2019届二轮复习（文）第八章立体几何初步第4节课件（35张）（全国通用） 35页

第 4 节　直线、平面平行的判定及其性质 最新考纲　 1. 以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理； 2. 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题 . 1. 直线与平面平行 ( 1) 直线与平面平行的定义 直线 l 与平面 α 没有公共点，则称直线 l 与平面 α 平行 . 知 识 梳 理 (2) 判定定理与性质定理 一条直线与此平面内的一条直线   文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 平面 外 平行 ，则该直线平行于此平面 a ⊄ α ， b ⊂ α ， a ∥ b ⇒ a ∥ α 性质定理 一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面 的 与 该直线平行 a ∥ α ， a ⊂ β ， α ∩ β ＝ b ⇒ a ∥ b 交线 2. 平面与平面平行 ( 1) 平面与平面平行的定义 没有 公共点的两个平面叫做平行平面 . (2) 判定定理与性质定理   文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 一个平面内的两 条 与 另一个平面平行，则这两个平面平行 a ⊂ α ， b ⊂ α ， a ∩ b ＝ P ， a ∥ β ， b ∥ β ⇒ α ∥ β 性质定理 两个平面平行，则其中一个平面内的 直线 于 另一个平面 α ∥ β ， a ⊂ α ⇒ a ∥ β 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们 的 平行 α ∥ β ， α ∩ γ ＝ a ， β ∩ γ ＝ b ⇒ a ∥ b 相交直线 平行 交线 [ 常用结论与微点提醒 ] 1. 平行关系中的两个重要结论 ( 1) 垂直于同一条直线的两个平面平行，即若 a ⊥ α ， a ⊥ β ，则 α ∥ β . ( 2) 平行于同一平面的两个平面平行，即若 α ∥ β ， β ∥ γ ，则 α ∥ γ . 2. 线线、线面、面面平行间的转化 1. 思考辨析 ( 在括号内打 “√” 或 “×”) (1) 若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 .( 　　 ) (2) 若直线 a ∥ 平面 α ， P ∈ α ，则过点 P 且平行于直线 a 的直线有无数条 .( 　　 ) (3) 如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行 .( 　　 ) (4) 如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面 .( 　　 ) 诊 断 自 测 解析　 (1) 若一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行或在平面内，故 (1) 错误 . (2) 若 a ∥ α ， P ∈ α ，则过点 P 且平行于 a 的直线只有一条，故 (2) 错误 . (3) 如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行或相交，故 (3) 错误 . 答案　 (1)× 　 (2)× 　 (3)× 　 (4)√ 2. ( 必修 2P61A 组 T1(1) 改编 ) 下列命题中正确的是 ( 　　 ) A . 若 a ， b 是两条直线，且 a ∥ b ，那么 a 平行于经过 b 的任何平面 B . 若直线 a 和平面 α 满足 a ∥ α ，那么 a 与 α 内的任何直线平行 C . 平行于同一条直线的两个平面平行 D . 若直线 a ， b 和平面 α 满足 a ∥ b ， a ∥ α ， b ⊄ α ，则 b ∥ α 解析 　根据线面平行的判定与性质定理知，选 D. 答案 　 D 3. 设 α ， β 是两个不同的平面， m 是直线且 m ⊂ α .“ m ∥ β ” 是 “ α ∥ β ” 的 ( 　　 ) A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件 解析 　当 m ∥ β 时，可能 α ∥ β ，也可能 α 与 β 相交 . 当 α ∥ β 时，由 m ⊂ α 可知， m ∥ β . ∴ “ m ∥ β ” 是 “ α ∥ β ” 的必要不充分条件 . 答案 　 B 4. (2018· 长沙模拟 ) 已知 m ， n 是两条不同的直线， α ， β ， γ 是三个不同的平面，则下列命题中正确的是 ( 　　 ) A. m ∥ α ， n ∥ α ，则 m ∥ n B. m ∥ n ， m ∥ α ，则 n ∥ α C. m ⊥ α ， m ⊥ β ，则 α ∥ β D. α ⊥ γ ， β ⊥ γ ，则 α ∥ β 解析 　 A 中， m 与 n 平行、相交或异面， A 不正确； B 中， n ∥ α 或 n ⊂ α ， B 不正确；根据线面垂直的性质， C 正确； D 中， α ∥ β 或 α 与 β 相交于一条直线， D 错 . 答案 　 C 5. ( 必修 2P56 练习 2 改编 ) 如图，正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中， E 为 DD 1 的中点，则 BD 1 与平面 AEC 的位置关系为 ________. 解析　 连接 BD ，设 BD ∩ AC ＝ O ，连接 EO ，在 △ BDD 1 中， O 为 BD 的中点， E 为 DD 1 的中点，所以 EO 为 △ BDD 1 的中位线，则 BD 1 ∥ EO ，而 BD 1 ⊄ 平面 ACE ， EO ⊂ 平面 ACE ，所以 BD 1 ∥ 平面 ACE . 答案　 平行 考点一　与线、面平行相关命题的判定 【例 1 】 (1) (2018· 成都诊断 ) 已知 m ， n 是空间中两条不同的直线， α ， β 是两个不同的平面，且 m ⊂ α ， n ⊂ β . 有下列命题： ① 若 α ∥ β ，则 m ∥ n ； ② 若 α ∥ β ，则 m ∥ β ； ③ 若 α ∩ β ＝ l ，且 m ⊥ l ， n ⊥ l ，则 α ⊥ β ； ④ 若 α ∩ β ＝ l ，且 m ⊥ l ， m ⊥ n ，则 α ⊥ β . 其中 真命题的个数是 ( 　　 ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析　 (1) ① 若 α ∥ β ，则 m ∥ n 或 m ， n 异面，不正确； ② 若 α ∥ β ，根据平面与平面平行的性质，可得 m ∥ β ，正确； ③ 若 α ∩ β ＝ l ，且 m ⊥ l ， n ⊥ l ，则 α 与 β 不一定垂直，不正确； ④ 若 α ∩ β ＝ l ，且 m ⊥ l ， m ⊥ n ， l 与 n 不一定相交，不能推出 α ⊥ β ，不正确 . (2) 如图，对于 ① ，连接 MN ， AC ，则 MN ∥ AC ，连接 AM ， CN ， 易得 AM ， CN 交于点 P ，即 MN ⊂ 面 APC ，所以 MN ∥ 面 APC 是错误的 . 对于 ② ，由 ① 知 M ， N 在平面 APC 内，由题易知 AN ∥ C 1 Q ，且 AN ⊂ 平面 APC ， C 1 Q ⊄ 平面 APC . 所以 C 1 Q ∥ 面 APC 是正确的 . 对于 ③ ，由 ① 知， A ， P ， M 三点共线是正确的 . 对于 ④ ，由 ① 知 MN ⊂ 面 APC ，又 MN ⊂ 面 MNQ ，所以面 MNQ ∥ 面 APC 是错误的 . 答案　 (1)B 　 (2) ②③ 规律方法　 1. 判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项 . 2.(1) 结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断 . (2) 特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确 . 【训练 1 】 (1) 设 m ， n 是不同的直线， α ， β 是不同的平面，且 m ， n ⊂ α ，则 “ α ∥ β ” 是 “ m ∥ β 且 n ∥ β ” 的 ( 　　 ) A . 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 ( 2) (2016· 全国 Ⅱ 卷 ) α ， β 是两个平面， m ， n 是两条直线，有下列四个命题： ① 如果 m ⊥ n ， m ⊥ α ， n ∥ β ，那么 α ⊥ β . ② 如果 m ⊥ α ， n ∥ α ，那么 m ⊥ n . ③ 如果 α ∥ β ， m ⊂ α ，那么 m ∥ β . ④ 如果 m ∥ n ， α ∥ β ，那么 m 与 α 所成的角和 n 与 β 所成的角相等 . 其中 正确的命题有 ________( 填写所有正确命题的编号 ). 解析　 (1) 若 m ， n ⊂ α ， α ∥ β ，则 m ∥ β 且 n ∥ β ；反之若 m ， n ⊂ α ， m ∥ β 且 n ∥ β ，则 α 与 β 相交或平行，即 “ α ∥ β ” 是 “ m ∥ β 且 n ∥ β ” 的充分不必要条件 . (2) 当 m ⊥ n ， m ⊥ α ， n ∥ β 时，两个平面的位置关系不确定，故 ① 错误，经判断知 ②③④ 均正确，故正确答案为 ②③④ . 答案　 (1)A 　 (2) ②③④ 考点二　直线与平面平行的判定与性质 ( 多维探究 ) 命题角度 1 　直线与平面平行的判定 【例 2 － 1 】 (2016· 全国 Ⅲ 卷 ) 如图，四棱锥 P － ABCD 中， PA ⊥ 底面 ABCD ， AD ∥ BC ， AB ＝ AD ＝ AC ＝ 3 ， PA ＝ BC ＝ 4 ， M 为线段 AD 上一点， AM ＝ 2 MD ， N 为 PC 的中点 . (1) 证明： MN ∥ 平面 PAB ； (2) 求四面体 N － BCM 的体积 . 又 AD ∥ BC ，故 TN 綉 AM ， 所以 四边形 AMNT 为平行四边形，于是 MN ∥ AT . 因为 AT ⊂ 平面 PAB ， MN ⊄ 平面 PAB ， 所以 MN ∥ 平面 PAB . (2) 解 　因为 PA ⊥ 平面 ABCD ， N 为 PC 的中点， 命题角度 2 　直线与平面平行性质定理的应用 【例 2 － 2 】 (2018· 青岛质检 ) 如图，五面体 ABCDE ，四边形 ABDE 是矩形， △ ABC 是正三角形， AB ＝ 1 ， AE ＝ 2 ， F 是线段 BC 上一点，直线 BC 与平面 ABD 所成角为 30° ， CE ∥ 平面 ADF . ( 1) 试确定 F 的位置； ( 2) 求三棱锥 A － CDF 的体积 . 解 　 (1 ) 连接 BE 交 AD 于点 O ，连接 OF ， ∵ CE ∥ 平面 ADF ， CE ⊂ 平面 BEC ，平面 ADF ∩ 平面 BEC ＝ OF ， ∴ CE ∥ OF . ∵ O 是 BE 的中点， ∴ F 是 BC 的中点 . (2) ∵ BC 与平面 ABD 所成角为 30° ， BC ＝ AB ＝ 1 ， 规律方法　 1. 利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线 . 常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线 . 2. 在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从 “ 低维 ” 到 “ 高维 ” 的转化，即从 “ 线线平行 ” 到 “ 线面平行 ” ，再到 “ 面面平行 ” ；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反 . 【训练 2 】 (2017· 江苏卷 ) 如图，在三棱锥 A － BCD 中， AB ⊥ AD ， BC ⊥ BD ，平面 ABD ⊥ 平面 BCD ，点 E ， F ( E 与 A ， D 不重合 ) 分别在棱 AD ， BD 上，且 EF ⊥ AD . 求证： (1) EF ∥ 平面 ABC ； (2) AD ⊥ AC . 证明　 (1) 在平面 ABD 内， AB ⊥ AD ， EF ⊥ AD ，则 AB ∥ EF . ∵ AB ⊂ 平面 ABC ， EF ⊄ 平面 ABC ， ∴ EF ∥ 平面 ABC . (2) ∵ BC ⊥ BD ，平面 ABD ∩ 平面 BCD ＝ BD ，平面 ABD ⊥ 平面 BCD ， BC ⊂ 平面 BCD ， ∴ BC ⊥ 平面 ABD . ∵ AD ⊂ 平面 ABD ， ∴ BC ⊥ AD . 又 AB ⊥ AD ， BC ， AB ⊂ 平面 ABC ， BC ∩ AB ＝ B ， ∴ AD ⊥ 平面 ABC ， 又因为 AC ⊂ 平面 ABC ， ∴ AD ⊥ AC . 考点三　面面平行的判定与性质 ( 典例迁移 ) 【例 3 】 ( 经典母题 ) 如图所示，在三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 中， E ， F ， G ， H 分别是 AB ， AC ， A 1 B 1 ， A 1 C 1 的中点，求证： (1) B ， C ， H ， G 四点共面； (2) 平面 EFA 1 ∥ 平面 BCHG . 证明 　 (1) ∵ G ， H 分别是 A 1 B 1 ， A 1 C 1 的中点， ∴ GH 是 △ A 1 B 1 C 1 的中位线，则 GH ∥ B 1 C 1 . 又 ∵ B 1 C 1 ∥ BC ， ∴ GH ∥ BC ， ∴ B ， C ， H ， G 四点共面 . (2) ∵ E ， F 分别为 AB ， AC 的中点， ∴ EF ∥ BC ， ∵ EF ⊄ 平面 BCHG ， BC ⊂ 平面 BCHG ， ∴ EF ∥ 平面 BCHG . 又 G ， E 分别为 A 1 B 1 ， AB 的中点， A 1 B 1 綉 AB ， ∴ A 1 G 綉 EB ， ∴ 四边形 A 1 EBG 是平行四边形， ∴ A 1 E ∥ GB . ∵ A 1 E ⊄ 平面 BCHG ， GB ⊂ 平面 BCHG ， ∴ A 1 E ∥ 平面 BCHG . 又 ∵ A 1 E ∩ EF ＝ E ， ∴ 平面 EFA 1 ∥ 平面 BCHG . 【迁移探究 1 】 在本例中，若将条件 “ E ， F ， G ， H 分别是 AB ， AC ， A 1 B 1 ， A 1 C 1 的中点 ” 变为 “ D 1 ， D 分别为 B 1 C 1 ， BC 的中点 ” ，求证：平面 A 1 BD 1 ∥ 平面 AC 1 D . 证明 　如图所示，连接 A 1 C 交 AC 1 于点 M ， ∵ 四边形 A 1 ACC 1 是平行四边形， ∴ M 是 A 1 C 的中点，连接 MD ， ∵ D 为 BC 的中点， ∴ A 1 B ∥ DM . ∵ A 1 B ⊂ 平面 A 1 BD 1 ， DM ⊄ 平面 A 1 BD 1 ， ∴ DM ∥ 平面 A 1 BD 1 ， 又由三棱柱的性质知， D 1 C 1 綉 BD ， ∴ 四边形 BDC 1 D 1 为平行四边形， ∴ DC 1 ∥ BD 1 . 又 DC 1 ⊄ 平面 A 1 BD 1 ， BD 1 ⊂ 平面 A 1 BD 1 ， ∴ DC 1 ∥ 平面 A 1 BD 1 ， 又 DC 1 ∩ DMD ， DC 1 ， DM ⊂ 平面 AC 1 D ， 因此平面 A 1 BD 1 ∥ 平面 AC 1 D . 解 　 连接 A 1 B 交 AB 1 于 O ，连接 OD 1 . 由平面 BC 1 D ∥ 平面 AB 1 D 1 ， 且 平面 A 1 BC 1 ∩ 平面 BC 1 D ＝ BC 1 ，平面 A 1 BC 1 ∩ 平面 AB 1 D 1 ＝ D 1 O ， 规律方法 　 1. 判定面面平行的主要方法 (1) 利用面面平行的判定定理 . (2) 线面垂直的性质 ( 垂直于同一直线的两平面平行 ). 2. 面面平行条件的应用 (1) 两平面平行，分析构造与之相交的第三个平面，交线平行 . (2) 两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行 . 提醒　 利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明是在一个平面内的两条直线是相交直线 . 【训练 3 】 (2018· 东北三省四校联考 ) 如图，在三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 中， AA 1 ⊥ 底面 ABC ， AB ⊥ AC ， AC ＝ AA 1 ， E ， F 分别是棱 BC ， CC 1 的中点 . (1) 若线段 AC 上存在点 D 满足平面 DEF ∥ 平面 ABC 1 ，试确定点 D 的位置，并说明理由； (2) 证明： EF ⊥ A 1 C . (1) 解　 点 D 是 AC 的中点，理由如下： ∵ 平面 DEF ∥ 平面 ABC 1 ，平面 ABC ∩ 平面 DEF ＝ DE ，平面 ABC ∩ 平面 ABC 1 ＝ AB ， ∴ AB ∥ DE ， ∵ 在 △ ABC 中， E 是 BC 的中点 ， ∴ D 是 AC 的中点 . (2) 证明 　 ∵ 三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 中， AC ＝ AA 1 ， ∴ 四边形 A 1 ACC 1 是菱形， ∴ A 1 C ⊥ AC 1 . ∵ AA 1 ⊥ 底面 ABC ， AB ⊂ 平面 ABC ， ∴ AA 1 ⊥ AB ， 又 AB ⊥ AC ， AA 1 ∩ AC ＝ A ， ∴ AB ⊥ 平面 AA 1 C 1 C ， ∵ A 1 C ⊂ 平面 AA 1 C 1 C ， ∴ AB ⊥ A 1 C . 又 AB ∩ AC 1 ＝ A ，从而 A 1 C ⊥ 平面 ABC 1 ，又 BC 1 ⊂ 平面 ABC 1 ， ∴ A 1 C ⊥ BC 1 . 又 ∵ E ， F 分别是 BC ， CC 1 的中点 ， ∴ EF ∥ BC 1 ，从而 EF ⊥ A 1 C .