2017-2018学年湖南省衡阳市第八中学高二（实验班）下学期期末结业考试数学（理）试题 Word版 15页

衡阳八中2018年上期高二年级实验班结业考试试卷 理科数学（试题卷）‎ 注意事项：‎ ‎1.本卷为衡阳八中高二年级实验班结业考试试卷，分两卷。其中共23题，满分150分，考试时间为120分钟。‎ ‎2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。‎ ‎3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色‎0.5mm签字笔书写。考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。‎ ‎★预祝考生考试顺利★‎ 第I卷 选择题（每题5分，共60分）‎ 本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。‎ ‎1.设集合，，，则的取值范围为（ ）‎ A．或 B． C. D．或 ‎2.若复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.设，，，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.在各项都为正数的等差数列{an}中，若a1+a2+…+a10=30，则a5•a6的最大值等于（　　）‎ A．3 B．‎6 ‎C．9 D．36‎ ‎5.将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的取值不可能是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.在区间[0,2]上随机取两个数，，则的概率是（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎7.刍薨（），中国古代算术中的一种几何形体，《九章算术》中记载“刍薨者，下有褒有广，而上有褒无广.刍，草也.薨，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱，刍薨字面意思为茅草屋顶”，如图，为一刍薨的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则搭建它（无底面，不考虑厚度）需要的茅草面积至少为（ ）‎ A.24 B. C.64 D.‎ ‎8.阅读下面的程序框图，运行相应的程序，则输出的的值为（ ）‎ A．72 B．‎90 C．101 D．110‎ ‎9.已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y=0交椭圆E于A，B两点，若|AF|+|BF|=4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（　　）‎ A．（0，] B．（0，] C．[，1） D．[，1）‎ ‎10.函数（）的图象的大致形状是（ ）‎ ‎11.在平面直角坐标系中，不等式组（为常数）表示的平面区域的面积为，若满足上述约束条件，则的最小值为 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第II卷 非选择题（共90分）‎ 二.填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13.若的展开式中常数项为96，则实数等于 ．‎ ‎14.在平面直角坐标系中，若圆上存在点，且点关于直线的对称点在圆上，则的取值范围是__________．‎ ‎15.已知AB是球O的直径，C，D为球面上两动点，AB⊥CD，若四面体ABCD体积的最大值为9，则球O的表面积为　　．‎ ‎16.已知函数有六个不同零点，且所有零点之和为3，则的取值范围为 ．‎ 三.解答题（共6题，共70分）‎ ‎17.（本题满分12分）‎ 已知数列的前项和为，，（）．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设（），数列的前项和为，证明：（）．‎ ‎18.（本题满分12分）‎ 如图，直角梯形中，，，，，底面，底面且有.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若线段的中点为，求直线与平面所成角的正弦值. ‎ ‎19.（本题满分12分）‎ 某公司订购了一批树苗，为了检测这批树苗是否合格，从中随机抽测 株树苗的高度，经数据处理得到如图的频率分布直方图，起中最高的 株树苗高度的茎叶图如图所示，以这 株树苗的高度的频率估计整批树苗高度的概率.‎ ‎（1）求这批树苗的高度高于 米的概率，并求图19-1中， ， ， 的值；‎ ‎（2）若从这批树苗中随机选取 株，记 为高度在 的树苗数列，求 的分布列和数学期望.‎ ‎（3）若变量 满足且 ，则称变量 满足近似于正态分布 的概率分布.如果这批树苗的高度满足近似于正态分布 的概率分布，则认为这批树苗是合格的，将顺利获得签收；否则，公司将拒绝签收.试问，该批树苗能否被签收？‎ ‎20.（本题满分12分）‎ 给定椭圆，称圆为椭圆的“伴随圆”.已知点是椭圆上的点 ‎（1）若过点的直线与椭圆有且只有一个公共点，求被椭圆的伴随圆所截得的弦长：‎ ‎（2）是椭圆上的两点，设是直线的斜率，且满足，试问：直线是否过定点，如果过定点，求出定点坐标，如果不过定点，试说明理由。‎ ‎21.（本题满分12分）‎ 已知函数。‎ ‎（1）若有三个极值点，求的取值范围；‎ ‎（2）若对任意都恒成立的的最大值为，证明：。‎ 选考题 请考生从22、23题中任选一题作答，共10分。‎ ‎22.（选修4-4.坐标系与参数方程）‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数），以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点，直线与曲线相交于两点，且，求实数的值.‎ ‎23.（选修4-5.不等式选讲）‎ 已知函数的最小值为.‎ ‎(1)求实数的值；‎ ‎(2)若,且,求证:.‎ 衡阳八中2018年上期高二年级实验班结业考试理科数学参考答案 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B A A C B C B B A C D B ‎13.4‎ ‎14.‎ ‎15.36π ‎16.‎ ‎17.‎ ‎（1）当时，，解得；（1分）‎ 当时，，，‎ 以上两式相减，得，∴，（3分）‎ ‎∴，‎ ‎∴（6分）‎ ‎（2）‎ 当时，；（8分）‎ 当时，，‎ ‎∴，（11分）‎ ‎∴（）．（12分）‎ ‎18.‎ ‎（1），‎ ‎，且是等腰直角三角形，‎ 平面中，，‎ ‎，可得 ‎，即 底面，底面，‎ ‎、是平面内的相交直线，平面 平面，（6分）‎ ‎（2）解法一：几何法 如图，过点作，垂足为，连接，，‎ ‎，，，平面，‎ 平面，‎ 结合且，可得平面 是在平面内的射影，‎ 可得就是直线与平面所成的角.‎ 中，，‎ 中，‎ ‎，，，可得 因此，在中，‎ 即直线与平面所成角的正弦值是.（12分）‎ 解法二：向量法 如图，以点为坐标原点，直线为轴，为轴建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，，‎ 所以： ‎ 设平面的一个法向量为，由 可取 设直线与平面所成角为，则 ‎.（12分）‎ ‎19.‎ ‎（1）由图19-2可知，100株样本树苗中高度高于1.60的共有15株，‎ 以样本的频率估计总体的概率，可得这批树苗的高度高于1.60的概率为0.15.‎ 记为树苗的高度，结合图19-1可得：‎ ‎， ‎ ‎， ，‎ 又由于组距为0.1，所以．（4分）‎ ‎（2）以样本的频率估计总体的概率，可得：从这批树苗中随机选取1株，高度在的概率.‎ 因为从这批树苗中随机选取3株，相当于三次重复独立试验，‎ 所以随机变量服从二项分布，‎ 故的分布列为：， 8分 即：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎0.027‎ ‎0.189‎ ‎0.441‎ ‎0.343‎ ‎（或）.（8分）‎ ‎（3）由，取，，‎ 由（Ⅱ）可知，，‎ 又结合（Ⅰ），可得：‎ ‎，‎ 所以这批树苗的高度满足近似于正态分布的概率分布，应认为这批树苗是合格的，将顺利获得该公司签收．（12分）‎ ‎20.‎ ‎（1）因为点是椭圆上的点.‎ 即椭圆 伴随圆（3分）‎ 当直线的斜率不存在时：显然不满足与椭圆有且只有一个公共点 当直接的斜率存在时：设直线与椭圆联立得 由直线与椭圆有且只有一个公共点得 解得，由对称性取直线即（4分）‎ 圆心到直线的距离为（5分）‎ 直线被椭圆的伴随圆所截得的弦长（6分）‎ ‎（2）设直线的方程分别为 设点 联立得 则得同理（8分）‎ 斜率（9分）‎ 同理因为（10分）‎ 所以 三点共线（12分）‎ ‎21.‎ ‎（1），定义域为，（1分）‎ ‎，，‎ 只需应有两个既不等于0也不等于的根，，（2分）‎ ‎①当时，，单增，最多只有一个实根，不满足；（3分）‎ ‎②当时，，‎ 当时，，单减；当时，，单增；‎ 是的极小值，（4分）‎ 而时，，时，，‎ 要有两根，只需，由 ‎，又由，‎ 反之，若且时，则，的两根中，一个大于，另一个小于。在定义域中，连同，共有三个相异实根，且在三根的左右，正负异号，它们是的三个极值点。‎ 综上，的取值范围为。（6分）‎ ‎（2）对恒成立，‎ ‎①当时，均满足；‎ ‎②对恒成立对恒成立，‎ 记，‎ 欲证，‎ 而，‎ 只需证明，显然成立。‎ 下证：，‎ 先证：，‎ ‎，‎ 令，‎ 在上单增，‎ ‎，在上单增，，在上单增，‎ ‎，即证。‎ 要证：，‎ 只需证 而，开口向上，上不等式恒成立，从而得证命题成立。（12分）‎ ‎22.‎ ‎（1），‎ 故曲线的普通方程为.（2分）‎ 直线的直角坐标方程为.（4分）‎ ‎（2）直线的参数方程可以写为（为参数）.‎ 设两点对应的参数分别为，将直线的参数方程代入曲线的普通方程可以得到，‎ 所以或，‎ 解得或或.（10分）‎ ‎23.‎ ‎(1)因为,当且仅当,‎ 即时取等号,所以的最小值为3,于是（5分）‎ ‎(2)由(1)知,且,由柯西不等式得 ‎（10分）‎