安徽省滁州市2018-2019学年高二上学期期末联考数学（理）试题 20页

滁州市2018-2019学年度第一学期期末联考 高 二 数 学(理科)‎ 一、选择题 ‎1.若集合，则（ ）‎ A. (0，2) B. [0，2] C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得集合或，根据集合的补集的运算，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，集合或，所以，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了集合的补集的运算，其中解答中正确求解集合，熟记集合的补集的运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎2.已知命题：，，则是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题的否定是存在性命题，即可得到命题的否定形式，得到答案.‎ ‎【详解】根据全称命题的否定是存在性命题，可得命题“ ”，‎ 则，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记全称命题与存在性命题的关系是解答的关键，属于基础题.‎ ‎3.若一组数据的茎叶图如图，则该组数据的中位数是（ ）‎ A. 79 B. 79.5 C. 80 D. 81.5‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由给定的茎叶图得到原式数据，再根据中位数的定义，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，根据给定的茎叶图可知，原式数据为：，‎ 再根据中位数的定义，可得熟记的中位数为，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了茎叶图的应用，以及中位数的概念与计算，其中真确读取茎叶图的数据，熟记中位数的求法是解答的关键，属于基础题.‎ ‎4.设抛物线的焦点为，点在抛物线上，则“”是“点到轴的距离为2”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抛物线的定义和标准方程，即可判定充分性和必要性都成立，即可得到答案.‎ ‎【详解】由题意，抛物线可化，则，即，‎ 设点的坐标为，‎ 因为，根据抛物线的定义可得，点到其准线的距离为，‎ 解得，即点到轴的距离为2，所以充分性是成立的；‎ 又由若点到轴的距离为2，即，则点到其准线的距离为，‎ 根据抛物线的定义，可得点到抛物线的焦点的距离为3，即，所以必要性是成立的，即“”是“点到轴的距离为2”的充要条件，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了抛物线的定义与标准方程的应用，以及充要条件的判定，其中解答中熟记抛物线的定义和标准方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎5.有200人参加了一次会议，为了了解这200人参加会议的体会，将这200人随机号为001,002，003，…，200，用系统抽样的方法(等距离)抽出20人，若编号为006,036,041,176, 196的5个人中有1个没有抽到，则这个编号是（ ）‎ A. 006 B. 041 C. 176 D. 196‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得抽样的间隔为，得出若在第1组中抽取的数字为6，则抽取的号码满足，即可出判定，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，从200人中用系统抽样方法抽取20人，所以抽样的间隔为，‎ 若在第1组中抽取的数字为006，则抽取的号码满足，其中，‎ 其中当时，抽取号码为36；当时，抽取的号码为176；当时，抽取的号码为196，所以041这个编号不在抽取的号码中，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了系统抽样的应用，其中解答中熟记系统抽样的抽取方法是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎6.在等差数列中，，且，，成等比数列，则（ ）‎ A. 7 B. 8 C. 9 D. 10‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由成等比数列，求得，再由等差数列的通项公式，即可求解.‎ ‎【详解】设等差数列的公差为 ，‎ 由成等比数列，则，‎ 即，解得或（舍去），‎ 所以，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了等比中项的应用，以及等差数列通项公式的应用，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎7.命题：函数在上是增函数. 命题：直线在轴上的截距大于0. 若为真命题，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二次函数的性质，求得命题为真命题时，，命题为真命题时，，再根据为真命题，即都是真命题，即可求解.‎ ‎【详解】由二次函数的性质，可得函数在是增函数，则，即，‎ 即命题为真命题时，则；‎ 由直线在轴上的截距为，因为截距大于0，即，‎ 即命题为真命题时，则；‎ 又由为真命题，即都是真命题，‎ 所以实数的取值范围是，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、直线的截距，以及简单的复合命题的真假判定与应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎8.在半径为2圆形纸板中间，有一个边长为2的正方形孔，现向纸板中随机投飞针，则飞针能从正方形孔中穿过的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据面积比的几何概型，即可求解飞针能从正方形孔中穿过的概率，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，边长为2的正方形的孔的面积为，‎ 又由半径为2的圆形纸板的面积为，‎ 根据面积比的几何概型，可得飞针能从正方形孔中穿过的概率为，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了面积比的几何概型的概率的计算，以及正方形的面积和圆的面积公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎9.若如图所示的程序框图的输出结果为二进制数化为十进制数(注：)，那么处理框①内可填入（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由二进制数化为十进制数，得出，得到运行程序框输出的结果，验证答案，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，二进制数化为十进制数，‎ 即运行程序框输出的结果为21，‎ 经验证可得，处理框内可填入，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了二进制与十进制的转化，以及循环结构的程序框图的计算与输出，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎10.在正方体中，点，分别是，的中点，则直线与平面所成角的正弦值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设正方体棱长为，以为轴建立空间直角坐标系，求得和平面的一个法向量为，利用向量的夹角公式，即可求解.‎ ‎【详解】设正方体棱长为，分别以为轴建立空间直角坐标系，‎ 则，‎ 所以.‎ 设平面的法向量为，‎ 则即令，则，‎ 即平面的一个法向量为.‎ 设直线与平面所成角为，‎ 则.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用空间向量求解直线与平面所成的角，根据几何体的结构特征，建立适当的空间直角坐标系，求得直线的方向向量和平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎11.设双曲线的左焦点为，右顶点为，过点与轴垂直的直线与双曲线的一个交点为，且，则此双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线的标准方程和题设条件，得到 ‎，进而求得，最后利用离心率的公式，即可求解.‎ ‎【详解】由双曲线，可得左焦点为，右顶点为，‎ 又由过与轴垂直的直线与双曲线的一个交点为，则，‎ 又因为，即，且，‎ 解得，‎ 所以双曲线的离心率为，故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)．‎ ‎12.设函数，若，且，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出函数的图象，结合图象和题设条件，求得，再利用二次函数的性质，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，函数，如图所示，‎ 可得当时，，当时，，当时，，‎ 结合图象可得，，‎ 所以，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的图象的应用，以及二次函数的图象与性质的应用，其中解答中根据函数的图象和题设条件，求得是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.‎ 二、填空题 ‎13.向量，，且，则_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量的坐标运算和向量的垂直关系，求得，进而得到的坐标，利用模的计算公式，即可求解.‎ ‎【详解】由向量，，且，即，解得，‎ 所以，所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量的垂直关系的应用，以及向量的坐标运算和向量的模的计算，着重考查了计算与求解能力，属于基础题.‎ ‎14.若椭圆：的焦距为，则椭圆的长轴长为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆的性质，列出方程求得的值，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，椭圆的焦距为，‎ 则，解得，所以，‎ 所以椭圆的长轴长为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中熟记椭圆的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎15.已知样本数据为40，42，40，a，43，44，且这个样本的平均数为43，则该样本的标准差为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由平均数的公式，求得，再利用方差的计算公式，求得，即可求解.‎ ‎【详解】由平均数的公式，可得，解得，‎ 所以方差为，‎ 所以样本的标准差为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了样本的平均数与方差、标准差的计算，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎16.如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧棱底面，，，则异面直线与所成角的余弦值为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以分别为轴，以过点平行与的直线为轴建立空间直角坐标系，求得向量的坐标，利用向量的夹角公式，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，以分别为轴，以过点平行与的直线为轴建立空间直角坐标系，‎ 则，‎ 所以，‎ 设与所成的角为，则，‎ 所以与所成的角的余弦值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中建立适当的空间直角坐标系，把异面直线所成的角转化为两个向量所成的角，利用向量的夹角公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.‎ 三、解答题 ‎17.在中，角的对边分别为，且. ‎ ‎(1)求的大小；‎ ‎(2)若，，求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用正弦定理化简已知等式，整理后根据sinB0求出，即可确定出A的度数；‎ ‎（2）利用余弦定理列出关系式，把a，b，cosA的值代入求出c的值，再由b，sinA的值，利用三角形面积公式求出即可．‎ ‎【详解】（1）由正弦定理得，‎ ‎∵，∴，∴，‎ ‎∵，∴‎ ‎（2）∵，，，‎ ‎∴，解得或（舍），‎ ‎∴ .‎ ‎【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．‎ ‎18.某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为，，，，，）.‎ ‎（1）求选取的市民年龄在内的人数；‎ ‎（2）若从第3,4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率.‎ ‎【答案】（1）20；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）选取的市民年龄在内的频率，即可求出人数；‎ ‎（2）利用分层抽样的方法从第3组选3，记为A1，A2，A3从第4组选2人，记为B1，B2；再利用古典概型的概率计算公式即可得出.‎ ‎【详解】（1）由题意可知，年龄在内的频率为，‎ 故年龄在内的市民人数为.‎ ‎（2）易知，第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为，‎ 所以用分层抽样的方法在第3、4两组市民抽取5名参加座谈，‎ 所以应从第3,4组中分别抽取3人，2人.‎ 记第3组的3名分别为，，，第4组的2名分别为，，则从5名中选取2名作重点发言的所有情况为，，，，，，，，，，共有10种.‎ 其中第4组2名，至少有一名被选中的有：，，，，，，，共有7种，所以至少有一人的年龄在内的概率为.‎ ‎【点睛】(1)古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，他们是否是等可能的．(2)用列举法求古典概型，是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏．(3)注意一次性抽取与逐次抽取的区别：一次性抽取是无顺序的问题，逐次抽取是有顺序的问题.‎ ‎19.商品的销售价格与销售量密切相关，为更精准地为商品确定最终售价，商家对商品按以下单价进行试售，得到如下数据：‎ ‎(1)求销量关于的线性回归方程；‎ ‎(2)预计今后的销售中，销量与单价服从(1)中的线性回归方程.，已知每件商品的成本是10元，为了获得最大利润，商品的单价应定为多少元？(结果保留整数)‎ ‎(附：，.‎ ‎【答案】（1）；（2）24.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据表格中的数据，利用公式，求得，即可得到回归直线的方程；‎ ‎（2）由（1）求得利润的表达式，利用二次函数的性质，即可求解.‎ ‎【详解】（1）由题意得，‎ 所以，‎ 所以关于的线性回归方程为；‎ ‎（2）由题意得，获得的利润，‎ 所以当时，取得最大值，‎ 所以单价定为元，可获得最大利润.‎ ‎【点睛】本题主要考查了线性回归方程的求解及其应用，其中解答中根据表格中的数据，利用公式准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎20.如图，四棱锥中，底面是平行四边形，，，且底面.‎ ‎(1)证明：平面平面；‎ ‎(2)若二面角为，求与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先由底面，得到，再在平行四边形中，得到，利用线面垂直的判定定理，证得平面，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面平面.‎ ‎（2）由（1）知，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.‎ ‎【详解】（1）证明：因为底面，所以，‎ 因为平行四边形中，，所以，‎ 因为，所以平面，‎ 而平面，所以平面平面.‎ ‎（2）由（1）知，平面，‎ 所以即为二面角的平面角，即，‎ 分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，‎ 设，则,‎ 则,‎ 所以，‎ 设平面的法向量为，‎ 则，令，得，‎ 所以与平面所成角的正弦值为.‎ ‎ ‎ ‎【点睛】本题考查了面面垂直的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.‎ ‎21.已知圆和抛物线，圆与抛物线的准线交于、两点，的面积为，其中是的焦点.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）不过原点的动直线交该抛物线于，两点，且满足，设点为圆上任意一动点，求当动点到直线的距离最大时直线的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意表示的面积，解出p值，即可求出抛物线的方程；‎ ‎（2）利用直线和抛物线的位置关系，建立方程组，进一步利用一元二次方程根与系数的关系建立等量关系，最后利用最大值求出直线的方程．‎ ‎【详解】（1）由题意知，圆的标准方程为，圆心坐标为.‎ 抛物线的焦点，准线方程为，‎ 将代入圆方程，得，‎ ‎∴ ，的面积为，‎ ‎∴，∴抛物线的方程为.‎ ‎（2）设的直线方程为，，，联立方程组得：‎ ‎，消去，整理得，‎ 令，得.‎ 由韦达定理得，①‎ 则 .‎ 由于，可得.‎ 即，②‎ 将①代入②整理得 由于得，则直线过定点，‎ 当时，圆心到直线的距离取得最大值，‎ 此时，则直线的斜率为，‎ 所以直线的方程为.‎ ‎【点睛】本题考查的知识要点：抛物线的方程的求法，直线和曲线的位置关系的应用，一元二次方程根与系数的关系的应用，直线的方程的求法．‎ ‎22.已知椭圆：过点与点.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)设直线过定点，且斜率为，若椭圆上存在，两点关于直线 对称，为坐标原点，求的取值范围及面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2），.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）把两点的坐标代入椭圆的方程，求得的值，即可求得椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线AB的方程为，联立方程组，由，即，以及根与系数的关系，得到线段AB的中点坐标，代入直线方程方程，求得，再利用两点间距离公式和点到直线的距离公式，得到的表达式，即可求解.‎ ‎【详解】（1）由题意，可得，解得，所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）由题意，设直线AB的方程为，‎ 由，整理得，‎ 所以，即，……….①‎ 且，‎ 所以线段AB的中点横坐标，纵坐标为，‎ 将代入直线方程，可得 ……… ②，‎ 由①②可得，又，所以，‎ 又，‎ 且原点O到直线AB的距离，‎ 所以 ‎，‎ 所以时，最大值，此时，‎ 所以时，最大值.‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.‎ ‎ ‎