2016届高考数学（理）大一轮复习达标训练试题：课时跟踪检测(四十七)　空间向量及其运算和空间位置关系 6页

课时跟踪检测(四十七)　空间向量及其运算和空间位置关系 一、选择题 ‎1．(2014·广东高考)已知向量a＝(1,0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是(　　)‎ A．(－1,1,0)　　　　　　　　 B．(1，－1,0)‎ C．(0，－1,1) D．(－1,0,1)‎ ‎2．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则(　　)‎ A．l∥α B．l⊥α C．l⊂α D．l与α斜交 ‎3．(2015·西安质检)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为(　　)‎ A．a2 B.a2‎ C.a2 D.a2‎ ‎4．若平面α，β的法向量分别为n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则(　　)‎ A．α∥β B．α⊥β C．α，β相交但不垂直 D．以上均不正确 ‎5．(2015·晋江一模)设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为(　　)‎ A. B. C. D. ‎6．(2015·宁波检测)如图所示，在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A‎1M＝AN＝，则MN与平面BB‎1C1C的位置关系是(　　)‎ A．斜交 B．平行 C．垂直 D．不确定 二、填空题 ‎7．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·2b＝－2，则x＝________.‎ ‎8．已知空间四边形OABC，点M，N分别是OA，BC的中点，且＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示向量＝________.‎ ‎9．已知点A(1,2,1)，B(－1,3,4)，D(1,1,1)，若＝2，则| |的值是________．‎ ‎10．已知ABCDA1B‎1C1D1为正方体，‎ ‎①(＋＋)2＝32；‎ ‎②·(－)＝0；‎ ‎③向量与向量的夹角是60°；‎ ‎④正方体ABCDA1B‎1C1D1的体积为|··|.‎ 其中正确命题的序号是________．‎ 三、解答题 ‎11．(2015·青岛模拟)如图，在多面体ABCA1B‎1C1中，四边形A1ABB1是正方形，AB＝AC，BC＝AB，B‎1C1綊BC，二面角A1ABC是直二面角．‎ 求证：(1)A1B1⊥平面AA‎1C；‎ ‎(2)AB1∥平面A‎1C1C.‎ ‎12．(2015·汕头模拟)已知正方体ABCD A1B‎1C1D1的棱长为3，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE＝FC1＝1.‎ ‎(1)求证：E，B，F，D1四点共面；‎ ‎(2)若点G在BC上，BG＝，点M在BB1上，GM⊥BF，垂足为H，求证：EM⊥平面BCC1B1.‎ 答案 ‎1．选B　各选项给出的向量的模都是，|a|＝.‎ 对于选项A，设b＝(－1,1,0)，则cos〈a，b〉＝＝＝－，因为0°≤〈a，b〉≤180°，所以〈a，b〉＝120°.‎ 对于选项B，设b＝(1，－1,0)，则cos〈a，b〉＝＝＝.因为0°≤〈a，b〉≤180°，所以〈a，b〉＝60°，正确．‎ 对于选项C，设b＝(0，－1,1)，则cos〈a，b〉＝＝＝－.因为0°≤〈a，b〉≤180°，所以〈a，b〉＝120°.‎ 对于选项D，设b＝(－1,0,1)．则cos〈a，b〉＝＝＝－1.因为0°≤〈a，b〉≤180°，所以〈a，b〉＝180°，故选B.‎ ‎2．选B　∵a＝(1,0,2)，n＝(－2,0，－4)，∴n＝－‎2a，即a∥n.∴l⊥α.‎ ‎3．选C　·＝(＋)·＝(·＋·)＝(a2cos 60°＋a2cos 60°)＝a2.故选C.‎ ‎4．选C　∵n1·n2＝2×(－3)＋(－3)×1＋5×(－4)≠0，∴n1与n2不垂直，∴α与β 相交但不垂直．‎ ‎5.选A　如图所示，取BC的中点E，连接AE.‎ ‎＝ ‎＝(＋)‎ ‎＝＋ ‎＝＋(＋)‎ ‎＝＋(－＋－)‎ ‎＝(＋＋)，‎ 故选A.‎ ‎6．选B　建立如图所示的坐标系，由于A‎1M＝AN＝，‎ 则M，N，‎ ‎＝，‎ 又C1D1⊥平面BB‎1C1C，‎ 所以 ＝(0，a,0)为平面BB‎1C1C的一个法向量．‎ 因为·＝0，所以⊥，‎ 所以MN∥平面 BB‎1C1C.‎ ‎7．解析：∵c－a＝(0,0,1－x)，‎ ‎∴(c－a)·2b＝(0,0,1－x)·2(1,2,1)‎ ‎＝2(1－x)＝－2，解得x＝2.‎ 答案：2‎ ‎8．解析：如图所示，‎ ‎＝(＋)＝[(－)＋(－)]＝(＋－2)＝(＋－)＝(b＋c－a)．‎ 答案：(b＋c－a)‎ ‎9．解析：设P(x，y，z)，∴＝(x－1，y－2，z－1)．‎ ‎＝(－1－x,3－y,4－z)，‎ 由＝2得点P坐标为，‎ 又D(1,1,1)，∴||＝.‎ 答案： ‎10．解析：①中(＋＋)2＝2＋2＋2＝3()2，故①正确；‎ ‎②中－＝，∵AB1⊥A‎1C，故②正确；‎ ‎③中A1B与AD1两异面直线所成角为60°，‎ 但与的夹角为120°，故③不正确；‎ ‎④中|··|＝0，故④也不正确．‎ 答案：①②‎ ‎11．证明：∵二面角A1ABC是直二面角，四边形A1ABB1为正方形，‎ ‎∴AA1⊥平面BAC.‎ 又∵AB＝AC，BC＝AB，‎ ‎∴∠CAB＝90°，即CA⊥AB，‎ ‎∴AB，AC，AA1两两互相垂直．‎ 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，‎ 设AB＝2，则A(0,0,0)，B1(0,2,2)，A1(0,0,2)，C(2,0,0)，C1(1,1,2)．‎ ‎(1)＝(0,2,0)，＝(0,0，－2)，＝(2,0,0)，‎ 设平面AA‎1C的一个法向量n＝(x，y，z)，‎ 则即 即取y＝1，则n＝(0,1,0)．‎ ‎∴＝2n，即∥n.‎ ‎∴A1B1⊥平面AA‎1C.‎ ‎(2)易知＝(0,2,2)，＝(1,1,0)，＝(2,0，－2)，‎ 设平面A‎1C1C的一个法向量m＝(x1，y1，z1)，则即 令x1＝1，则y1＝－1，z1＝1，‎ 即m＝(1，－1,1)．‎ ‎∴·m＝0×1＋2×(－1)＋2×1＝0，‎ ‎∴⊥m.又AB⊄平面A‎1C1C，‎ ‎∴AB1∥平面A‎1C1C.‎ ‎12．证明：(1)以B为原点，以BA，BC，BB1为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，则B(0,0，0)，E(3,0，1)，F(0,3,2)，D1(3,3,3)，‎ 则＝(3,0,1)，＝(0,3,2)，＝(3,3,3)．‎ 所以＝＋.‎ 由向量共面的充要条件知E，B，F，D1四点共面．‎ ‎(2)设M(0,0，z0)，G，‎ 则＝，而＝(0,3,2)，‎ 由题设得·＝－×3＋z0·2＝0，‎ 得z0＝1.故M(0,0,1)，有＝(3,0,0)．‎ 又＝(0,0,3)，＝(0,3,0)，‎ 所以·＝0，·＝0，‎ 从而ME⊥BB1，ME⊥BC.‎ 又BB1∩BC＝B，‎ 故ME⊥平面BCC1B1.‎