2018-2019学年内蒙古赤峰市高二下学期期末联考数学（文)试题 解析版 21页

绝密★启用前 内蒙古赤峰市2018-2019学年高二下学期期末联考数学（文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．复数满足，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的除法求出z,再求.‎ ‎【详解】‎ 由题得，‎ 所以.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查复数的除法运算和共轭复数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎2．对于函数，下列说法错误的是（ ）‎ A．函数的极值不能在区间端点处取得 B．若为的导函数，则是在某一区间存在极值的充分条件 C．极小值不一定小于极大值 D．设函数在区间内有极值，那么在区间内不单调.‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数知识对每一个选项逐一分析判断得解.‎ ‎【详解】‎ A. 函数的极值不能在区间端点处取得，故该选项是正确的；‎ B. 若为的导函数，则是在某一区间存在极值的非充分条件，如函数，但是函数是R上的增函数，所以x=0并不是函数的极值点.故该选项是错误的；‎ C. 极小值不一定小于极大值，故该选项是正确的；‎ D. 设函数在区间内有极值，那么在区间内不单调.故该选项是正确的.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查极值的概念和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎3．滴滴公司为了调查消费者对滴滴打车出行的真实评价，采用系统抽样方法从2000人中抽取100人做问卷调查，为此将他们随机编号1，2，…，2000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的100人中，编号落入区间的人做问卷，编号落入区间的人做问卷，其余的人做问卷，则抽到的人中，做问卷的人数为（ ）‎ A．23 B．24 C．25 D．26‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出做A,B卷的人数总和，再求做C卷的人数.‎ ‎【详解】‎ 由题得每一个小组的人数为，‎ 由于，所以做A,B卷调查的总人数为75，‎ 所以做C卷调查的人数为100-75=25.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查系统抽样，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎4．已知双曲线的离心率为2，则（ ）‎ A．3 B． C． D．1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意列方程，即可得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得，解之得.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线离心率的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎5．向边长为4的正三角形区域投飞镖，则飞镖落在离三个顶点距离都不小于2的区域内的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出满足条件的正三角形的面积，再求出满足条件正三角形内的点到正三角形的顶点、、的距离均不小于2的图形的面积，然后代入几何概型公式即可得到答案．‎ ‎【详解】‎ 满足条件的正三角形如下图所示：‎ 其中正三角形的面积，‎ 满足到正三角形的顶点、、的距离至少有一个小于2的平面区域如图中阴影部 分所示，则，‎ 则使取到的点到三个顶点、、的距离都不小于2的概率是：‎ ‎，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查几何概型概率公式、三角形的面积公式、扇形的面积公式．几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关.‎ ‎6．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.4，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.3，则不用现金支付的概率为（ ）‎ A．0.4 B．0.3 C．0.7 D．0.6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用对立事件的概率公式求解.‎ ‎【详解】‎ 由题得不用现金支付的概率P=1-0.4-0.3=0.3.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查对立事件的概率的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎7．（5分）（2011•天津）设集合A={x∈R|x﹣2＞0}，B={x∈R|x＜0}，C={x∈R|x（x﹣2）＞0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的（ ）‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.即不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：化简集合A，C，求出A∪B，判断出A∪B 与C的关系是相等的即充要条件．‎ 解：A={x∈R|x﹣2＞0}={x|x＞2}‎ A∪B={x|x＞2或x＜0}‎ C={x∈R|x（x﹣2）＞0}={x|x＞2或x＜0}‎ ‎∴A∪B=C ‎∴“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件 故选C 点评：本题考查判断一个命题是另一个命题的什么条件，先化简各个命题．考查充要条件的定义．‎ ‎8．某单位安排甲乙丙三人在某月1日至12日值班，每人4天.‎ 甲说：我在1日和3日都有值班 乙说：我在8日和9日都有值班 丙说：我们三人各自值班日期之和相等 据此可判断丙必定值班的日期是（ ）‎ A．10日和12日 B．2日和7日 C．4日和5日 D．6日和11日 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 确定三人各自值班的日期之和为26，由题可得甲在1、3、10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5，确定丙必定值班的日期．‎ ‎【详解】‎ 由题意，1至12的和为78，‎ 因为三人各自值班的日期之和相等，‎ 所以三人各自值班的日期之和为26，‎ 根据甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班，可得甲在1、3、‎ ‎10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5，‎ 据此可判断丙必定值班的日期是6日和11日，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分析法，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．‎ ‎9．已知，其中为自然对数的底数，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 当时，单调递增，当时， 单调递减，所以故有选D.‎ ‎10．已知椭圆的右焦点为，离心率，过点的直线交椭圆于两点，若中点为，则直线的斜率为（ ）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据已知得到，再利用点差法求出直线的斜率.‎ ‎【详解】‎ 由题得.‎ 设，由题得，‎ 所以，‎ 两式相减得，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆离心率的计算，考查直线和椭圆的位置关系和点差法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.‎ ‎11．设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足，如果直线的斜率为，那么（ ）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出焦点坐标和准线方程，得到方程，与准线方程联立，解出点坐标，因为垂直准线，所以点与点纵坐标相同，再求点横坐标，利用抛物线定义求出长．‎ ‎【详解】‎ 抛物线方程为，‎ 焦点，准线方程为，‎ 直线的斜率为，直线的方程为，‎ 由可得点坐标为，‎ ‎，为垂足，‎ 点纵坐标为，代入抛物线方程，得点坐标为，，‎ ‎.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查抛物线的定义和简单几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎12．已知是双曲线的右焦点，点在的右支上，坐标原点为，若，且，则的离心率为（ ）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设双曲线的左焦点为运用余弦定理可得，再由双曲线的定义可得，即为，运用离心率公式计算即可得到所求值．‎ ‎【详解】‎ 设双曲线的左焦点为 由题意可得，，‎ 即有 ‎，‎ 即有，‎ 由双曲线的定义可得，即为，‎ 即有，可得．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用余弦定理和双曲线的定义，考查运算能力，属于中档题．‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知与之间的一组数据：‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ 则与的线性回归方程为必过点__________．‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出样本中心点即得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得.‎ 所以样本中心点为.‎ 所以线性回归方程必过点（5,4）.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查平均数的计算，考查回归直线的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎14．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区活动，则选中的2人都是女同学的概率__________．‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用古典概型的概率公式求解.‎ ‎【详解】‎ 由古典概型的概率公式得.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎15．在中，若，斜边上的高位，则有结论，运用此类比的方法，若三棱锥的三条侧棱两两相互垂直且长度分别为且三棱锥的直角顶点到底面的高为，则有结论__________．‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由平面上的直角三角形中的边与高的关系式，类比立体中两两垂直的棱的三棱锥中边与高的关系即可．‎ ‎【详解】‎ 如图，设、、为三棱锥的三条两两互相垂直的侧棱，三棱锥的高为，‎ 连接交于，‎ ‎、、两两互相垂直，‎ 平面，平面，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了类比推理的思想和方法，考查运算求解能力，解答此类问题的关键是根据所给的定理类比出立体中两两垂直的棱的三棱锥中边与高的关系．‎ ‎16．若函数在上不是单调函数，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用导数求出函数的单调性，再由函数的单调性得到，解不等式组即得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得，‎ 令，所以2＜x＜4，‎ 令，所以1＜x＜2或x＞4.‎ 所以函数的增区间为减区间为（1,2），（4，+）.‎ 因为函数在上不是单调函数，‎ 所以，‎ 解之得t∈‎ 所以实数t的取值范围为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知且，命题：函数在区间上为增函数；命题：曲线与轴无交点，若“”为真，“” 为假，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简两个命题，再根据“”为真，“” 为假得到一真一假，再得到关于a的不等式组，解不等式组即得解.‎ ‎【详解】‎ 解：由已知得，‎ 对于，‎ ‎，即.‎ 若“”为真，“”为假，所以一真一假 若为真命题，为假命题，则，所以 若为假命题，为真命题，则，所以 综上，或 ‎【点睛】‎ 本题主要考查复合命题的真假，考查对数函数的单调性和二次函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎18．某同学再一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于一个常数.‎ ‎①.‎ ‎②.‎ ‎③.‎ ‎（1）试从上述三个式子中选出一个计算出这个常数.‎ ‎（2）猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明.‎ ‎【答案】（1）（2），证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）选择①化简得这个常数为；（2）找到一般规律：，再化简证明.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）‎ ‎（2）一般规律：‎ 证明：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查归纳推理，考查三角恒等式的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎19．某媒体为调查喜爱娱乐节目是否与观众性别有关，随机抽取了30名男性和30名女性观众，抽查结果用等高条形图表示如图：‎ ‎（1）根据该等高条形图，完成下列列联表，并用独立性检验的方法分析，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢娱乐节目与观众性别有关？‎ ‎（2）从性观众中按喜欢节目与否，用分层抽样的方法抽取5名做进一步调查．从这5名中任选2名，求恰有1名喜欢节目和1名不喜欢节目的概率．‎ 附：‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎．‎ ‎【答案】‎ ‎（1）列联表见解析，能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢娱乐节目与观众性别有关；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据等高条形图算出所需数据可得完成列联表，由列联表，利用公式可得的观测值，与邻界值比较从而可得结果；（2）利用列举法，确定基本事件的个数，即利用古典概型概率公式可求出恰有1名喜欢节目和1名不喜欢节目的概率.‎ 试题解析：（1）由题意得列联表如表：‎ 喜欢节目 不喜欢节目 总计 男性观众 ‎24‎ ‎6‎ ‎30‎ 女性观众 ‎15‎ ‎15‎ ‎30‎ 总计 ‎39‎ ‎21‎ ‎60‎ 假设：喜欢娱乐节目与观众性别无关，‎ 则的观测值，‎ 所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢娱乐节目与观众性别有关．‎ ‎（2）利用分层抽样在男性观众30名中抽取5名，其中喜欢娱乐节目的人数为，不喜欢节目的人数为．‎ 被抽取的喜欢娱乐节目的4名分别记为，，，；不喜欢节目的1名记为．‎ 则从5名中任选2人的所有可能的结果为：，，，，，，，，，共有10种，‎ 其中恰有1名喜欢节目和1名不喜欢节目的有，，，共4种，‎ 所以所抽取的观众中恰有1名喜欢节目和1名不喜欢节目的观众的概率是．‎ ‎20．已知椭圆方程为，射线与椭圆的交点为，过作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于两点（异于）.‎ ‎（1）求证直线的斜率为定值；‎ ‎（2）求面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求出，设直线，联立直线MA的方程与椭圆的方程，借助韦达定理证明直线的斜率为定值；（2）设直线，设，求出，再利用基本不等式求面积的最大值.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由，得 不妨设直线，‎ 直线.‎ 由，‎ 得，‎ 设 ‎，‎ 同理得 直线的斜率为定值2‎ ‎（2）设直线，设 由，得，‎ ‎，，‎ 由得，且，点到的距离，‎ 当且仅当，即，‎ 当时，取等号，‎ 所以面积的最大值为1.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中的定值问题和最值问题，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间及极值；‎ ‎（2）求证：对于区间上的任意，都有；‎ ‎（3）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）当和时， 为增函数；当时，‎ 为减函数，的极小值为，极大值为（2）见解析（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用导数求函数的单调区间和极值；（2）等价于，利用第一问结论分析即得解；（3）设切点为，，则，即方程有三个实根，利用导数分析得解.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）的定义域为，，‎ 当和时，，为增函数；‎ 当时，为减函数，‎ 的极小值为，极大值为 ‎（2）当时，为减函数，对于区间上的任取，‎ 都有，即得证 ‎（3）设切点为，，‎ 则，‎ ‎，‎ 设，则，‎ 令，解得，‎ 要使过点可作曲线的三条切线，‎ 必须满足，即，‎ 解得 实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数求函数的单调区间、极值和最值，考查导数的几何意义和利用导数研究函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平分析推理能力，属于中档题.‎ ‎22． ‎ 在直角坐标系中，曲线（为参数，），其中，在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，曲线.‎ ‎（1）求与交点的直角坐标系；‎ ‎（2）若与相交于点,与相交于点,求的最大值.‎ ‎【答案】（1）交点坐标为，．（2）最大值为．‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 试题分析：（1）根据 将曲线与的极坐标方程化为直角坐标方程，再联立方程组求解交点的直角坐标，（2）曲线为直线，倾斜角为，极坐标方程为，代入与的极坐标方程可得的极坐标，则为对应极径之差的绝对值，即，最后根据三角函数有界性求最值.‎ 试题解析：解：（1）：，：，‎ 联立得交点坐标为，． ‎ ‎（2）曲线的极坐标方程为，其中．‎ 因此得到的极坐标为， ‎ 的极坐标为．‎ 所以， ‎ 当时，取得最大值，最大值为．‎ ‎23．‎ 已知函数.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若的图象与轴围成的三角形面积大于6，求的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（2，+∞）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎(Ⅰ)由题意零点分段即可确定不等式的解集为；‎ ‎(Ⅱ)由题意可得面积函数为为，求解不等式可得实数a的取值范围为 ‎ 试题解析：‎ ‎（I）当时，化为，‎ ‎ 当时，不等式化为，无解；‎ ‎ 当时，不等式化为，解得；‎ ‎ 当时，不等式化为，解得。‎ ‎ 所以的解集为。 ‎ ‎（II）由题设可得，‎ ‎ 所以函数的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为，‎ ‎，，的面积为。‎ ‎ 由题设得，故。‎ ‎ 所以a的取值范围为 ‎