2017-2018学年安徽省淮北一中高二上学期期中考试数学理试题 解析版 27页

淮北一中2017-2018学年高二上学期期中考试 数学（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知，且，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.离心率为，且过点的椭圆的标准方程是（ ）‎ A． B．或 ‎ C． D．或 ‎3.在中，（分别为角的对边），则的形状为（ ）‎ A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 ‎4.执行如图所示的程序框图，如果输出，则输入的（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.如图，在中，，若，则的值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.由公差为的等差数列重新组成的数列是（ ）‎ A．公差为的等差数列 B．公差为的等差数列 ‎ C. 公差为的等差数列 D．非等差数列 ‎7.抛物线的焦点到准线的距离为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.如角满足，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.已知抛物线的焦点为，准线为，点，线段交抛物线于点，若，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.数列的通项公式为，其前项和为，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.已知椭圆的两个焦点分别为，若椭圆上不存在点，使得是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知函数方程有 个不同的实根，则取值范围（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.命题“”的否定是 ．‎ ‎14.在数列中，已知其前项和为，则 ．‎ ‎15.设实数满足，则的最大值为 ．‎ ‎16.下列命题中，假命题的序号有 ．‎ ‎（1）“”是“函数为偶函数”的充要条件；‎ ‎（2）“直线垂直平面内无数条直线”是“直线垂直平面”的充分条件；‎ ‎（3）若，则；‎ ‎（4）若，则.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知函数.‎ ‎（1）当时，解关于的不等式；‎ ‎（2）若，解关于的不等式.‎ ‎18. 设数列满足.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎19. 已知函数.‎ ‎（1）的最小正周期和单调递增区间；‎ ‎（2）已知是三边长，且的面积.求角及 的值.‎ ‎20. 已知椭圆，其长轴为，短轴为.‎ ‎（1）求椭圆的方程及离心率.‎ ‎（2）直线经过定点，且与椭圆交于两点，求面积的最大值.‎ ‎21. 已知数列满足，且（且）.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设数列的前项之和，求证：.‎ ‎22. 已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于两点，且.‎ ‎（1）求该抛物线的方程；‎ ‎（2）已知抛物线上一点，过点作抛物线的两条弦和，且，判断直线是否过定点？并说明理由.‎ 淮北一中2017-2018学年高二上学期期中考试数学（理科）‎ 参考答案 ‎1．D ‎【解析】由得，，因为，，所以 ‎（当且仅当时等号成立），故选D.‎ ‎【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.‎ ‎2．D ‎【解析】当椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的方程为，由离心率为，∴‎ ‎∵椭圆过点（2，0），∴，∴a2=4，∴b2=1，‎ ‎∴椭圆标准方程为 当椭圆的焦点在y轴上，同理易得：‎ 故选D.‎ ‎3．A ‎【解析】,,解得,即角C为直角,则的形状为直角三角形,故选A.‎ ‎4．B ‎【解析】该程序框图表示的是通项为的前项和，‎ ‎，输出结果为，，得，故选B.‎ ‎5．D ‎【解析】‎ ‎，，又，，故选D.‎ ‎6．B ‎【解析】设新数列的第项是，则，，此新数列是以为公差的等差数列，故选B.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查等差数列的定义、等差数列通项公式，属于难题.判定一个数列为等差数列的常见方法是：(1) 定义法：（是常数），则数列是等差数列(2) 等差中项法：（），则数列是等差数列；(3) 通项公式： (为常数)， 则数列是等差数列；(4) 前n项和公式： (为常数) ， 则数列是等差数列.本题先利用方法(1)判定出数列是等差数列后再进行解答的.‎ ‎7．C ‎【解析】由得：，所以，，即焦点到准线的距离为，故选C.‎ ‎8．D ‎【解析】由题意可得，选D.‎ ‎9．B ‎【解析】‎ 由已知为的三等分，作于，如图，则，，故选B.‎ ‎10．D ‎【解析】‎ 选D.‎ ‎11．A ‎【解析】设B为短轴端点，则，由题意得 ，选A。‎ ‎12．D ‎【解析】由题意可画出y=f(x)的图像如下图，f(0)=1,f(2)=1，注意y=1是图像的一条渐近线，令t=f(x),,由图像可知，‎ 当时,方程f(x)=t 有4个解，当和时，方程f(x)=t 有2个解，‎ 当时，方程f(x)=t 有1个解，当t=1时，方程f(x)=t 有3个解 当t<0时，方程f(x)=t 有0个解 复合方程有6个根，一定是4+2，即，的两个根分别在，令，所以，由线性规划可求得，选D.‎ ‎【点睛】‎ 复合方程根的问题，一般先画出内函数的图像，分析t=f(x),t的不同取值根的情况，再由此分析外函数根的情况，从而解决问题。‎ ‎13．‎ ‎【解析】含有存在量词的命题的否定是含有全称量词的命题，命题“∃x∈R，2x≥0”的否定是.‎ ‎14．‎ ‎【解析】当时，；‎ 当时，，不满足上式。‎ 故。‎ 答案：‎ 点睛：数列的通项an与前n项和Sn的关系是an＝当n＝1时，a1若适合Sn－Sn－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；当n＝1时，a1若不适合Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示．‎ ‎15．【解析】不等式组的图象如图 由图象知 ，则 ，当且仅当 时，等号成立，经检验 在可行域内，故 的最大值为25.‎ ‎16．（2）（3）‎ ‎【解析】（1）若“函数为偶函数”，则，‎ 即，则，‎ 平方得，‎ 即，则，即，‎ 则“”是“函数为偶函数”的充要条件；正确；‎ ‎（2）“直线垂直平面内无数条直线”则“直线垂直平面”不一定成立，故（2）错误；‎ ‎（3）当时，满足，但不成立，故（3）错误；‎ ‎（4）若：，则：正确．‎ 故答案为：（2）（3）‎ ‎17．（1）（2） 当时解集为当时解集为当时解集为 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）将代入结合函数图像求解不等式即可；（2）解不等式要结合二次函数图像及性质，并对两零点大小分情况讨论 试题解析：（1）当时得，解集为 ‎（2）∵不等式,‎ 当时，有，∴不等式的解集为；‎ 当时，有，∴不等式的解集为；‎ 当时，不等式的解集为.‎ 考点：一元二次不等式解法及分情况讨论 ‎18．(1)(2)‎ ‎【解析】试题分析：利用数列递推关系即可得出。‎ ‎,利用裂项求和方法即可得出。‎ 解析：（1）数列{an}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）an=2n．‎ n≥2时，a1+3a2+…+（2n﹣3）an﹣1=2（n﹣1）．‎ ‎∴（2n﹣1）an=2．∴an=．‎ 当n=1时，a1=2，上式也成立．‎ ‎∴an=．‎ ‎（2）==﹣．‎ ‎∴数列{}的前n项和=++…+=1﹣=．‎ 点睛：求数列的通项时，可以运用，本题的条件左边可以看成和的形式，遇到,的形式时，利用裂项求和方法即可得出结果。‎ ‎19．(1)π，函数f（x）的递增区间是[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；(2) a=8，b=5或a=5，b=8．‎ ‎【解析】试题分析：解析式利用两角和与差的正弦函数公式及二倍角的余弦函数公式化简，整理为一个角的正弦函数，找出的值代入周期公式即可求出的最小正周期，利用正弦函数的单调性即可求出的单调递增区间。‎ 由，根据第一问确定出的解析式求出的度数，利用三角形面积公式列出关系式，将值代入求出的值，利用余弦定理列出关系式，将代入求出的值，联立即可求出的值。‎ 解析：（Ⅰ）f（x）=sin2xcos+cos2xsin+sin2xcos﹣cos2xsin+cos2x+1=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，‎ ‎∵ω=2，∴T==π；‎ 令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，得到﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，‎ 则函数f（x）的递增区间是[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；‎ ‎（Ⅱ）由f（C）=2，得到2sin（2C+）+1=2，即sin（2C+）=，‎ ‎∴2C+=或2C+=，‎ 解得：C=0（舍去）或C=，‎ ‎∵S=10，‎ ‎∴absinC=ab=10，即ab=40①，‎ 由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即49=a2+b2﹣ab，‎ 将ab=40代入得：a2+b2=89②，‎ 联立①②解得：a=8，b=5或a=5，b=8．‎ ‎20．（1），离心率：．（2）1‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据条件可得，即得椭圆的方程，及离心率．（2）先设直线方程为：，与椭圆联立方程组，利用韦达定理，结合弦长公式求得底边边长，再根据点到直线距离得高，根据三角形面积公式表示面积，最后根据基本不等式求最大值 试题解析：解：（Ⅰ），，，‎ ‎∴椭圆的方程为：，离心率：．‎ ‎（Ⅱ）依题意知直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线方程为：，‎ 由，得，‎ ‎，‎ 由得：，‎ 设，，则 ‎，，‎ ‎，‎ 又∵原点到直线的距离，‎ ‎∴‎ ‎．‎ 当且仅当，即时，等号成立，‎ 此时面积的最大值为．‎ 点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.‎ ‎21．(1) an=；(2)证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由,可得，即，可得出{}为等差数列.最终可求出{an}的通项公式.(2)采用错位相减法求出,再变形即可求证.‎ ‎（1）∵an=2an﹣1+2n（≥2，且n∈N）∴∴‎ ‎∴数列{}是以为首项，1为公差的等差数列；‎ ‎∴an=；‎ ‎（2）∵Sn=‎ ‎∴2Sn=‎ 两式相减可得﹣Sn=1+22+23+…+2n﹣=（3﹣2n）•2n﹣3‎ ‎∴Sn=（2n﹣3）•2n+3＞（2n﹣3）•2n ∴．‎ 点睛：在求解数列的通项公式时要注意变形及整体思想的使用，将一般数列转化为等差或等比数列，从而求出数列通项公式。应用错位相减法求解数列的前n项和两式相减时要注意前后符号的变化.‎ ‎22.（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用点斜式设直线直线的方程,与抛物线联立方程组,结合韦达定理与弦长公式求,再根据解得.（2）先设直线方程, 与抛物线联立方程组,结合韦达定理化简，得或,代入方程可得直线过定点 试题解析：（1）拋物线的焦点 ，∴直线的方程为:.‎ 联立方程组，消元得:，‎ ‎∴.‎ ‎∴‎ 解得.‎ ‎∴抛物线的方程为：.‎ ‎（2）由（1）可得点，可得直线的斜率不为0，‎ 设直线的方程为：，‎ 联立，得，‎ 则①.‎ 设，则.‎ ‎∵‎ 即，得：，‎ ‎∴，即或，‎ 代人①式检验均满足，‎ ‎∴直线的方程为：或.‎ ‎∴直线过定点（定点不满足题意，故舍去）.‎ 点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.‎ 淮北一中2017-2018学年高二上学期期中考试数学（理科）‎ 参考答案 ‎1．D ‎【解析】由得，，因为，，所以 ‎（当且仅当时等号成立），故选D.‎ ‎【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.‎ ‎2．D ‎【解析】当椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的方程为，由离心率为，∴‎ ‎∵椭圆过点（2，0），∴，∴a2=4，∴b2=1，‎ ‎∴椭圆标准方程为 当椭圆的焦点在y轴上，同理易得：‎ 故选D.‎ ‎3．A ‎【解析】,,解得,即角C为直角,则的形状为直角三角形,故选A.‎ ‎4．B ‎【解析】该程序框图表示的是通项为的前项和，‎ ‎，输出结果为，，得，故选B.‎ ‎5．D ‎【解析】‎ ‎，，又，，故选D.‎ ‎6．B ‎【解析】设新数列的第项是，则，，此新数列是以为公差的等差数列，故选B.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查等差数列的定义、等差数列通项公式，属于难题.判定一个数列为等差数列的常见方法是：(1) 定义法：（是常数），则数列是等差数列(2) 等差中项法：（），则数列是等差数列；(3) 通项公式： (为常数)， 则数列是等差数列；(4) 前n项和公式： (为常数) ， 则数列是等差数列.本题先利用方法(1)判定出数列是等差数列后再进行解答的.‎ ‎7．C ‎【解析】由得：，所以，，即焦点到准线的距离为，故选C.‎ ‎8．D ‎【解析】由题意可得，选D.‎ ‎9．B ‎【解析】‎ 由已知为的三等分，作于，如图，则，，故选B.‎ ‎10．D ‎【解析】‎ 选D.‎ ‎11．A ‎【解析】设B为短轴端点，则，由题意得 ，选A。‎ ‎12．D ‎【解析】由题意可画出y=f(x)的图像如下图，f(0)=1,f(2)=1，注意y=1是图像的一条渐近线，令t=f(x),,由图像可知，‎ 当时,方程f(x)=t 有4个解，当和时，方程f(x)=t 有2个解，‎ 当时，方程f(x)=t 有1个解，当t=1时，方程f(x)=t 有3个解 当t<0时，方程f(x)=t 有0个解 复合方程有6个根，一定是4+2，即，的两个根分别在，令，所以，由线性规划可求得，选D.‎ ‎【点睛】‎ 复合方程根的问题，一般先画出内函数的图像，分析t=f(x),t的不同取值根的情况，再由此分析外函数根的情况，从而解决问题。‎ ‎13．‎ ‎【解析】含有存在量词的命题的否定是含有全称量词的命题，命题“∃x∈R，2x≥0”的否定是.‎ ‎14．‎ ‎【解析】当时，；‎ 当时，，不满足上式。‎ 故。‎ 答案：‎ 点睛：数列的通项an与前n项和Sn的关系是an＝当n＝1时，a1若适合Sn－Sn－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；当n＝1时，a1若不适合Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示．‎ ‎15．【解析】不等式组的图象如图 由图象知 ，则 ，当且仅当 时，等号成立，经检验 在可行域内，故 的最大值为25.‎ ‎16．（2）（3）‎ ‎【解析】（1）若“函数为偶函数”，则，‎ 即，则，‎ 平方得，‎ 即，则，即，‎ 则“”是“函数为偶函数”的充要条件；正确；‎ ‎（2）“直线垂直平面内无数条直线”则“直线垂直平面”不一定成立，故（2）错误；‎ ‎（3）当时，满足，但不成立，故（3）错误；‎ ‎（4）若：，则：正确．‎ 故答案为：（2）（3）‎ ‎17．（1）（2） 当时解集为当时解集为当时解集为 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）将代入结合函数图像求解不等式即可；（2）解不等式要结合二次函数图像及性质，并对两零点大小分情况讨论 试题解析：（1）当时得，解集为 ‎（2）∵不等式,‎ 当时，有，∴不等式的解集为；‎ 当时，有，∴不等式的解集为；‎ 当时，不等式的解集为.‎ 考点：一元二次不等式解法及分情况讨论 ‎18．(1)(2)‎ ‎【解析】试题分析：利用数列递推关系即可得出。‎ ‎,利用裂项求和方法即可得出。‎ 解析：（1）数列{an}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）an=2n．‎ n≥2时，a1+3a2+…+（2n﹣3）an﹣1=2（n﹣1）．‎ ‎∴（2n﹣1）an=2．∴an=．‎ 当n=1时，a1=2，上式也成立．‎ ‎∴an=．‎ ‎（2）==﹣．‎ ‎∴数列{}的前n项和=++…+=1﹣=．‎ 点睛：求数列的通项时，可以运用，本题的条件左边可以看成和的形式，遇到,的形式时，利用裂项求和方法即可得出结果。‎ ‎19．(1)π，函数f（x）的递增区间是[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；(2) a=8，b=5或a=5，b=8．‎ ‎【解析】试题分析：解析式利用两角和与差的正弦函数公式及二倍角的余弦函数公式化简，整理为一个角的正弦函数，找出的值代入周期公式即可求出的最小正周期，利用正弦函数的单调性即可求出的单调递增区间。‎ 由，根据第一问确定出的解析式求出的度数，利用三角形面积公式列出关系式，将值代入求出的值，利用余弦定理列出关系式，将代入求出的值，联立即可求出的值。‎ 解析：（Ⅰ）f（x）=sin2xcos+cos2xsin+sin2xcos﹣cos2xsin+cos2x+1=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，‎ ‎∵ω=2，∴T==π；‎ 令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，得到﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，‎ 则函数f（x）的递增区间是[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；‎ ‎（Ⅱ）由f（C）=2，得到2sin（2C+）+1=2，即sin（2C+）=，‎ ‎∴2C+=或2C+=，‎ 解得：C=0（舍去）或C=，‎ ‎∵S=10，‎ ‎∴absinC=ab=10，即ab=40①，‎ 由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即49=a2+b2﹣ab，‎ 将ab=40代入得：a2+b2=89②，‎ 联立①②解得：a=8，b=5或a=5，b=8．‎ ‎20．（1），离心率：．（2）1‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据条件可得，即得椭圆的方程，及离心率．（2）先设直线方程为：，与椭圆联立方程组，利用韦达定理，结合弦长公式求得底边边长，再根据点到直线距离得高，根据三角形面积公式表示面积，最后根据基本不等式求最大值 试题解析：解：（Ⅰ），，，‎ ‎∴椭圆的方程为：，离心率：．‎ ‎（Ⅱ）依题意知直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线方程为：，‎ 由，得，‎ ‎，‎ 由得：，‎ 设，，则 ‎，，‎ ‎，‎ 又∵原点到直线的距离，‎ ‎∴‎ ‎．‎ 当且仅当，即时，等号成立，‎ 此时面积的最大值为．‎ 点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.‎ ‎21．(1) an=；(2)证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由,可得，即，可得出{}为等差数列.最终可求出{an}的通项公式.(2)采用错位相减法求出,再变形即可求证.‎ ‎（1）∵an=2an﹣1+2n（≥2，且n∈N）∴∴‎ ‎∴数列{}是以为首项，1为公差的等差数列；‎ ‎∴an=；‎ ‎（2）∵Sn=‎ ‎∴2Sn=‎ 两式相减可得﹣Sn=1+22+23+…+2n﹣=（3﹣2n）•2n﹣3‎ ‎∴Sn=（2n﹣3）•2n+3＞（2n﹣3）•2n ∴．‎ 点睛：在求解数列的通项公式时要注意变形及整体思想的使用，将一般数列转化为等差或等比数列，从而求出数列通项公式。应用错位相减法求解数列的前n项和两式相减时要注意前后符号的变化.‎ ‎22.（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用点斜式设直线直线的方程,与抛物线联立方程组,结合韦达定理与弦长公式求,再根据解得.（2）先设直线方程, 与抛物线联立方程组,结合韦达定理化简，得或,代入方程可得直线过定点 试题解析：（1）拋物线的焦点 ，∴直线的方程为:.‎ 联立方程组，消元得:，‎ ‎∴.‎ ‎∴‎ 解得.‎ ‎∴抛物线的方程为：.‎ ‎（2）由（1）可得点，可得直线的斜率不为0，‎ 设直线的方程为：，‎ 联立，得，‎ 则①.‎ 设，则.‎ ‎∵‎ 即，得：，‎ ‎∴，即或，‎ 代人①式检验均满足，‎ ‎∴直线的方程为：或.‎ ‎∴直线过定点（定点不满足题意，故舍去）.‎ 点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.‎