【数学】云南省曲靖二中2020届高三适应性考试试题（理） 13页

云南省曲靖二中2020届高三适应性考试数学试题（理）‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.‎ 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项符合要求.）‎ ‎1．已知集合，则的真子集的个数为（ ）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎2．设是虚数单位，若复数是实数，则的值为（ ）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎3. 命题“”的否定是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎4．已知，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．设变量满足约束条件 ，则目标函数的最大值为（ ）‎ A．3 B．4 C．18 D．40‎ ‎6．已知双曲线的焦距为，且渐近线经过点，则此双曲线的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知为不共线的两个单位向量，且在上的投影为，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎8．中国古代数学名著《九章算术》中,将底面是直角三角形的直棱柱称为 “堑堵”。已知某 ‎“堑堵”的正视图和俯视图如下图所示,则该“堑堵”的左视图的面积为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎9．法国有个名人叫做布莱尔·帕斯卡，他认识两个赌徒，这两个赌徒向他提出一个问题，他们说，他们下赌金之后，约定谁先赢满5局，谁就获得全部赌金700法郎，赌了半天，甲赢了4局，乙赢了3局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了.假设每局两赌徒输赢的概率各占，每局输赢相互独立，那么这700法郎如何分配比较合理（ ）‎ A．甲400法郎，乙300法郎 B．甲500法郎，乙200法郎 C．甲525法郎，乙175法郎 D．甲350法郎，乙350法郎 ‎10．已知函数．则关于它有关性质的说法中不正确的是（ ）‎ A．周期为 ‎ B．将其图象向右平移个单位,所得图象关于y轴对称 C．对称中心为（）‎ D．上单调递减 ‎11．已知函数 ，则的解集是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．上，下两面为平行矩形的六面体有外接球，且，，，，平面与平面间的距离为，则该六面体外接球的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）‎ ‎13．若曲线处的切线平行于直线的坐标是_______．‎ ‎14．设常数，若的二项展开式中第二项的系数为，则_______．‎ ‎15．直线过抛物线的焦点，交抛物线于点（点在轴上方），过点作直线的垂线，垂足为，若垂足恰好在线段的垂直平分线上，则直线的斜率为_______．‎ ‎16．是等边三角形，点D在边的延长线上，且，，则______；______.‎ 三、 解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）‎ ‎17．（本小题满分12分）为了调查某社区居民每天参加健身的时间，某机构在该社区随机采访男性、女性各50名，其中每人每天的健身时间不少于1小时称为“健身族”，否则称其为"非健身族”，调查结果如下：‎ 健身族 非健身族 合计 男性 ‎40‎ ‎10‎ ‎50‎ 女性 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 合计 ‎70‎ ‎30‎ ‎100‎ ‎（1）若居民每人每天的平均健身时间不低于70分钟，则称该社区为“健身社区”. 已知被随机采访的男性健身族，男性非健身族，女性健身族，女性非健身族每人每天的平均健分时间分別是1.2小时，0.8小时，1.5小时，0.7小时，试估计该社区可否称为“健身社区”？‎ ‎（2）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过5%的情况下认为“健身族”与“性别”有关？‎ 参考公式： ，其中. ‎ 参考数据：‎ ‎0. 50‎ ‎0. 40‎ ‎0. 25‎ ‎0. 05‎ ‎0. 025‎ ‎0. 010‎ ‎0. 455‎ ‎0. 708‎ ‎1. 321‎ ‎3. 840‎ ‎5. 024‎ ‎6. 635‎ ‎18．（本小题满分12分）已知数列是等比数列，，是和 的等差中项．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ ‎19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，点为的中点，平面平面.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）设点在线段上，且平面，求二面角的大小.‎ ‎20.（本小题满分12分）设（其中为常数且）在处取得极值.‎ ‎（1）当时，求的单调区间； ‎ ‎（2）已知在上的最大值为1，求实数的值 ‎21．（本小题满分12分）已知，是椭圆：上的两点，线段的中点在直线上.‎ ‎（1）当直线的斜率存在时，求实数的取值范围；‎ ‎（2）设是椭圆的左焦点，若椭圆上存在一点，使，求的值.‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】‎ 在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线.如图，在直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系。图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为（），为该曲线上的任意一点.‎ ‎（1）当时，求点的极坐标；‎ ‎（2）将射线绕原点逆时针旋转与该曲线相交于点，求的最大值.‎ ‎23.（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】‎ 已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若，，，求证：.‎ ‎ ‎ ‎【参考答案】‎ ‎1.C 2.D 3.C 4.A 5.C 6.B 7.D 8.B 9.C 10.D 11.A 12.C ‎13. 14. 15. 16. ‎ ‎17. 解：（1）随机抽样的100名居民每人每天的平均健身时间为 小时， ‎ 由此估计该小区居民每人每天的平均健身时间为1.15小时，‎ 因为1.15小时小时=70分钟，所以该社区不可称为“健身社区”；‎ ‎（2）由联立表可得，‎ ‎， ‎ 所以能在犯错误概率不超过5%的情况下认为“健康族”与“性别”有关.‎ ‎18.解：（1）设数列的公比为，因为，所以，．‎ 因为是和的等差中项，所以．即，‎ 化简得．‎ 因为公比，所以．所以（）．‎ ‎（2）因为，所以．．‎ 则，①‎ ‎.②‎ ‎①－②得，‎ ‎，所以．‎ ‎19．‎ ‎20. 解：‎‎1‎因为fx=lnx+ax‎2‎+bx所以f'x=‎1‎x+2ax+b，‎ 因为函数fx=lnx+ax‎2‎+bx在x=1‎处取得极值，‎ f'‎1‎=1+2a+b=0‎‎，‎ 当a=1‎时，b=-3‎，f'x=‎‎2x‎2‎-3x+1‎x，‎ f'‎x‎，fx随x的变化情况如下表：‎ x ‎0,‎‎1‎‎2‎ ‎1‎‎2‎ ‎1‎‎2‎‎,1‎ ‎1‎ ‎1,+∞‎ f'‎x ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ fx 增 极大值 减 极小值 增 所以fx的单调递增区间为‎0,‎‎1‎‎2‎，‎1,+∞‎，单调递减区间为‎1‎‎2‎‎,1‎ ‎2‎因为f'x=‎‎2ax-1‎x-1‎x 令f'x=0‎，x‎1‎‎=1‎，‎x‎2‎‎=‎‎1‎‎2a 因为fx在 x=1‎处取得极值，所以x‎2‎‎=‎1‎‎2a≠x‎1‎=1‎，‎ 当‎1‎‎2a‎<0‎时，fx在‎0,1‎上单调递增，在‎1,e上单调递减 所以fx在区间‎0,e上的最大值为f‎1‎，‎ 令f‎1‎=1‎，解得a=-2‎ 当a>0‎，‎x‎2‎‎=‎1‎‎2a>0‎ 当‎1‎‎2a‎<1‎时，fx在‎0,‎‎1‎‎2a上单调递增，‎1‎‎2a‎,1‎上单调递减，‎1,e上单调递增 所以最大值1可能在x=‎‎1‎‎2a或x=e处取得 而f‎1‎‎2a=ln‎1‎‎2a+a‎(‎1‎‎2a)‎‎2‎-‎2a+1‎‎1‎‎2a=ln‎1‎‎2a-‎1‎‎4a<0‎ 所以fe=lne+ae‎2‎-‎2a+1‎e=1‎，解得a=‎‎1‎e-2‎ 当‎1≤‎1‎‎2a