【数学】2019届一轮复习人教A版（文）4-5简单的三角恒等变换第2课时学案 16页

第2课时 简单的三角恒等变换 题型一 三角函数式的化简 ‎1.·等于( )‎ A．－sinα B．－cosα C．sinα D．cosα 答案 D 解析 原式＝ ‎＝＝cosα.‎ ‎2．化简：＝________.‎ 答案 cos2x 解析 原式＝ ‎＝＝ ‎＝＝cos2x.‎ ‎3．已知tan＝，且－<α<0，则＝________.‎ 答案 － 解析 由tan＝＝，得tanα＝－.‎ 又－<α<0，所以sinα＝－.‎ 故＝ ‎＝2sinα＝－.‎ ‎4．已知α为第二象限角，且tanα＋tan＝2tanαtan－2，则sin＝______.‎ 答案 － 解析 由已知可得tan＝－2，‎ ‎∵α为第二象限角，‎ ‎∴sin＝，cos＝－，‎ 则sin＝－sin ‎＝－sin ‎＝cossin－sincos ‎＝－.‎ 思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征．‎ ‎(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点．‎ 题型二 三角函数的求值 命题点1 给角求值与给值求值 典例(1)(2018·合肥模拟)tan70°·cos10°(tan20°－1)等于( )‎ A．1B．2 C．－1D．－2‎ 答案 C 解析 tan70°·cos10°(tan20°－1)‎ ‎＝·cos10° ‎＝· ‎＝＝＝－1.‎ ‎(2)已知cos＝，<α<，则的值为________．‎ 答案 － 解析 ＝ ‎＝ ‎＝sin2α ‎＝sin2α·tan.‎ 由<α<得<α＋<2π，又cos＝，‎ 所以sin＝－，tan＝－.‎ cosα＝cos＝－，sinα＝－，‎ sin2α＝.‎ 所以＝×＝－.‎ ‎(3)(2017·合肥联考)已知α，β为锐角，cosα＝，sin(α＋β)＝，则cosβ＝________.‎ 答案 解析 ∵α为锐角，‎ ‎∴sinα＝＝.‎ ‎∵α，β∈，∴0<α＋β<π.‎ 又∵sin(α＋β)，‎ ‎∴cos(α＋β)＝－.‎ cosβ＝cos[(α＋β)－α]‎ ‎＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα ‎＝－×＋×＝＝.‎ 命题点2 给值求角 典例(1)设α，β为钝角，且sinα＝，cosβ＝－，则α＋β的值为( )‎ A. B. C. D.或 答案 C 解析 ∵α，β为钝角，sinα＝，cosβ＝－，‎ ‎∴cosα＝－，sinβ＝，‎ ‎∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝>0.‎ 又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈，‎ ‎∴α＋β＝.‎ ‎(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tanβ＝－，则2α－β的值为________．‎ 答案 － 解析 ∵tanα＝tan[(α－β)＋β]‎ ‎＝ ‎＝＝>0，‎ ‎∴0<α<.‎ 又∵tan2α＝＝＝>0，‎ ‎∴0<2α<，‎ ‎∴tan(2α－β)＝ ‎＝＝1.‎ ‎∵tanβ＝－<0，‎ ‎∴<β<π，－π<2α－β<0，‎ ‎∴2α－β＝－.‎ 引申探究 本例(1)中，若α，β为锐角，sinα＝，cosβ＝，则α＋β＝________.‎ 答案 解析 ∵α，β为锐角，∴cosα＝，sinβ＝，‎ ‎∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ ‎＝×－×＝.‎ 又0<α＋β<π，∴α＋β＝.‎ 思维升华 (1)给角求值与给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法．‎ ‎(2)给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再求角的范围确定角．‎ 跟踪训练 (1)已知α∈，且2sin2α－sinα·cosα－3cos2α＝0，则＝________.‎ 答案 解析 ∵α∈，且2sin2α－sinα·cosα－3cos2α＝0，‎ 则(2sinα－3cosα)·(sinα＋cosα)＝0，‎ 又∵α∈，sinα＋cosα>0，‎ ‎∴2sinα＝3cosα，又sin2α＋cos2α＝1，‎ ‎∴cosα＝，sinα＝，‎ ‎∴ ‎＝＝＝.‎ ‎(2)(2017·昆明模拟)计算：－＝________.‎ 答案 －4‎ 解析 原式＝＝ ‎＝＝－4.‎ ‎(3)定义运算＝ad－bc.若cosα＝，＝，0<β<α<，则β＝________.‎ 答案 解析 由题意有sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β)＝，又0<β<α<，∴0<α－β<，‎ 故cos(α－β)＝＝，‎ 而cosα＝，∴sinα＝，‎ 于是sinβ＝sin[α－(α－β)]‎ ‎＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)‎ ‎＝×－×＝.‎ 又0<β<，故β＝.‎ 题型三 三角恒等变换的应用 典例(2017·浙江)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sinxcosx(x∈R)．‎ ‎(1)求f的值；‎ ‎(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．‎ 解 (1)由sin＝，cos＝－，得 f＝2－2－2××＝2.‎ ‎(2)由cos2x＝cos2x－sin2x与sin2x＝2sinxcosx，得 f(x)＝－cos2x－sin2x＝－2sin.‎ 所以f(x)的最小正周期是π.‎ 由正弦函数的性质，得 ＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈ ，‎ 解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈ .‎ 所以f(x)的单调递增区间为 (k∈ )．‎ 思维升华三角恒等变换的应用策略 ‎(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．‎ ‎(2)把形如y＝asinx＋bcosx化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性．‎ 跟踪训练 (1)函数f(x)＝sin(x＋φ)－2sinφcosx的最大值为________．‎ ‎(2)函数f(x)＝sin－2sin2x的最小正周期是________．‎ 答案 (1)1 (2)π 解析 (1)因为f(x)＝sin(x＋φ)－2sinφcosx ‎＝sinxcosφ－cosxsinφ＝sin(x－φ)，‎ 又－1≤sin(x－φ)≤1，‎ 所以f(x)的最大值为1.‎ ‎(2)f(x)＝sin2x－cos2x－(1－cos2x)‎ ‎＝sin2x＋cos2x－ ‎＝sin－，‎ 所以T＝＝π.‎ 化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用 典例(12分)(2016·天津)已知函数f(x)＝4tanx·sin·cos－.‎ ‎(1)求f(x)的定义域与最小正周期；‎ ‎(2)讨论f(x)在区间上的单调性．‎ 思想方法指导 (1)讨论形如y＝asinωx＋bcosωx型函数的性质，一律化成y＝sin(ωx＋φ)型的函数．‎ ‎(2)研究y＝Asin(ωx＋φ)型函数的最值、单调性，可将ωx＋φ视为一个整体，换元后结合y＝sinx的图象解决．‎ 规范解答 解 (1)f(x)的定义域为.‎ f(x)＝4tanxcosxcos－ ‎＝4sinxcos－ ‎＝4sinx－ ‎＝2sinxcosx＋2sin2x－ ‎＝sin2x＋(1－cos2x)－ ‎＝sin2x－cos2x＝2sin.[5分]‎ 所以f(x)的最小正周期T＝＝π.[6分]‎ ‎(2)∵x∈，∴2x－∈，[8分]‎ 由y＝sinx的图象可知，当2x－∈，‎ 即x∈时，f(x)单调递减；‎ 当2x－∈，即x∈时，f(x)单调递增．[10分]‎ 所以当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．‎ ‎[12分]‎ ‎ ‎ ‎1．(2018·山东重点中学模拟)已知cosα＝，α∈(π，2π)，则cos等于( )‎ A．B．－ C．D．－ 答案 B 解析 ∵cosα＝，α∈(π，2π)，∴∈，‎ ‎∴cos＝－＝－＝－.‎ ‎2.等于( )‎ A．－B． C．D．1‎ 答案 C 解析 原式＝ ‎＝ ‎＝＝.‎ ‎3．(2017·杭州二次质检)函数f(x)＝3sincos＋4cos2(x∈R)的最大值等于( )‎ A．5B． C．D．2‎ 答案 B 解析 由题意知f(x)＝sinx＋4× ‎＝sinx＋2cosx＋2≤＋2＝，‎ 故选B.‎ ‎4．设α∈，β∈，且tanα＝，则( )‎ A．3α－β＝ B．2α－β＝ C．3α＋β＝ D．2α＋β＝ 答案 B 解析 由tanα＝，得＝，‎ 即sinαcosβ＝cosα＋cosαsinβ，‎ ‎∴sin(α－β)＝cosα＝sin.‎ ‎∵α∈，β∈，‎ ‎∴α－β∈，－α∈，‎ 由sin(α－β)＝sin，得α－β＝－α，‎ ‎∴2α－β＝.‎ ‎5．4cos50°－tan40°等于( )‎ A． B． C． D．2－1‎ 答案 C 解析 原式＝4sin40°－ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝.‎ ‎6．(2017·豫北名校联考)若函数f(x)＝5cosx＋12sinx在x＝θ时取得最小值，则cosθ等于( )‎ A.B．－ C.D．－ 答案 B 解析 f(x)＝5cosx＋12sinx ‎＝13＝13sin(x＋α)，‎ 其中sinα＝，cosα＝，‎ 由题意知θ＋α＝2kπ－(k∈ )，‎ 得θ＝2kπ－－α(k∈ )，‎ 所以cosθ＝cos＝cos ‎＝－sinα＝－.‎ ‎7．若cos＝，则sin的值是________．‎ 答案 － 解析 sin＝sin ‎＝cos2＝2cos2－1‎ ‎＝2×－1＝－.‎ ‎8．已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a＞1)的两根分别为tanα，tanβ，且α，β∈，则α＋β＝________.‎ 答案 － 解析 依题意有 ‎∴tan(α＋β)＝＝＝1.‎ 又 ‎∴tanα＜0且tanβ＜0，‎ ‎∴－＜α＜0且－＜β＜0，‎ 即－π＜α＋β＜0，结合tan(α＋β)＝1，‎ 得α＋β＝－.‎ ‎9．已知cos4α－sin4α＝，且α∈，则cos＝________.‎ 答案 解析 ∵cos4α－sin4α＝(sin2α＋cos2α)(cos2α－sin2α)‎ ‎＝cos2α＝，又α∈，∴2α∈(0，π)，‎ ‎∴sin2α＝＝，‎ ‎∴cos＝cos2α－sin2α ‎＝×－×＝.‎ ‎10．函数f(x)＝sinx－2sin2x的最小值是________．‎ 答案 －1‎ 解析 f(x)＝sinx－ ‎＝2sin－1，‎ 又≤x≤，∴≤x＋≤π，‎ ‎∴f(x)min＝2sinπ－1＝－1.‎ ‎11．设cosα＝－，tanβ＝，π<α<，0<β<，求α－β的值．‎ 解 由cosα＝－，π<α<，得sinα＝－，‎ tanα＝2，又tanβ＝，‎ 于是tan(α－β)＝＝＝1.‎ 又由π<α<，0<β<，‎ 可得－<－β<0，<α－β<，‎ 因此，α－β＝.‎ ‎12．已知函数f(x)＝cos2x＋sinxcosx，x∈R.‎ ‎(1)求f的值；‎ ‎(2)若sinα＝，且α∈，求f.‎ 解 (1)f＝cos2＋sincos ‎＝2＋×＝.‎ ‎(2)因为f(x)＝cos2x＋sinxcosx＝＋sin2x ‎＝＋(sin2x＋cos2x)＝＋sin，‎ 所以f＝＋sin ‎＝＋sin＝＋.‎ 又因为sinα＝，且α∈，‎ 所以cosα＝－，‎ 所以f＝＋ ‎＝.‎ ‎13．(2017·南昌一中月考)已知α∈，β∈，且cos＝，sin＝－，则cos(α＋β)＝________.‎ 答案 － 解析 ∵α∈，－α∈，‎ cos＝，∴sin＝－，‎ ‎∵sin＝－，∴sin＝，‎ 又∵β∈，＋β∈，‎ ‎∴cos＝，‎ ‎∴cos(α＋β)＝cos ‎＝×－×＝－.‎ ‎14．在斜△ABC中，sinA＝－cosBcosC，且tanB·tanC＝1－，则角A的值为________．‎ 答案 解析 由已知sin(B＋C)＝－cosBcosC，‎ ‎∴sinBcosC＋cosBsinC＝－cosBcosC，‎ ‎∴tanB＋tanC＝－，‎ 又tanB·tanC＝1－，‎ ‎∴tan(B＋C)＝＝－1，‎ ‎∴tanA＝1，又0