2017-2018学年河北省唐山市开滦第二中学高二12月月考数学（理）试题 解析版 11页

开滦二中2017-2018学年第一学期高二年级12月月考 数学试卷（理）‎ 时间:120分钟 满分:150分 一、选择题(每小题5分,共12小题60分)‎ ‎1、已知直线与直线平行，则直线在轴上的截距是(　　)‎ A. 1‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎2、已知表示直线，表示平面，则下列推理正确的是(　　)‎ A. ，‎ B. ，且 C. ，，，‎ D. ，，‎ ‎3、设，若直线与线段没有公共点，则的取值范围是（   ）‎ A. ‎ C. ‎ B. ‎ D. ‎ ‎4、如图，分别是边长为2的正方形的边与的中点，将，，分别沿折起，使得三点重合于点，则下列结论错误的是(　　)‎ A. ‎ B. 到平面的距离为 C. 四面体的四个面中有三个面是直角三角形 D. 四面体外接球的表面积为 ‎5、已知抛物线，直线与抛物线交于，两点（不同于原点），以为直径的圆过坐标原点，则关于直线的判断正确的是（　　）‎ A.过定点 B.过定点 C.过定点 D.过抛物线焦点 ‎6、已知点分别是正方体的棱的中点,点分别在线段, 上. 以为顶点的三棱锥的俯视图不可能是　(　　)‎ A.‎ C.‎ B.‎ D.‎ ‎7、当曲线 与直线 有两个相异的交点时，实数的取值范围是（   ）‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎8、设双曲线的一条渐近线与抛物线只有一个公共点，则双曲线的离心率为(   )   ‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎9、在棱长为1的正方体中，平面与平面间的距离是（   ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎10、已知实数满足 ，则 的最小值是（    ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎11、如图，是正方体的棱的中点，给出下列命题：‎ ‎①过点有且只有一条直线与直线、都相交； ‎ ②过点有且只有一条直线与直线、都垂直； ‎ ③过点有且只有一个平面与直线、都相交； ‎ ④过点有且只有一个平面与直线、都平行． ‎ 其中真命题是(   )‎ A. ②③④‎ B. ①③④‎ C. ①②④‎ D. ①②③‎ ‎12、已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为（     ） ‎ A. ‎ C. 4‎ B. 3‎ D. ‎ 二、填空题(每小题5分,共4小题20分)‎ ‎13、如图所示，一个正方体的表面展开图的五个正方形为阴影 部分，第六个正方形在编号为1～5的适当位置，则所有可 能的位置编号为__________．‎ ‎14、在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为__________.        ‎ ‎15、已知抛物线的焦点恰好是双曲线的右焦点，且双曲线过点，则该双曲线的渐近线方程为： _______.‎ ‎16、已知点为坐标原点，点在轴上，正的面积为，其斜二测画法的直观图为△，则点到边的距离为__________．‎ 三、解答题(第17题10分,第18题12分,第19题12分,第20题12分,第21题12分,第22题12分,共6小题70分)‎ ‎17、已知圆，‎ 直线 ．‎ ‎(1)求证：直线恒过定点．‎ ‎(2)判断直线被圆截得的弦何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短长度．‎ ‎18、如图所示，已知为圆的直径，点为线段上一点，且，点为圆上一点，且．点在圆所在平面上的正投影为点，．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求点到平面的距离.‎ ‎19、已知抛物线（）的准线方程是，‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）设直线（）与抛物线相交于，两点，为坐标原点，证明：.‎ ‎20、如图，四棱锥的底面是正方形，底面，点在棱上 ‎（1）求证：平面平面；   ‎ ‎（2）当且为的中点时，求与平面所成的角的大小.‎ ‎21、如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且，点是的中点. ‎ ‎（1）求证：； ‎ ‎（2）求证：平面； ‎ ‎（3）求二面角的大小.‎ ‎22、已知椭圆 的离心率为，且抛物线的焦点恰好是椭圆C的一个焦点.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)过点作直线与椭圆C交于A，B两点，点N满足（O为原点），求四边形OANB面积的最大值，并求此时直线的方程.‎ 开滦二中2017-2018学年第一学期高二年级12月月考 数学试卷（理）答案解析 第1题答案 B 因为直线与直线平行，所以，解得.故直线在轴上的截距是，选. ‎ 第2题答案 D 选项A中，，，则可能平行也可能相交，故A不正确；‎ 选项B中，，，则可能且，也可能在平面或内，故B不正确；选项C中，，，，，根据面面平行的判定定理，再加上条件与相交，才能得出，故C不正确；‎ 选项D为面面平行性质定理的符号语言，故选D.‎ 第3题答案 C 如图，若直线与线段没有公共点，则直线逆时针旋转(斜率增大)到都是满足条件的直线，‎ 又,‎ ‎ ，故选C.   ‎ 第4题答案 B A项，∵折叠前，，∴折叠后，，‎ 又，∴平面，从而，故A正确．‎ B项，设折叠前连接时，.则折叠后仍有，，‎ 又，∴⊥平面，从而平面⊥平面且交线为，‎ 作于点，则平面，∴为点到平面的距离．‎ 在中，，，，∴，故B不正确．‎ C项，由A,B选项知四面体中有，∴四个面中有三个面是直角三角形，故C正确．‎ D项，∵两两垂直，∴四面体的外接球直径为，即 ‎，∴，故D正确．‎ 第5题答案 B 设直线，‎ 代入抛物线方程，可得，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∵以为直径的圆过坐标原点，‎ ‎∴有，‎ ‎∴直线过定点．‎ 第6题答案 C 如图(1),俯视图即为,当分别为, 中点时,俯视图为.如图(2),俯视图即为D.不管在什么位置,俯视图都不可能是一个三角形,故选.‎ 第7题答案 C 注意到，知曲线是圆在直线的上方部分的半圆；而直线知恒过定点.如图，由于，，当直线与圆相切时：，解得，故知实数的取值范围是.‎ 第8题答案 D 双曲线的一条渐近线为,由方程组 ‎,消去,得有唯一解,所以,所以,‎ 第9题答案 B 连接，与面与平面分别交于，．‎ ‎∵平面，∴，又∵，∴平面，∴.‎ 同理可证，又，∴面.‎ 同理可证面．∴为平面与平面的距离.‎ ‎∵为正三角形，边长为，三棱锥为正三棱锥，∴为的中心，，‎ ‎，同理求出，又，∴．‎ 第10题答案 A 将化为，，从几何意义讲，表示在圆上的点到直线的距离的倍，要使其值最小，只需最小即可，由直线和圆的位置关系可知，所以的最小值为 第11题答案 C 直线与是两条互相垂直的异面直线，点不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：‎ 取的中点，则，且，设与交于，则点共面，直线必与直线相交于某点．‎ 所以，过点有且只有一条直线与直线、都相交；故①正确．‎ 过点有且只有一条直线与直线、都垂直，此垂线就是棱，故②正确．‎ 过点有无数个平面与直线、都相交，故③不正确．‎ 过点有且只有一个平面与直线、都平行，此平面就是过点与正方体的上下底都平行的平面，故④正确．‎ 综上，①②④正确，③不正确，故选C．‎ 第12题答案 A 如图所示，正方体被面ABCD所截，截面ABCD是上底为，下底为，两腰长为的等腰梯形，其面积为．‎ ‎ ‎ 第13题答案 1、4、5‎ 解析: 可用纸板做模型演示一下．‎ 第14题答案 ‎ 解析:因为空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标只要竖坐标变相反数，其余不变，因此为.   ‎ 第15题答案 ‎ 解析: 以题意可得 解得：‎ 所以双曲线的渐近线方程为 故答案为：‎ 第16题答案 ‎ 第16题解析 正的面积为，边长为，，为中点，.所以点到边的距离：.‎ 第17题答案 ‎(1)证明略；‎ ‎(2)直线被圆截得的弦最短时的值是，最短长度是．‎ 第17题解析 解：(1)直线的方程经整理得．由于的任意性，于是有，解此方程组，得．即直线恒过定点 ‎(2)因为直线恒经过圆C内一点，所以(用《几何画板》软件，探究容易发现)当直线经过圆心时被截得的弦最长，它是圆的直径；当直线垂直于时被截得的弦长最短．由，，可知直线的斜率为，所以当直线被圆截得弦最短时，直线的斜率为，于是有，解得．此时直线l的方程为，即．又．所以，最短弦长为．直线被圆截得的弦最短时的值是，最短长度是 第18题答案 ‎（1）见解析（2)  ‎ 第18题解析 ‎（1）连接，由知，点为的中点.‎ 又∵为圆的直径，∴.‎ 由知，，‎ ‎∴为等边三角形，故.‎ ‎∵点在圆所在平面上的正投影为点，∴平面，又平面，∴，‎ ‎∵，，，‎ ‎∴平面.‎ ‎（2）设，由（1）可知，，∴.‎ 又，，，‎ ‎∴为等腰三角形，则，‎ 设点到平面的距离为，‎ 由，得，解得．‎ 第19题答案 ‎（1）（2）略 第19题解析 ‎（1）抛物线（）的准线方程是，，解得，‎ 抛物线方程为.‎ ‎（2）证明：设，，‎ 将代入，‎ 消去整理得，‎ ‎，由，两式相乘得，，‎ 注意到，异号，，‎ 直线与直线的斜率之积为，‎ 即.‎ 第20题答案 ‎（1）详见解析；（2）‎ 第20题解析 ‎（1）∵四边形是正方形，∴，∵底面，‎ ‎∴，∴平面，‎ ‎∴平面平面.‎ ‎（2）设，连接，‎ 由（1）知平面于，‎ ‎∴为与平面所的角，‎ ‎∵，分别为、的中点，‎ ‎∴，，‎ 在中，，∴，‎ 即与平面所成的角的大小为.‎ 第21题答案 ‎（1）略；（2）略；（3）. ‎ 第21题解析 ‎（1）∵平面，∴是在平面上的射影，‎ 又∵，平面，‎ ‎∴. ‎ ‎（2）连接，与相交与，连接，‎ ‎∵是平行四边形，∴是的中点，又是的中点，‎ ‎∴，又平面，平面，‎ ‎∴平面. ‎ ‎（3）如图，取的中点，连结，，‎ 则是的中位线，∴，又平面，‎ ‎∴平面，同理是的中位线，‎ ‎∴，∴，‎ 由三垂线定理可知是二面角的平面角.‎ 又.‎ ‎∴，而二面角与二面角互补， ‎ 故所求二面角的大小为.   ‎ 第22题答案 ‎(1)；(2)2；.‎ 第22题解析 ‎(1)设椭圆的焦距为，∵离心率为，∴，∴，‎ 又点是抛物线的焦点，‎ ‎∴，∴椭圆C的方程为.‎ ‎(2)∵，∴四边形OANB为平行四边形，‎ 当直线的斜率不存在时，显然不符合题意；‎ 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，‎ 直线与椭圆于、两点，‎ 由.‎ 由.‎ ‎，，‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎，‎ 令，则（由上式知），‎ ‎∴，‎ 当且仅当，即时取等号，‎ ‎∴当时，平行四边形OANB的面积最大值为2.‎ 此时直线的方程为.‎