2018-2019学年四川省蓉城名校联盟高一下学期期末数学（文）试题（解析版） 15页

‎2018-2019学年四川省蓉城名校联盟高一下学期期末数学（文）试题 一、单选题 ‎1．已知数列满足，，，则的值为（ ）‎ A．12 B．15 C．39 D．42‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据等差数列的定义可得数列为等差数列，求出通项公式即可。‎ ‎【详解】‎ 由题意得 所以为等差数列，，，选择B ‎【点睛】‎ 本题主要考查了判断是否为等差数列以及等差数列通项的求法，属于基础题。‎ ‎2．设集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】首先解不等式，再求即可。‎ ‎【详解】‎ 因为集合，所以.所以选择C ‎【点睛】‎ 本题主要考查了解一元二次不等式以及求交集，属于基础题。‎ ‎3．已知函数，则函数的最小正周期为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据二倍角公式先化简，再根据即可。‎ ‎【详解】‎ 由题意得，所以周期为.所以选择D ‎【点睛】‎ 本题主要考查了二倍角公式;常考的二倍角公式有正弦、余弦、正切。属于基础题。‎ ‎4．已知为直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）‎ A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 ‎【答案】C ‎【解析】利用直线与平面平行、垂直的判断即可。‎ ‎【详解】‎ 对于A. 若，，则或，所以A错对于B.若，，则，应该为，所以B错对于D.若，，则或，所以D错。所以选择C ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线与平面垂直和直线与平面平行的性质。属于基础题。‎ ‎5．已知等差数列中，，，则的值为（ ）‎ A．51 B．34 C．64 D．512‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据等差数列性质;若，则即可。‎ ‎【详解】‎ 因为为等差数列，所以，，所以选择A ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等差数列比较重要的一个性质；在等差数列中若，则，属于基础题。‎ ‎6．已知正方体中，、分别为，的中点，则异面直线 和所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】连接, 则，所以为所求的角。‎ ‎【详解】‎ 连结，，因为、分别为，的中点，所以，则为所求的角，设正方体棱长为1，则，，，三角形AD1B为直角三角形，,选择A ‎【点睛】‎ 本题主要考查了异面直线所成的夹角;求异面直线的夹角，通常把其中一条直线平移到和另外一条直线相交即得异面直线所成的角。属于中等题。‎ ‎7．下列表达式正确的是（ ）‎ ‎①， ②若，则 ‎③若，则 ④若，则 A．①② B．②③ C．①③ D．③④‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据基本不等式、不等式的性质即可 ‎【详解】‎ 对于①，.当，即时取，而，.即①不成立。‎ 对于②若，则，若，显然不成立。‎ 对于③若，则，则正确。‎ 对于④若，则，则，正确。‎ 所以选择D ‎【点睛】‎ 本题主要考查了基本不等式以及不等式的性质，基本不等式一定要满足一正二定三相等。属于中等题。‎ ‎8．已知网格纸的各个小格均是边长为一个单位的正方形，一个几何体的三视图如图中粗线所示，则该几何体的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据三视图还原几何体即可。‎ ‎【详解】‎ 由三视图可知，该几何体为一个圆柱内切了一个圆锥，圆锥侧面积为，圆柱上底面积为，圆柱侧面积为，。所以选择B ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三视图，根据三视图还原几何体常用的方法有：在正方体或者长方体中切割。属于中等题。‎ ‎9．在中，，，成等差数列，，则的形状为（ ）‎ A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 ‎【答案】B ‎【解析】根据等差中项以及余弦定理即可。‎ ‎【详解】‎ 因为，，成等差数列，得 为直角三角形为等腰直角三角形，所以选择B ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等差中项和余弦定理，若为等差数列，则，属于基础题。‎ ‎10．设等比数列的前项和为，若，则（ ）‎ A． B．2 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据等比数列前项和为带入即可。‎ ‎【详解】‎ 当时，不成立。当时 ‎，‎ 则,选择C ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等比数列的前项和，，属于基础题。‎ ‎11．已知向量，且为正实数，若满足，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据向量的数量积结合基本不等式即可。‎ ‎【详解】‎ 由题意得，因为，为正实数，则 当且仅当时取等。所以选择A ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量的数量积以及基本不等式，在用基本不等式时要满足一正二定三相等。属于中等题 ‎12．已知函数，在中，内角的对边分别是，内角满足，若，则的周长的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】首先根据降幂公式以及辅助角公式化简，把带入利用余弦定理以及基本不等式即可。‎ ‎【详解】‎ 由题意得 ‎，为三角形内角所以，所以，因为，所以，，当且仅当时取等号 ，因为，所以，所以选择B ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的化简，以及余弦定理和基本不等式。在化简的过程中常用到的公式有辅助角、二倍角、两角和与差的正弦、余弦等。属于中等题。‎ 二、填空题 ‎13．已知中内角的对边分别是，，，，则为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据正弦定理即可。‎ ‎【详解】‎ 因为，，；所以，由正弦定理可得 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理：,属于基础题。‎ ‎14．已知数列满足，，则______．‎ ‎【答案】1023‎ ‎【解析】根据等比数列的定义以及前项和公式即可。‎ ‎【详解】‎ 因为所以，所以为首先为1 公比为2的等比数列，所以 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等比数列的前项和：属于基础题。‎ ‎15．已知函数的定义域为，则实数的取值范围为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据对数的真数对于0，再结合不等式即可解决。‎ ‎【详解】‎ 函数的定义域为等价于对于任意的实数，恒成立 当时成立 当时，等价于 综上可得 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的定义域以及不等式恒成立的问题，函数的定义域常考的由 ‎1、，2、，3、。属于基础题。‎ ‎16．已知圆锥如图所示，底面半径为，母线长为，则此圆锥的外接球的表面积为___．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据圆锥的底面和外接球的截面性质可得外接球的球心在上，再根据勾股定理可得求的半径。‎ ‎【详解】‎ 由圆锥的底面和外接球的截面性质可得外接球的球心在上，设球心为，球的半径为，则，圆，因为 , 所以，所以，，则有.解得，则.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了几何体的外接球，关键是会找到球心求出半径，通常结合勾股定理求。属于难题。‎ 三、解答题 ‎17．已知等差数列满足，且.‎ ‎（1）求数列的通项；‎ ‎（2）求数列的前项和的最大值.‎ ‎【答案】（1）（2）144‎ ‎【解析】（1）把带入通项式即可求出公差，从而求出通项。‎ ‎（2）根据（1）的结果以及等差数列前项和公式即可。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设公差为，则 则 则 ‎（2）由等差数列求和公式得 则 所以当时，有最大值144‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等差数列的通项以及等差数列的前和公式，属于基础题 ‎18．设函数.‎ ‎（1）求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）当时，求函数的值域.‎ ‎【答案】（1）函数递增区间为，（2）‎ ‎【解析】（1）化简，再根据正弦函数的单调增区间即可。‎ ‎（2）根据（1）的结果，再根据求出 的范围结合图像即可。‎ ‎【详解】‎ 解：（1）‎ 由，‎ 则函数递增区间为，‎ ‎（2）由，得 则 则，即值域为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的性质，常考三角函数的性质有：对称轴、单调性、最值、对称中心。属于中等题。‎ ‎19．已知三棱柱（如图所示），底面为边长为2的正三角形，侧棱底面，，为的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若为的中点，求证：平面；‎ ‎（3）求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析（3）‎ ‎【解析】（1）在平面找一条直线平行即可。‎ ‎（2）在平面内找两条相交直线垂直即可。‎ ‎（3）三棱锥即可 ‎【详解】‎ ‎（1）连接，‎ 因为直棱柱，则为矩形，则为的中点 连接，在中，为中位线，则 平面 ‎（2）连接，底面底面 底面 ①‎ 为正边的中点 ②‎ 由①②及平面 ‎（3）因为 ‎ 取的中点，连接，则平面，即为高，‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线与平面平行，直线与平面垂直的证明，以及三棱锥的体积公式，证明直线与平面平行往往转化成证明直线与直线平行。属于中等题。‎ ‎20．已知数列的前项和为，点在函数的图像上.‎ ‎（1）求数列的通项；‎ ‎（2）设数列，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】（1）把点带入即可 ‎（2）根据（1）的结果利用错位相减即可。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）把点带入得，‎ 则时，‎ 时，‎ 经验证，也满足，‎ 所以 ‎（2）由（1）得，所以 则①‎ ‎②‎ ‎①②得 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了数列通项的求法，以及数列前项和的方法。求数列通项常用的方法有：累加法、累乘法、定义法、配凑法等。求数列前项和常用的方法有：错位相减、裂项相消、公式法、分组求和等。属于中等题。‎ ‎21．在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为的矩形区域（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排宽的绿化，绿化造价为200元/，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/.设矩形的长为.‎ ‎（1）设总造价（元）表示为长度的函数；‎ ‎（2）当取何值时，总造价最低，并求出最低总造价.‎ ‎【答案】（1），（2）当时，总造价最低为元 ‎【解析】（1）根据题意得矩形的长为，则矩形的宽为，中间区域的长为，宽为列出函数即可。‎ ‎（2）根据（1）的结果利用基本不等式即可。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由矩形的长为，则矩形的宽为，‎ 则中间区域的长为，宽为，则定义域为 则 整理得，‎ ‎（2）‎ 当且仅当时取等号，即 所以当时，总造价最低为元 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的表示方法，以及基本不等式的应用。在利用基本不等式时保证一正二定三相等，属于中等题。‎ ‎22．已知函数，且的解集为.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）解关于的不等式，；‎ ‎（3）设，若对于任意的都有，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）（2）答案不唯一，具体见解析（3）1‎ ‎【解析】（1）根据韦达定理即可。‎ ‎（2）分别对三种情况进行讨论。‎ ‎（3）带入，分别对时三种情况讨论。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）的解集为可得1，2是方程的两根，‎ 则，‎ ‎（2）‎ 时，‎ 时，‎ 时，‎ ‎（3），为上的奇函数 当时，‎ 当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减，且时，，在时，取得最大值，即；‎ 当时，，则函数在上单调递减，在上单调递减，且时，，在时，取得最小值，即；‎ 对于任意的都有则等价于 或（）‎ 则的最小值为1‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了含参数的一元二次不等式，以及绝对值不等式，在解决含参数的不等式时首先要对参数进行讨论。本题属于难题。‎