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- 2021-06-15 发布
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康杰中学2017—2018学年度第二学期期中考试
高二数学(理)试题
2018.4
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.是虚数单位,=( )
A. B. C. D.
2. 设若,则=( )
A. B. C. D.
3. 用反证法证明命题:“若,且,则中至少有一个负数”的假设为( )
A. 中至少有一个正数 B. 全都为正数
C. 全都为非负数 D. 中至多有一个负数
4. 已知为函数的极小值点,则=( )
A. -9 B. -2 C. 4 D. 2
5. 函数在[0,2]上的最大值是( )
A. B. C. 0 D.
6. 观察,由归纳推理可得:若定义在R上的函数满足,记为的导函数,则=( )
A. B. - C. D. -
7. 某市教育局人事部门打算将甲、乙、丙、丁4名大学生安排到该市三所不同的学校任教,每校至少安排一人,其中甲、乙不能安排在同一学校,则不同的安排方法种数为( )
A. 18 B. 24 C. 30 D. 36
8. 直线过抛物线的焦点且与轴垂直,则与C所围成的图形的面积等于( )
A. B. 2 C. D.
9. 若函数在上的最大值为,则=( )
A. B. C. D.
10. 若数列是等差数列,,则数列也为等差数列,类比这一性质可知,若是正项等比数列,且也是等比数列,则的表达式应为( )
n
A. B.
n
C. D.
11.在正整数数列中,由1开始依次按如下规则取它的项:第一次取1;第二次取2个连续偶数2,4;第三次取3个连续奇数5,7,9;第四次取4个连续偶数10,12,14,16;第五次取5个连续奇数17,19,21,23,25,按此规律取下去,得到一个子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,19…,则在这个子数中第2014个数是( )
A. 3965 B. 3966 C. 3968 D. 3989
12.若函数在区间(0,2)内有且仅有一个极值点,则的取值范围( )
A. B.
C. D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13. 复数,其中为虚数单位,则的实部为 .
14. 从8名女生和4名男生中抽取3名学生参加某娱乐节目,若按性别进行分层抽样,则不同的抽取方法数为 .
15. 设点P、Q分别是曲线和直线上的动点,则P、Q两点间距离的最小值为 .
16. 有粒球,任意将它们分成两堆,求出两堆球的乘积,再将其中一堆任意分成两堆,求出这两堆球的乘积,如此下去,每次任意将其中一堆分成两堆,求出这两堆球的乘积,直到每堆球都不能再分为止,记所有乘积之和为.例如对4粒有如下两种分解:(4)→(1,3) →(1,1,2) →(1,1,1,1),此时=1×3+1×2+1×1=6; (4)→(2,2) →(1,1,2) →(1,1,1,1),此时=2×2+1×1+1×1=6.于是发现为定值,请你研究的规律,归纳= .
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)
设z1是虚数,z2=z1+是实数,且-1≤z2≤1.
(1)求|z1|的值以及z1的实部的取值范围.
(2)若ω=,求证:ω为纯虚数.
18.(本小题满分12分)
已知曲线C:,点,求过P的切线与C围成的图形的面积.
19.(本小题满分12分)
已知.证明:
(1);
(2).
20.(本小题满分12分)
已知函数,
(1)当时,在(1,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围;
(2)当m=2时,若函数k(x)=f(x)-h(x)在区间[1,3]上恰有两个不同零点,求实数a的取值范围.
21.(本小题满分12分)
是否存在常数,使得等式对一切正整数都成立?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
22.(本小题满分12分)
已知函数
(1)求函数的单调区间和极值;
(2)已知函数的图象与函数的图象关于直线对称,证明当时,;
(3)如果,且,证明:.
命题人:赵海鹰
审题人:秦慧明
高二理科数学答案
1-12 BBCDA DCCAD AB
13、5 14、112 15、 16、
17.解:(1)设z1=a+bi(a,b∈R且b≠0),则z2=z1+=a+bi+=+i.
因为z2是实数,b≠0,于是有a2+b2=1,即|z1|=1,................4分
还可得z2=2a.由-1≤z2≤1,得-1≤2a≤1,解得-≤a≤,即z1的实部的取值范围是
. ...................7分
(2)ω===
=-i.
因为a∈,b≠0,所以ω为纯虚数. ...........10分
18.解:设切点,则
切线:过P()
∴
即
∴ 即 A(0,1)
故 即
∴ B()
∴
19.证明.
.......6分
(2)因为
...........12分
20.【解】 (1)由f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立,
得m≤在(1,+∞)上恒成立,
令g(x)=,则g′(x)=,故g′(e)=0,
当x∈(1,e)时,g′(x)<0;
x∈(e,+∞)时,g′(x)>0.
故g(x)在(1,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增,
故当x=e时,g(x)的最小值为g(e)=e.
所以m≤e. .......6分
(2)由已知可知k(x)=x-2ln x-a,函数k(x)在[1,3]上恰有两个不同零点,相当于函数φ(x)=x-2ln x与直线y=a有两个不同的交点,
φ′(x)=1-=,故φ′(2)=0,
所以当x∈[1,2)时,φ′(x)<0,所以φ(x)单调递减,
当x∈(2,3]时,φ′(x)>0,所以φ(x)单调递增.
所以φ(1)=1,φ(3)=3-2ln 3,φ(2)=2-2ln 2,
且φ(1)>φ(3)>φ(2)>0,
所以2-2ln 21时,2x-2>0,从而’(x)>0,从而函数F(x)在(1,+∞)是增函数。
又F(1)=F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).
Ⅲ)证明:(1)
若......8分
(2)若
根据(1)(2)得
由(Ⅱ)可知,>,则=,所以>,从而>.因为,所以,又由(Ⅰ)可知函数f(x)在区间(-∞,1)上为增函数,所以>,即>2. .....12分