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- 2021-06-15 发布
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北师大附属实验中学2019-2020学年度
高一年级第一学期数学期中考试试卷(一卷)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填在答题卡上)
1.已知集合,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出集合B再求出交集.
【详解】,
∴,则,
故选A.
【点睛】本题考查了集合交集的求法,是基础题.
2.如果,那么下列不等式成立是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由于,不妨令,,代入各个选项检验,只有正确,从而得出结论.
【详解】由于,不妨令,,可得 ,,故不正确.
可得,,,故不正确.
可得,,,故不正确.
,故D正确.
故选:.
【点睛】本题主要考查不等式与不等关系,利用特殊值代入法比较几个式子在限定条件下的大小关系,是一种简单有效的方法,属于基础题.
3.下列函数中,值域为(0,+∞)的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求出每一个选项的函数的值域判断得解.
【详解】A. 函数的值域为,所以该选项与已知不符;
B. 函数的值域为,所以该选项与已知不符;
C. 函数的值域为,所以该选项与已知不符;
D.函数的值域为(0,+∞),所以该选项与已知相符.
故选:D
【点睛】本题主要考查函数的值域的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
4.已知,若,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意,函数,求得,进而可求解的值.
【详解】由题意,函数,
由,即,得,
则 ,故选D.
【点睛】本题主要考查了函数的求解问题,其中解答中涉及到函数的奇偶性和函数的解析式的应用,合理应用函数的奇偶性和准确运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
5.设,则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】
先化简“”和“”,再利用充分必要条件的定义分析判断得解.
【详解】由得,
由得,
所以“”不能推出“”,
所以“”是“”的非充分条件;
因为“”不能推出“”,
所以“”是“”的非必要条件.
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选:D
【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法,考查一元二次不等式的解法,考查充分必要条件的判断,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
6.函数在区间(1,3)内零点个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】
先证明函数的单调递增,再证明,即得解.
【详解】因为函数在区间(1,3)内都是增函数,
所以函数在区间(1,3)内都是增函数,
又
所以,
所以函数在区间(1,3)内的零点个数是1.
故选:B
【点睛】本题主要考查零点定理,考查函数单调性的判断,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
7.已知命题“,使”是假命题,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
原命题等价于恒成立,故即可,解出不等式即可.
【详解】因为命题“,使”是假命题,所以恒成立,所以,解得,故实数的取值范围是.
故选B.
【点睛】对于函数恒成立或者有解求参问题,常用方法有:变量分离,参变分离,转化为函数最值问题;或者直接求函数最值,使得函数最值大于或者小于0;或者分离成两个函数,使得一个函数恒大于或小于另一个函数。而二次函数的恒成立问题,也可以采取以上方法,当二次不等式在R上大于或者小于0恒成立时,可以直接采用判别式法.
8.设函数的定义域为R,满足,且当时,.若对任意,都有,则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
因为,所以,分段求解析式,结合图象可得.
【详解】因为,
,
,时,,,
,时,,,,;
,时,,,,,
当,时,由解得或,
若对任意,,都有,则.
故选:.
【点睛】本题考查了函数与方程的综合运用,属中档题.
二、填空题(本大题6小题,每小题5分,共30分,将正确答案填在答题纸上)
9.已知,,则值为____________.
【答案】24
【解析】
【分析】
由题得即得解.
【详解】由题得.
故答案为:24
10.已知,是方程的两个根,则____________.
【答案】32
【解析】
【分析】
由题得的值,再把韦达定理代入得解.
【详解】由题得.
所以.
故答案为:32
【点睛】本题主要考查一元二次方程的韦达定理的应用,意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
11.某公司一年购买某种货物吨,每次购买吨,运费为万元/次,一年的总存储费用为万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则的值是__________.
【答案】
【解析】
【详解】总费用为,当且仅当,即时等号成立.故答案为30.
点睛:在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.
12.已知函数,若,则x=___________
【答案】
【解析】
【分析】
当时,,当时,由可得结果.
【详解】因为函数,
当时,,
当时,,
可得(舍去),或,故答案为.
【点睛】本题主要考查分段函数的解析式,意在考查对基础知识掌握的熟练程度,以及分类讨论思想的应用,属于简单题.
13.若二元一次方程,,有公共解,则实数k=_____________.
【答案】4
【解析】
【分析】
由题意建立关于,的方程组,求得,的值,再代入中,求得的值.
【详解】解得,
代入得,
解得.
故答案为:4
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组,意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
14.已知λ∈R,函数f(x)=,当λ=2时,不等式f(x)<0的解集是___________.若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是___________.
【答案】 (1). (1,4) (2).
【解析】
分析:根据分段函数,转化为两个不等式组,分别求解,最后求并集.先讨论一次函数零点的取法,再对应确定二次函数零点的取法,即得参数的取值范围.
详解:由题意得或,所以或,即,不等式f(x)<0的解集是
当时,,此时,即在上有两个零点;当时,,由在上只能有一个零点得.综上,的取值范围为.
点睛:已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路:
(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;
(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;
(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.
三、解答题(本大题共3小题,共30分,写出必要的解答过程,将答案写在答题纸上)
15.已知集合,.
⑴若,求.
⑵若,求实数的取值范围.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】
【分析】
(1)把的值代入确定出,再求出B, 求出与的交集即可;(2)根据与的并集为,确定出的范围即可.
【详解】(1) 把代入得:,
或,
;
(2),或,且,
,
解得:,
则实数的范围是.
【点睛】本题主要考查集合的交集和并集运算,考查根据集合的关系求参数的范围,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
16.已知函数的定义在上的偶函数,且当时有.
⑴判断函数在上的单调性,并用定义证明.
⑵求函数的解析式(写出分段函数的形式).
【答案】(1)单调递增,证明见解析;(2).
【解析】
【分析】
(1)运用函数的单调性的定义证明;(2)运用偶函数的定义,求出的表达式,即可得到的解析式.
【详解】(1)函数在,上单调递增.
证明:设,则,
,
又,所以,,,
所以.
则,即,
故函数在,上单调递增;
(2)由于当时有,
而当时,,
则,
即.
则.
【点睛】本题考查函数的单调性的判断和证明,函数的解析式的求法,考查运算能力,属于基础题.
17.已知关于x的不等式的解集为A,且.
(I)求实数a的取值范围;
(II)求集合A.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析.
【解析】
试题分析:(Ⅰ)因为,所以将3代入后,可求得的取值范围;(Ⅱ)将不等式整理为,再讨论以及三种情况,确定三种情况后,再求二次不等式对应的二次方程的实根,讨论实根的大小,从而确定不等式的解集.
试题解析:(I)∵,∴当时,有,即.
∴,即a的取值范围是.
(II)
当a=0时,集合;
当时,集合;
当时,原不等式解集A为空集;
当时,集合;
当时,集合.
考点:含参的一元二次不等式的解法
四、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分,将正确答案的序号填在答题纸上)
18.函数的定义域为_____.
【答案】
【解析】
【详解】由题意得,
即定义域为.
19.已知函数则__________.
【答案】
【解析】
【分析】
先证明,求出的值,再求解.
【详解】由题得,
所以.
故答案为:
【点睛】本题主要考查求函数值,意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
20.设,则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
把分子展开化为,再利用基本不等式求最值。
【详解】
,
当且仅当,即时成立,
故所求的最小值为。
【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立。
21.李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.
①当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付__________元;
②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为__________.
【答案】 (1). 130. (2). 15.
【解析】
【分析】
由题意可得顾客需要支付的费用,然后分类讨论,将原问题转化为不等式恒成立的问题可得
的最大值.
【详解】(1),顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付元.
(2)设顾客一次购买水果促销前总价为元,
元时,李明得到的金额为,符合要求.
元时,有恒成立,即,即元.
所以的最大值为.
【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质、数学的应用意识、数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景,创设问题情境,考查学生身边的数学,考查学生的数学建模素养.
22.设函数的定义域为D,如果存在正实数m,使得对任意,都有,则称为D上的“m型增函数”,已知函数是定义在R上的奇函数,且当时,.若为R上的“20型增函数”,则实数a的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
先求出函数的解析式,再对a分类讨论结合函数的图像的变换分析解答得解.
【详解】∵函数是定义在R上的奇函数且当时,,
∴,
∵为R上的“20型增函数”,
∴,
当时,由的图象(图1)可知,向左平移20个单位长度得的图象显然在图象的上方,显然满足.
图1 图2
当时,由的图象(图2)向左平移20个单位长度得到的图象,要的图象在图象的上方.∴,∴,
综上可知:.
故答案为:
【点睛】本题主要考查函数图像的变换和函数的性质,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于中档题.
五、解答题(本大题共3小题,共30分,写出必要的解答过程,将答案写在答题纸上)
23.已知关于x的一元二次方程.
(1)若方程有实数根,求实数k的取值范围;
(2)如果k是满足(1)的最大整数,且方程的根是一元二次方程的一个根,求m的值及这个方程的另一个根.
【答案】(1)(2)m=3,方程的另一根为4
【解析】
【分析】
(1)解不等式即得解;(2)先根据已知求出m的值,再解方程求方程的另外一个根.
【详解】(1)由题意得,所以,解得.
(2)由(1)可知k=2,
所以方程的根.
∴方程的一个根为2,
∴,解得m=3.
∴方程,
解得或.
所以方程的另一根为4.
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的情况的判定,考查一元二次方程的解法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
24.已知函数,其中,
(1)若的图象关于直线对称,求的值;
(2)求在区间[0,1]上的最小值.
【答案】(1)(2)
【解析】
【分析】
(1)由题得,解方程即得解;(2)把对称轴与区间[0,1]分三种情况讨论求函数的最小值.
【详解】(1)因为,
所以,的图象的对称轴方程为.
由,得.
(2)函数的图象的对称轴方程为,
①当,即时,
因为在区间(0,1)上单调递增,
所以在区间[0,1]上的最小值为.
②当,即时,
因为在区间(0,)上单调递减,在区间(,1)上单调递增,
所以在区间上的最小值为.
③当,即时,
因为在区间(0,1)上单调递减,
所以在区间[0,1]上的最小值为.
综上:.
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质,考查二次函数最值的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
25.对于区间[a,b](a