【数学】2021届一轮复习人教版（文）第5章第3节　平面向量的数量积与平面向量应用举例学案 13页

第三节 平面向量的数量积与平面向量应 用举例 [最新考纲] 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的 数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的 运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直 关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的 力学问题与其他一些实际问题． 1．向量的夹角 已知两个非零向量 a 和 b，作OA → ＝a，OB → ＝b，则∠AOB 就是向量 a 与 b 的 夹角，向量夹角的范围是：[0，π]． 2．平面向量的数量积 定义 设两个非零向量 a，b 的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做 a 与 b 的 数量积，记作 a·b 投影 |a|cos θ叫做向量 a 在 b 方向上的投影，|b|cos θ叫做向量 b 在 a 方 向上的投影 几何意义 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ的乘 积 3.平面向量数量积的运算律 (1)交换律：a·b＝b·a； (2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； (3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 4．平面向量数量积的性质及其坐标表示 设非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉． 结论 几何表示 坐标表示 模 |a|＝ a·a |a|＝ x21＋y21 数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2 夹角 cos θ＝ a·b |a||b| cos θ＝ x1x2＋y1y2 x21＋y21· x22＋y22 a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2| ≤ x21＋y21· x22＋y22 [常用结论] 1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2； (2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. 2．两个向量 a，b 的夹角为锐角⇔a·b＞0 且 a，b 不共线； 两个向量 a，b 的夹角为钝角⇔a·b＜0 且 a，b 不共线． 一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量． ( ) (2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量． ( ) (3)由 a·b＝0 可得 a＝0 或 b＝0. ( ) (4)(a·b)c＝a(b·c)． ( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)× 二、教材改编 1．已知 a·b＝－12 2，|a|＝4，a 和 b 的夹角为 135°，则|b|为( ) A．12 B．6 C．3 3 D．3 B [a·b＝|a||b|cos 135°＝－12 2，所以|b|＝ －12 2 4× － 2 2 ＝6.] 2．已知|a|＝5，|b|＝4，a 与 b 的夹角θ＝120°，则向量 b 在向量 a 方向上的 投影为 ． －2 [由数量积的定义知，b 在 a 方向上的投影为|b|cos θ＝4×cos 120°＝－ 2.] 3．已知|a|＝2，|b|＝6，a·b＝－6 3，则 a 与 b 的夹角θ＝ . 5π 6 [cos θ＝ a·b |a|·|b| ＝－6 3 2×6 ＝－ 3 2 . 又因为 0≤θ≤π，所以θ＝5π 6 .] 4．已知向量 a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则 m＝ . 8 [∵a＝(1，m)，b＝(3，－2)， ∴a＋b＝(4，m－2)，由(a＋b)⊥b 可得 (a＋b)·b＝12－2m＋4＝16－2m＝0，即 m＝8.] 考点 1 平面向量数量积的运算 平面向量数量积的三种运算方法 (1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则 a·b＝x1x2＋y1y2. (3)利用数量积的几何意义求解． (1)(2019·全国卷Ⅱ)已知AB → ＝(2,3)，AC → ＝(3，t)，|BC → |＝1，则AB → ·BC → ＝ ( ) A．－3 B．－2 C．2 D．3 (2)[一题多解](2019·天津高考)在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AB＝2 3，AD ＝5，∠A＝30°，点 E 在线段 CB 的延长线上，且 AE＝BE，则BD → ·AE → ＝ . (1)C (2)－1 [(1)∵BC → ＝AC → －AB → ＝(1，t－3)， ∴|BC → |＝ 12＋t－32＝1，∴t＝3， ∴AB → ·BC → ＝(2,3)·(1,0)＝2. (2)法一：∵∠BAD＝30°，AD∥BC，∴∠ABE＝30°， 又 EA＝EB，∴∠EAB＝30°， 在△EAB 中，AB＝2 3，∴EA＝EB＝2. 以 A 为坐标原点，直线 AD 为 x 轴建立如图所示的平面直角坐标系． 则 A(0,0)，D(5,0)，E(1， 3)，B(3， 3)， ∴BD → ＝(2，－ 3)，AE → ＝(1， 3)， ∴BD → ·AE → ＝(2，－ 3)·(1， 3)＝－1. 法二：同法一，求出 EB＝EA＝2， 以AB → ，AD → 为一组基底， 则BD → ＝AD → －AB → ，AE → ＝AB → ＋BE → ＝AB → －2 5AD → ， ∴BD → ·AE → ＝(AD → －AB → )· AB → －2 5AD → ＝AD → ·AB → －AB → 2＋2 5AB → ·AD → －2 5AD → 2 ＝7 5 ×5×2 3× 3 2 －12－2 5 ×25＝－1.] [逆向问题] 已知菱形 ABCD 的边长为 6，∠ABD＝30°，点 E，F 分别在边 BC，DC 上， BC＝2BE，CD＝λCF.若AE → ·BF → ＝－9，则λ的值为( ) A．2 B．3 C．4 D．5 B [依题意得AE → ＝AB → ＋BE → ＝1 2BC → －BA → ，BF → ＝BC → ＋1 λBA → ，因此AE → ·BF → ＝ 1 2BC → －BA → · BC → ＋1 λBA → ＝1 2BC → 2－1 λBA → 2＋ 1 2λ －1 BC → ·BA → ，于是有 1 2 －1 λ ×62＋ 1 2λ －1 ×62×cos 60°＝－9，由此解得λ＝3，故选 B.] 解决涉及几何图形的向量的数量积运算常有两种思路：一是定义法， 二是坐标法，定义法可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算， 但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补；坐 标法要建立合适的坐标系． 1.(2019·昆明模拟)在▱ABCD 中，|AB → |＝8，|AD → |＝6，N 为 DC 的中点， BM → ＝2MC → ，则AM → ·NM → ＝ . 24 [ 法 一 ： ( 定 义 法 ) AM → · NM → ＝ ( AB → ＋ BM → )·( NC → ＋ CM → ) ＝ AB → ＋2 3AD → · 1 2AB → －1 3AD → ＝1 2AB → 2－2 9AD → 2＝1 2 ×82－2 9 ×62＝24. 法二：(特例图形)：若▱ABCD 为矩形，建立如图所示坐标系， 则 N(4,6)，M(8,4)． 所以AM → ＝(8,4)，NM → ＝(4，－2) 所以AM → ·NM → ＝(8,4)·(4，－2)＝32－8＝24.] 2．在△ABC 中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝π 2 ，D 是 AC 的中点，E 在 BC 上， 且 AE⊥BD，则AE → ·BC → ＝( ) A．16 B．12 C．8 D．－4 A [建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(4,0)，B(0,0)，C(0,6)，D(2,3)．设 E(0，b)，因为 AE⊥BD，所以AE → ·BD → ＝0，即(－4，b)·(2,3)＝0，所以 b＝8 3 ， 所以 E 0，8 3 ，AE → ＝ －4，8 3 ， 所以AE → ·BC → ＝16，故选 A.] 考点 2 平面向量数量积的应用 平面向量的模 求向量模的方法 利用数量积求模是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法： (1)a2＝a·a＝|a|2 或|a|＝ a·a； (2)|a±b|＝ a±b2＝ a2±2a·b＋b2； (3)若 a＝(x，y)，则|a|＝ x2＋y2. (1)[一题多解](2019·全国卷Ⅱ)已知向量 a＝(2,3)，b＝(3,2)，则|a－ b|＝( ) A. 2 B．2 C．5 2 D．50 (2)已知平面向量 a，b 的夹角为π 6 ，且|a|＝ 3，|b|＝2，在△ABC 中，AB → ＝2a ＋2b，AC → ＝2a－6b，D 为 BC 中点，则|AD → |等于( ) A．2 B．4 C．6 D．8 (3)已知在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P 是腰 DC 上的动点，则|PA → ＋3PB → |的最小值为 ． (1)A (2)A (3)5 [(1)法一：∵a＝(2,3)，b＝(3,2)，∴a－b＝(－1,1)，∴|a －b|＝ －12＋12＝ 2，故选 A. 法二：∵a＝(2,3)，b＝(3,2)，∴|a|2＝13，|b|2＝13，a·b＝12，则|a－b|＝ a2－2a·b＋b2＝ 13－2×12＋13＝ 2.故选 A. (2)因为AD → ＝1 2(AB → ＋AC → )＝1 2(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b， 所以|AD → |2＝4(a－b)2＝4(a2－2b·a＋b2)＝4× 3－2×2× 3×cos π 6 ＋4 ＝4， 则|AD → |＝2. (3)建立平面直角坐标系如图所示，则 A(2,0)，设 P(0，y)，C(0，b)，则 B(1， b)，则PA → ＋3PB → ＝(2，－y)＋3(1，b－y)＝(5,3b－4y)． 所以|PA → ＋3PB → | ＝ 25＋3b－4y2(0≤y≤b)． 当 y＝3 4b 时，|PA → ＋3PB → |min＝5.] 在求解与向量的模有关的问题时，往往会涉及“平方”技巧，注意 对结论(a±b)2＝|a|2＋|b|2±2a·b，(a＋b＋c)2＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2(a·b＋b·c＋a·c)的灵 活运用．另外，向量作为工具性的知识，具备代数和几何两种特征，求解此类问 题时可以使用数形结合的思想，从而加快解题速度． 平面向量的夹角 求向量夹角问题的方法 (1)定义法：当 a，b 是非坐标形式时，求 a 与 b 的夹角θ，需求出 a·b 及|a|， |b|或得出它们之间的关系，由 cos θ＝ a·b |a||b| 求得． (2)坐标法：若已知 a＝(x1，y1)与 b＝(x2，y2)，则 cos〈a，b〉＝ x1x2＋y1y2 x21＋y21· x22＋y22 ， 〈a，b〉∈[0，π]． (3)解三角形法：可以把所求两向量的夹角放到三角形中进行求解． (1)(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量 a，b 满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b， 则 a 与 b 的夹角为( ) A.π 6 B.π 3 C.2π 3 D.5π 6 (2)(2019·全国卷Ⅲ)已知 a，b 为单位向量，且 a·b＝0，若 c＝2a－ 5b，则 cos〈a，c〉＝ . (1)B (2)2 3 [(1)法一：因为(a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝a·b－|b|2＝0，又因为 |a|＝2|b|，所以 2|b|2cos〈a，b〉－|b|2＝0，即 cos〈a，b〉＝1 2 ，又知〈a，b〉∈[0， π]，所以〈a，b〉＝π 3 ，故选 B. 法二：如图，令OA → ＝a，OB → ＝b，则BA → ＝OA → －OB → ＝a－b，因为(a－b)⊥b， 所以∠OBA＝90°， 又|a|＝2|b|，所以∠AOB＝π 3 ，即〈a，b〉＝π 3.故选 B. (2)法一：∵|a|＝|b|＝1，a·b＝0， ∴a·c＝a·(2a－ 5b)＝2a2－ 5a·b＝2， |c|＝|2a－ 5b|＝ 2a－ 5b2 ＝ 4a2＋5b2－4 5a·b＝3. ∴cos〈a，c〉＝ a·c |a||c| ＝2 3. 法二：不妨设 a＝(1,0)，b＝(0,1)， 则 c＝2(1,0)－ 5(0,1)＝(2，－ 5)， ∴cos〈a，c〉＝ 2 1×3 ＝2 3.] [逆向问题] 若向量 a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，已知 2a－3b 与 c 的夹角为钝角，则 k 的取值范围是 ． －∞，－9 2 ∪ －9 2 ，3 [因为 2a－3b 与 c 的夹角为钝角， 所以(2a－3b)·c＜0，即(2k－3，－6)·(2,1)＜0， 所以 4k－6－6＜0，所以 k＜3.若 2a－3b 与 c 反向共线，则2k－3 2 ＝－6，解 得 k ＝ － 9 2 ， 此 时 夹 角 不 是 钝 角 ， 综 上 所 述 ， k 的 取 值 范 围 是 －∞，－9 2 ∪ －9 2 ，3 .] (1)研究向量的夹角应注意“共起点”；两个非零共线向量的夹角可 能是 0°或 180°；求角时，注意向量夹角的取值范围是[0°，180°]；若题目给出向 量的坐标表示，可直接利用公式 cos θ＝ x1x2＋y1y2 x21＋y21· x22＋y22 求解． (2)数量积大于 0 说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于 0 说明不 共线的两向量的夹角为直角，数量积小于 0 说明不共线的两向量的夹角为钝角．如 本例的[逆向问题]． 两向量垂直问题 a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 已知向量AB → 与AC → 的夹角为 120°，且|AB → |＝3，|AC → |＝2.若AP → ＝λAB → ＋ AC → ，且AP → ⊥BC → ，则实数λ的值为 ． 7 12 [因为AP → ⊥BC → ，所以AP → ·BC → ＝0. 又AP → ＝λAB → ＋AC → ，BC → ＝AC → －AB → ， 所以(λAB → ＋AC → )·(AC → －AB → )＝0， 即(λ－1)AC → ·AB → －λAB → 2＋AC → 2＝0， 所以(λ－1)|AC → ||AB → |cos 120°－9λ＋4＝0. 所以(λ－1)×3×2× －1 2 －9λ＋4＝0.解得λ＝ 7 12.] 1.利用坐标运算证明两个向量的垂直问题 若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标； 然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为 0 即可． 2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值 根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数． 1.(2019·南宁模拟)已知平面向量 a，b 的夹角为π 3 ，且|a|＝1，|b|＝1 2 ， 则 a＋2b 与 b 的夹角是( ) A.π 6 B.5π 6 C.π 4 D.3π 4 A [因为|a ＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝1＋1＋4×1×1 2 ×cos π 3 ＝3，所以|a＋ 2b|＝ 3. 又(a＋2b)·b＝a·b＋2|b|2＝1×1 2 ×cos π 3 ＋2×1 4 ＝1 4 ＋1 2 ＝3 4 ， 所以 cos〈a＋2b，b〉＝a＋2b·b |a＋2b||b| ＝ 3 4 3×1 2 ＝ 3 2 ， 所以 a＋2b 与 b 的夹角为π 6.故选 A.] 2．(2019·青岛模拟)已知向量|OA → |＝3，|OB → |＝2，OC → ＝mOA → ＋nOB → ，若OA → 与OB → 的夹角为 60°，且OC → ⊥AB → ，则实数m n 的值为( ) A.1 6 B.1 4 C．6 D．4 A [因为向量|OA → |＝3，|OB → |＝2，OC → ＝mOA → ＋nOB → ，OA → 与OB → 夹角为 60°，所 以OA → ·OB → ＝3×2×cos 60°＝3， 所以AB → ·OC → ＝(OB → －OA → )·(mOA → ＋nOB → ) ＝(m－n)OA → ·OB → －m|OA → |2＋n|OB → |2 ＝3(m－n)－9m＋4n＝－6m＋n＝0，所以m n ＝1 6 ，故选 A.] 3．设向量 a，b 满足|a|＝2，|b|＝|a＋b|＝3，则|a＋2b|＝ . 4 2 [因为|a|＝2，|b|＝|a＋b|＝3， 所以(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝4＋9＋2a·b＝9， 所以 a·b＝－2， 所以|a＋2b|＝ a＋2b2＝ |a|2＋4a·b＋4|b|2＝ 4－8＋36＝4 2.] 考点 3 平面向量的应用 平面向量是有“数”与“形”的双重身份，沟通了代数与几何的关 系，所以平面向量的应用非常广泛，主要体现在平面向量与平面几何、函数、不 等式、三角函数、解析几何等方面，解决此类问题的关键是将其转化为向量的数 量积、模、夹角等问题，进而利用向量方法求解． (1)在△ABC 中，已知向量AB → ＝(2,2)，|AC → |＝2，AB → ·AC → ＝－4，则△ABC 的面积为( ) A．4 B．5 C．2 D．3 (2)已知△ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则PA → ·(PB → ＋ PC → )的最小值是( ) A．－2 B．－3 2 C．－4 3 D．－1 (1)C (2)B [(1)∵AB → ＝(2,2)，∴|AB → |＝2 2， ∴AB → ·AC → ＝|AB → ||AC → |cos A ＝2 2×2cos A＝－4， ∴cos A＝－ 2 2 ， 又 A∈(0，π)，∴sin A＝ 2 2 ， ∴S△ABC＝1 2|AB → ||AC → |sin A＝2，故选 C. (2)建立坐标系如图所示，则 A，B，C 三点的坐标分别为 A(0， 3)，B(－1,0)， C(1,0)． 设 P 点的坐标为(x，y)，则PA → ＝(－x， 3－y)，PB → ＝(－1－x，－y)，PC → ＝(1 －x，－y)， ∴PA → ·(PB → ＋PC → )＝(－x， 3－y)·(－2x，－2y) ＝2(x2＋y2－ 3y)＝2 x2＋ y－ 3 2 2－3 4 ≥2× －3 4 ＝－3 2. 当且仅当 x＝0，y＝ 3 2 时，PA → ·(PB → ＋PC → )取得最小值，最小值为－3 2.故选 B.] 用向量法解决平面(解析)几何问题的两种方法 (1)几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知，模或夹角)，将题中涉 及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算； (2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长 度、垂直、平行等问题转化为代数运算． 一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法． 1.平行四边形 ABCD 中，AB＝4，AD＝2，AB → ·AD → ＝4，点 P 在边 CD 上，则PA → ·PB → 的取值范围是( ) A．[－1,8] B．[－1，＋∞) C．[0,8] D．[－1,0] A [由题意得AB → ·AD → ＝|AB → |·|AD → |·cos∠BAD＝4，解得∠BAD＝π 3.以 A 为原点， AB 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系(图略)，则 A(0,0)，B(4,0)，C(5， 3)， D(1， 3)，因为点 P 在边 CD 上，所以不妨设点 P 的坐标为(a， 3)(1≤a≤5)， 则PA → ·PB → ＝(－a，－ 3)·(4－a，－ 3)＝a2－4a＋3＝(a－2)2－1，则当 a＝2 时， PA → ·PB → 取得最小值－1；当 a＝5 时，PA → ·PB → 取得最大值 8，故选 A.] 2．已知向量 a，b 满足|a|＝|b|＝a·b＝2 且(a－c)·(b－c)＝0，则|2b－c|的最大 值为 ． 7＋1 [∵|a|＝|b|＝a·b＝2， ∴cos〈a，b〉＝ a·b |a||b| ＝1 2 ， ∴〈a，b〉＝60°. 设OA → ＝a＝(2,0)，OB → ＝b＝(1， 3)，OC → ＝c， ∵(a－c)·(b－c)＝0， ∴CA → ⊥CB → ， ∴点 C 在以 AB 为直径的圆 M 上，其中 M 3 2 ， 3 2 ，半径 r＝1. 延长 OB 到 D，使得OD → ＝2b(图略)， 则 D(2,2 3)． ∵2b－c＝OD → －OC → ＝CD → ， ∴|2b－c|的最大值为 CD 的最大值． ∵DM＝ 2－3 2 2＋ 2 3－ 3 2 2 ＝ 7， ∴CD 的最大值为 DM＋r＝ 7＋1.]