......6分
(Ⅱ)因为“”为假命题,所以为假命题,为假命题. .......8分
当为真命题时,则,解得
所以为假命题时.......10分
由(1)知,为假命题时.......12分
从而,解得
所以实数的取值范围为.......14分
17.解:(Ⅰ)圆:,圆心为,半径2.……2分
……4分
连结,则, ……5分
所以 …………6分
(Ⅱ)①设圆心到直线的距离为,
,则 ……8分
若直线的斜率不存在,则,满足; ……9分
若直线的斜率存在,设方程为,即
则
令,解得,
此时直线的方程为 ……13分
综上所述,方程为或.…………14分
(说明:不考虑斜率不存在的情况,扣3分)
18.解:(Ⅰ)以半圆的直径为x轴,圆心为坐标原点,建立平面直角坐标系,则半圆的方程为(),…………4分
椭圆的短半轴,所以
所以半椭圆方程为 ()…………8分
(Ⅱ)当的四个顶点均在边界上时,面积最大,设第一象限内的点的横坐标为,则,,
……10分
由得,…………12分
解得,
此时…………14分
答:达到最佳美观的效果时为…………16分
19.(Ⅰ)设椭圆的方程为.
由题意得解得.
所以.
所以椭圆的方程为.…………3分
(Ⅱ)(1)如果,则切线的斜率存在,[]
设切线方程为,即
与椭圆联立,消去整理得:
(*)
因为直线与椭圆相切,所以方程(*)中
△=……5分
得 ①
又因为点在椭圆上,所以代入①
得
所以…………6分
所以切线方程为,即…………7分
(2)如果坐标为,则切线方程为,满足…………8分
(3)如果坐标为,则切线方程为,满足…………9分
综上所述,切线方程为…………10分
(Ⅲ)法一:设,
则由(Ⅱ)可知,方程为 ①
方程为 ②…………12分
由①②解得,由,即
又的方程为,…………13分
令得,…………15分
所以恒过定点.…………16分
法二:设,
则由(Ⅱ)可知,方程为
又点在上,所以…………12分
同理
所以的方程为…………13分
由,得
所以恒过定点.…………16分
20.解:(Ⅰ)由对称性可知,在椭圆上,不在椭圆上,则在椭圆上,所以,将点B代入椭圆方程,可得
所以椭圆方程为………4分
(Ⅱ)设,
联立方程
得,
由题意知,
且,…………6分
所以 .
由题意可知圆的半径为………8分
由题设知,
所以………9分
因此直线的方程为.
联立方程
得,………11分
因此 .
由题意可知 ,………12分
而
,
令,
则,
因此 ,
当且仅当,即时等号成立,此时,………14分
所以 ,[]
因此,
所以 最大值为.………15分
综上所述:的最大值为,取得最大值时直线的斜率为.……16分