高中数学 1_3_2 函数的极值与导数同步练习 新人教A版选修2-2 7页

选修2-2 ‎1.3.2‎ 函数的极值与导数 一、选择题 ‎1．已知函数f(x)在点x0处连续，下列命题中，正确的是(　　)‎ A．导数为零的点一定是极值点 B．如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极小值 C．如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值 D．如果在点x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极大值 ‎[答案]　C ‎[解析]　导数为0的点不一定是极值点，例如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)的极值点，故A错；由极值的定义可知C正确，故应选C.‎ ‎2．函数y＝1＋3x－x3有(　　)‎ A．极小值－2，极大值2‎ B．极小值－2，极大值3‎ C．极小值－1，极大值1‎ D．极小值－1，极大值3‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　y′＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)‎ 令y′＝0，解得x1＝－1，x2＝1‎ 当x<－1时，y′<0，函数y＝1＋3x－x3是减函数，‎ 当－10，函数y＝1＋3x－x3是增函数，‎ 当x>1时，y′<0，函数y＝1＋3x－x3是减函数，‎ ‎∴当x＝－1时，函数有极小值，y极小＝－1.‎ 当x＝1时，函数有极大值，y极大＝3.‎ ‎3．设x0为f(x)的极值点，则下列说法正确的是(　　)‎ A．必有f′(x0)＝0‎ B．f′(x0)不存在 C．f′(x0)＝0或f′(x0)不存在 D．f′(x0)存在但可能不为0‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　如：y＝|x|，在x＝0时取得极小值，但f′(0)不存在．‎ ‎4．对于可导函数，有一点两侧的导数值异号是这一点为极值的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎[答案]　C ‎[解析]　只有这一点导数值为0，且两侧导数值异号才是充要条件．‎ ‎5．对于函数f(x)＝x3－3x2，给出命题：‎ ‎①f(x)是增函数，无极值；‎ ‎②f(x)是减函数，无极值；‎ ‎③f(x)的递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，递减区间为(0,2)；‎ ‎④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值．‎ 其中正确的命题有(　　)‎ A．1个　　　　　　　　 B．2个 C．3个 D．4个 ‎[答案]　B ‎[解析]　f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)>0，得x>2或x<0，令f′(x)<0，得01时，y′>0，‎ 当x<1时，y′>0，‎ ‎∴函数无极值，故应选D.‎ ‎9．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则函数f(x)的极值是(　　)‎ A．极大值为，极小值为0‎ B．极大值为0，极小值为 C．极大值为0，极小值为－ D．极大值为－，极小值为0‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　由题意得，f(1)＝0，∴p＋q＝1①‎ f′(1)＝0，∴2p＋q＝3②‎ 由①②得p＝2，q＝－1.‎ ‎∴f(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1‎ ‎＝(3x－1)(x－1)，‎ 令f′(x)＝0，得x＝或x＝1，极大值f＝，极小值f(1)＝0.‎ ‎10．下列函数中，x＝0是极值点的是(　　)‎ A．y＝－x3 B．y＝cos2x C．y＝tanx－x D．y＝ ‎[答案]　B ‎[解析]　y＝cos2x＝，y′＝－sin2x，‎ x＝0是y′＝0的根且在x＝0附近，y′左正右负，‎ ‎∴x＝0是函数的极大值点．‎ 二、填空题 ‎11．函数y＝的极大值为______，极小值为______．‎ ‎[答案]　1 －1‎ ‎[解析]　y′＝，‎ 令y′>0得－11或x<－1，‎ ‎∴当x＝－1时，取极小值－1，当x＝1时，取极大值1.‎ ‎12．函数y＝x3－6x＋a的极大值为____________，极小值为____________．‎ ‎[答案]　a＋‎4‎　a－4 ‎[解析]　y′＝3x2－6＝3(x＋)(x－)，‎ 令y′>0，得x>或x<－，‎ 令y′<0，得－0)，且方程f′(x)－9x＝0的两个根分别为1,4.‎ ‎(1)当a＝3且曲线y＝f(x)过原点时，求f(x)的解析式；‎ ‎(2)若f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点，求a的取值范围．‎ ‎[解析]　本题考查了函数与导函数的综合应用．‎ 由f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d得f′(x)＝ax2＋2bx＋c ‎∵f′(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的两根为1,4.‎ ‎(1)当a＝3时，由(*)式得，‎ 解得b＝－3，c＝12.‎ 又∵曲线y＝f(x)过原点，∴d＝0.‎ 故f(x)＝x3－3x2＋12x.‎ ‎(2)由于a>0，所以“f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f ′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”‎ 由(*)式得2b＝9－5a，c＝4a.‎ 又∵Δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9)‎ 解得a∈[1,9]，‎ 即a的取值范围[1,9]．‎