2018-2019学年黑龙江省牡丹江市第一高级中学高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版） 17页

‎2018-2019学年黑龙江省牡丹江市第一高级中学高二上学期期末考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．复数的虚部是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】分子分母同乘以分母的共轭复数3﹣4i可化简复数，由复数的定义可得其虚部．‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎，‎ 故复数的虚部为：，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数的代数形式的除法运算及基本概念，属基础题．‎ ‎2．某大学共有本科生人，其中一、二、三、四年级的人数比为4∶3∶2∶1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为的样本，则应抽取三年级的学生人数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为200的样本，根据一、二、三、四年级的学生比为4：3：2：1，利用三年级的所占的比例数除以所有比例数的和再乘以样本容量即得抽取三年级的学生人数．‎ ‎【详解】‎ ‎∵要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为200的样本，‎ 一、二、三、四年级的学生比为4：3：2：1，‎ ‎∴三年级要抽取的学生是 40，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．‎ ‎3．以下是某赛季甲．乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲．乙两人这几场比赛得分的中位数之和是 （ ）‎ A．62 B．63 C．64 D．65‎ ‎【答案】C ‎【解析】由茎叶图知：甲这几场比赛得分的中位数为：28，乙这几场比赛得分的中位数为：36，由此能求出甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和．‎ ‎【详解】‎ 由茎叶图知：‎ 甲这几场比赛得分的中位数为：28，‎ 乙这几场比赛得分的中位数为：36，‎ ‎∴甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是：‎ ‎28+36＝64．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两组数据的中位数之和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意茎叶图的合理运用．‎ ‎4．对变量x, y 有观测数据理力争（，）（i=1,2,…，10），得散点图1；对变量u ，v 有观测数据（，）（i=1,2,…，10）,得散点图2. 由这两个散点图可以判断。‎ A．变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 B．变量x 与y 正相关，u 与v 负相关 C．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 D．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关 ‎【答案】C ‎【解析】变量x 与中y随x增大而减小，为负相关；u 与v中，u 随v的增大而增大，为正相关。‎ ‎5．同时掷两个骰子,向上点数和为5的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意，用列表的方法列举所有可能的情况，进而由表可得所有的情况数目与向上点数和为5的情况数目，由等可能事件的概率公式计算可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，列表得：‎ ‎ （1，6）‎ ‎ （2，6）‎ ‎（3，6）‎ ‎（4，6）‎ ‎（5，6）‎ ‎（6，6）‎ ‎ （1，5）‎ ‎ （2，5）‎ ‎ （3，5）‎ ‎ （4，5）‎ ‎ （5，5）‎ ‎ （6，5）‎ ‎ （1，4）‎ ‎ （2，4）‎ ‎ （3，4）‎ ‎ （4，4）‎ ‎ （5，4）‎ ‎ （6，4）‎ ‎ （1，3）‎ ‎ （2，3）‎ ‎ （3，3）‎ ‎ （4，3）‎ ‎ （5，3）‎ ‎ （6，3）‎ ‎ （1，2）‎ ‎ （2，2）‎ ‎ （3，2）‎ ‎ （4，2）‎ ‎ （5，2）‎ ‎ （6，2）‎ ‎ （1，1）‎ ‎ （2，1）‎ ‎ （3，1）‎ ‎ （4，1）‎ ‎ （5，1）‎ ‎ （6，1）‎ 由表可得：共有36种等可能的情况，向上的点数之和是5的情况有4种，‎ 则两个骰子向上的一面的点数和为5的概率为 ．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等可能事件的概率计算，涉及列举法求等可能事件的概率，注意按一定的顺序列举，做到不重不漏．‎ ‎6．在建立两个变量Y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合得最好的模型是 ( )‎ A．模型1的相关指数R2为0.98 B．模型2的相关指数R2为0.80‎ C．模型3的相关指数R2为0.50 D．模型4的相关指数R2为0.25‎ ‎【答案】A ‎【解析】解：因为回归模型中拟合效果的好不好，就看相关指数是否是越接近于1，月接近于1，则效果越好。选A ‎7．宋元时期数学名著《算数启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等. 如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的分别为，则输出的（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由程序框图可得， 时， ，继续循环； 时， ，继续循环； 时， ， 继续循环；结束输出.‎ 点睛：‎ 循环结构的考查是高考热点，有时会问输出结果，或是判断框的条件是什么，这类问题容易错在审题不清，计数变量加错了，没有理解计数变量是在计算结果之前还是计算结果之后，最后循环进来的数是什么等问题，防止出错的最好的办法是按顺序结构写出每一个循环，这样就会很好的防止出错.‎ ‎8．若直线始终平分圆的周长，则的值为（ ）‎ A． B． C．或 D．或 ‎【答案】B ‎【解析】根据题意，由圆的方程分析圆心与半径，又由直线ax+y＝0始终平分圆x2+y2﹣2ax+2ay+2a2+a﹣1＝0的周长，可得直线经过圆心，则有a2﹣a＝0，解可得a的值，验证圆的方程即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，圆x2+y2﹣2ax+2ay+2a2+a﹣1＝0，即（x﹣a）2+（y+a）2＝1﹣a，‎ 其圆心为（a，﹣a），半径r，则有1﹣a＞0，则a＜1；‎ 若直线ax+y＝0始终平分圆x2+y2﹣2ax+2ay+2a2+a﹣1＝0的周长，‎ 则直线经过圆心，则有a2﹣a＝0，‎ 解可得a＝0或1，‎ 又由a＜1；‎ 故a＝0；‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆的位置关系，注意直线平分圆周的含义，属于基础题．‎ ‎9．已知样本数据，则该样本标准差为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先算出平均数，再根据方差公式计算方差，求出其算术平方根即为标准差．‎ ‎【详解】‎ 数据3，5，7，4，6的平均数为（3+5+7+4+6）＝5‎ 方差为S2[（3﹣5）2+（5﹣5）2+（7﹣5）2+（4﹣5）2+（6﹣5）2]＝2‎ ‎∴标准差为 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 计算标准差需要先算出方差，计算方差的步骤是：‎ ‎（1）计算数据的平均数；（2）计算偏差，即每个数据与平均数的差；‎ ‎（3）计算偏差的平方和；（4）偏差的平方和除以数据个数．标准差即方差的算术平方根；‎ 注意标准差和方差一样都是非负数．‎ ‎10．已知点是抛物线上的动点，焦点为，点的坐标是，则的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先根据抛物线方程求出准线方程与焦点坐标，根据点A在抛物线外可得到|PA|+|PF|的最小值为|AF|，再由两点间的距离公式可得答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意可得F（，0 ），∵点A（）在抛物线外，‎ ‎∴根据抛物线的定义可得|PA|+|PF|的最小值为|AF|‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题．‎ ‎11．甲乙丙三位同学独立的解决同一个问题，已知三位同学能够正确解决这个问题的概率分别为，则有人能够解决这个问题的概率为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用相互独立事件的概率乘法公式求出“问题未被解答”的概率，利用对立事件的概率公式得到“问题被解答”的概率．‎ ‎【详解】‎ 此题没有被解答的概率为 （1）（1）（1），‎ 故能够将此题解答出的概率为1，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查相互独立事件的概率乘法公式、互斥事件的概率和公式、对立事件的概率公式；注意正难则反的原则，属于中档题．‎ ‎12．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查为此将他们随机编号为1,2…960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷C的人数为( )‎ A.15 B.10 C.9 D.7‎ ‎【答案】B ‎【解析】用系统抽样方法从960人中抽取32人，可将960人分为32组，每组30个人，由于分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，故编号[1,750]在中共有750÷30＝25组，即做问卷C的有32－25＝7组，故做问卷C的人数为7人，故选D.‎ 二、填空题 ‎13．某妇产医院长期观察新生婴儿的体重，通过样本得到其频率分布直方图如图所示，则由此可预测每名新生婴儿中，体重在的人数大概是_____‎ ‎【答案】3000‎ ‎【解析】由频率分布直方图得体重在（2700，3000]的频率为0.3，由此可预测每10000‎ 名新生婴儿中，体重在（2700，3000]的人数．‎ ‎【详解】‎ 由频率分布直方图得体重在（2700，3000]的频率为0.001×300＝0.3，‎ ‎∴由此可预测每10000名新生婴儿中，‎ 体重在（2700，3000]的人数大概是10000×0.3＝3000．‎ 故答案为：3000．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查频数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．‎ ‎14．设是双曲线上一点, 分别是左右焦点,若,则________‎ ‎【答案】13‎ ‎【解析】根据题意，由双曲线的标准方程分析可得a、c的值，结合双曲线的定义可得||PF1|﹣|PF2||＝2a＝6，计算可得|PF2|分析可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，双曲线，‎ 其中a＝3，c＝6，又由P是双曲线上一点，则有||PF1|﹣|PF2||＝2a＝6，‎ 又由|PF1|＝7，则|PF2|＝1＜c﹣a＝3（舍去）或13，‎ 故答案为：13．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的定义，注意由双曲线的标准方程求出a的值.‎ ‎15．某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm．因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_____cm．‎ ‎【答案】185‎ ‎【解析】设父亲身高为xcm，儿子身高为ycm，则 x ‎ ‎173 ‎ ‎170 ‎ ‎176 ‎ y ‎ ‎170 ‎ ‎176 ‎ ‎182 ‎ ‎＝173，＝176，＝＝1，‎ ‎＝－ ＝176－1×173＝3，‎ ‎∴＝x＋3，当x＝182时，＝185.‎ ‎16．任取两个小于1的正数x、y，若x、y、1能作为三角形的三条边长，则它们能构成钝角三角形三条边长的概率是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求出这三个边正好是钝角三角形的三个边的等价条件，根据几何概型的概率公式，即可得到结论 ‎【详解】‎ 根据题意可得，三边可以构成三角形的条件为：‎ ‎.‎ 这三个边正好是钝角三角形的三个边，应满足以下条件：‎ ‎，对应的区域如图，‎ 由圆面积的为，‎ 直线和区域围成的三角形面积是，‎ 则x、y、1能作为三角形的三条边长，则它们能构成钝角三角形三条边长的概率．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与长度有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总长度以及事件的长度；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.‎ 三、解答题 ‎17．已知曲线的参数方程为为参数）‎ ‎（1）写出曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）求曲线上的点到直线距离的最小值。‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）由曲线C的参数方程能求出曲线C的直角坐标方程．‎ ‎（2）求出曲线C上的点的坐标为（1+cosθ，sinθ），曲线C上的点到直线x+y﹣5＝0距离d，由此能求出曲线C上的点到直线x+y﹣5＝0距离的最小值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵曲线C的参数方程为（θ为参数），‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝1．‎ ‎（2）设曲线C上的点的坐标为（1+cosθ，sinθ），‎ ‎∴曲线C上的点到直线x+y﹣5＝0距离：‎ d，‎ ‎∴当sin（）＝1时，曲线C上的点到直线x+y﹣5＝0距离的最小值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查曲线上的点到直线的距离的最小值的求法，考查直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎18．已知射手甲射击一次，命中9环（含9环）以上的概率为0.56，命中8环的概率为0.22，命中7环的概率为0.12．‎ ‎ 0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎（1）求甲射击一次，命中不足8环的概率；‎ ‎（2）求甲射击一次，至少命中7环的概率.‎ ‎【答案】（1）甲射击一次，命中不足8环的概率是0.22．‎ ‎（2）甲射击一次，至少命中7环的概率为0.9‎ ‎【解析】记“甲射击一次，命中7环以下”为事件A，“甲射击一次，命中7环”为事件B，由于在一次射击中，A与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件．‎ ‎（1）“甲射击一次，命中不足8环”的事件为A+B，由互斥事件的概率加法公式，能求出甲射击一次，命中不足8环的概率．‎ ‎（2）方法1：记“甲射击一次，命中8环”为事件C，“甲射击一次，命中9环（含9环）以上”为事件D，则“甲射击一次，至少命中7环”的事件为B+C+D，由此能求出甲射击一次，至少命中7环的概率．‎ 方法2：“甲射击一次，至少命中7环”为事件，由对立事件的概率求法能求出甲射击一次，至少命中7环的概率．‎ ‎【详解】‎ 记“甲射击一次，命中7环以下”为事件A，则P（A）＝1﹣0.56﹣0.22﹣0.12＝0.1，‎ ‎“甲射击一次，命中7环”为事件B，则P（B）＝0.12，‎ 由于在一次射击中，A与B不可能同时发生，‎ 故A与B是互斥事件，‎ ‎（1）“甲射击一次，命中不足8环”的事件为A+B，‎ 由互斥事件的概率加法公式，‎ P（A+B）＝P（A）+P（B）＝0.1+0.12＝0.22．‎ 答：甲射击一次，命中不足8环的概率是0.22．‎ ‎（2）方法1：记“甲射击一次，命中8环”为事件C，‎ ‎“甲射击一次，命中9环（含9环）以上”为事件D，‎ 则“甲射击一次，至少命中7环”的事件为B+C+D，‎ ‎∴P（B+C+D）＝P（B）+P（C）+P（D）＝0.12+0.22+0.56＝0.9．‎ 答：甲射击一次，至少命中7环的概率为0.9．‎ 方法2：∵“甲射击一次，至少命中7环”为事件，‎ ‎∴1﹣0.1＝0.9．‎ 答：甲射击一次，至少命中7环的概率为0.9．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查概率的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地运用对立事件的概率的求法．‎ ‎19．已知直线．在极坐标系(以原点为极点，以轴正半轴为极轴)中，圆的方程为.‎ ‎（1）写出圆的直角坐标方程； ‎ ‎（2）设圆与直线交于两点，若点的坐标为，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）两边同乘以利用 即可得结果；（2）直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，利用韦达定理、直线参数方程的几何意义及三角函数的有界性可得结果.‎ 试题解析：（1）圆的直角坐标方程： ；‎ ‎（2）直线的参数方程是（为参数）代入圆的直角坐标方程中可得 ‎ ‎，设点所对应的的参数分别为，则，‎ ‎.‎ ‎20．我校为了让高一学生更有效率地利用周六的时间,在高一新生第一次摸底考试后采取周六到校自主学习,同时由班主任老师值班,家长轮流值班.一个月后进行了第一次月考,高一数学教研组通过系统抽样抽取了 名学生,并统计了他们这两次数学考试的优良人数和非优良人数,其中部分统计数据如下:‎ ‎(1)请画出这次调查得到的列联表;并判定能否在犯错误概率不超过的前提下认为周六到校自习对提高学生成绩有效?‎ ‎(2)从这组学生摸底考试中数学优良成绩中和第一次月考的数学非优良成绩中,按分层抽样随机抽取个成绩,再从这个成绩中随机抽取个,求这个成绩来自同一次考试的概率.‎ 下面是临界值表供参考:‎ ‎(参考公式: ,其中 ‎【答案】（1）能（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据总数确定各区间人数，代入卡方公式得，再与参考数据比较判断可靠率（2）先按照分层抽样确定各层次抽取人数，再利用组合数确定事件总数以及对应事件数，最后根据古典概型概率公式求概率 试题解析：(1列联表 随机变量的观测值,因此能在犯错误概率不超过的前提下,认为周六到校自习对提高学生成绩有效;‎ ‎(2)从摸底考试数学优良成绩中抽取个;从第一次月考数学非优良成绩中抽取个,设从这5个成绩成绩来自同一次考试的事件为,则 因此,这2个成绩来自同一次考试的概率是.‎ ‎21．为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛.为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计.请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题：‎ 分组 频数 频率 ‎50.5~60.5‎ ‎4‎ ‎0.08‎ ‎60.5~70.5‎ ‎0.16‎ ‎70.5~80.5‎ ‎10‎ ‎80.5~90.5‎ ‎16‎ ‎0.32‎ ‎90.5~100.5‎ 合计 ‎50‎ ‎（Ⅰ）填充频率分布表的空格(将答案直接填在表格内)；‎ ‎（Ⅱ）补全频数条形图；‎ ‎（Ⅲ）若成绩在75.5~85.5分的学生为二等奖，问获得二等奖的学生约为多少人？‎ ‎【答案】略 ‎【解析】解：(1) ——3分 分组 ‎ 频数 ‎ 频率 ‎ ‎50.5~60.5 ‎ ‎4 ‎ ‎0.08 ‎ ‎60.5~70.5 ‎ ‎8 ‎ ‎0.16 ‎ ‎70.5~80.5 ‎ ‎10 ‎ ‎0.20 ‎ ‎80.5~90.5 ‎ ‎16 ‎ ‎0.32 ‎ ‎90.5~100.5 ‎ ‎12 ‎ ‎0.24 ‎ 合计 ‎ ‎50 ‎ ‎1.00 ‎ ‎ ‎ ‎(2)频率分布直方图如右上所示：——3分 ‎(3)成绩在75.5~80.5分的学生占70.5~80.5分的学生的，因为成绩在70.5~80.5分的学生频率为0.2 ，所以成绩在76.5~80.5分的学生频率为0.1 ，‎ 成绩在80.5~85.5分的学生占80.5~90.5分的学生的，因为成绩在80.5~90.5分的学生频率为0.32 ，所以成绩在80.5~85.5分的学生频率为0.16‎ 所以成绩在76.5~85.5分的学生频率为0.26， ——2分 由于有900名学生参加了这次竞赛，所以该校获得二等奖的学生约为 ‎0.26´900=234（人） ——2分 ‎22．已知为椭圆的左右焦点，点为其上一点，且有 ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）过的直线与椭圆交于两点，过与平行的直线与椭圆交于两点，求四边形的面积的最大值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的最大值为6．‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意知椭圆焦点在 轴，可设其标准方程，由 得，由 在椭圆上可求得 ，即可得椭圆的方程；（2）由四边形 是平行四边形，得 ，设直线，联立直线与椭圆得关于 的一元二次方程，由根与系数的关系可求得 的值，进而得，由 令,由基本不等式得的最大值。‎ ‎（1）设椭圆的标准方程为，‎ 由已知得，∴，‎ 又点在椭圆上，∴，‎ 椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）由题意可知，四边形为平行四边形，∴，‎ 设直线的方程为，且，‎ 由得，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ 令，则，，‎ 又在上单调递增，‎ ‎∴，∴的最大值为，‎ 所以的最大值为.‎