2017-2018学年江西省赣州市十四县（市）高二下学期期中联考数学（文）试题（解析版） 13页

‎2017-2018学年江西省赣州市十四县（市）高二下学期期中联考数学（文）试题 一、单选题 ‎1．设复数，则的共轭复数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 选D.‎ ‎2．在独立性检验中，统计量有三个临界值：2.706、3.841和6.635，在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1000人，经计算的=18.87，根据这一数据分析，认为打鼾与患心脏病之间 ( )‎ A. 有95%的把握认为两者无关 B. 约有95%的打鼾者患心脏病 C. 有99%的把握认为两者有关 D. 约有99%的打鼾者患心脏病 ‎【答案】C ‎【解析】因为统计量有三个临界值：2.706、3.841和6.635，而=18.87>6.635,所以有99%的把握认为两者有关，选C.‎ ‎3．变量X与Y相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U与V相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)，r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则( 　)‎ A. r2<0B”是“sinA>sinB”的充分条件，则下列命题是真命题的是(　 )‎ A. p且q B. p或¬q C. ¬p且¬q D. p或q ‎【答案】D ‎【解析】 因为“∀x∈R，x2＋1≥1”的否定是“∃x∈R，x2＋1<1”； 所以命题p为假命题；‎ 因为在△ABC中，“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件，所以命题q为真命题；‎ 因此p且q，p或¬q，¬p且¬q为假命题；p或q为真命题；选D.‎ ‎6．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说:“罪犯在 乙、丙、丁三人之中”；乙说:“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：乙说的是事实”.经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话， 且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（ ）‎ A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 ‎【答案】B ‎【解析】∵乙、丁两人的观点一致，∴乙、丁两人的供词应该是同真或同假；‎ 若乙、丁两人说的是真话，则甲、丙两人说的是假话，由乙说真话推出丙是罪犯的结论；由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯的结论，矛盾；∴乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话；由甲、丙的供述内容可以断定乙是罪犯．‎ ‎7．“1＜m＜‎3”‎是“方程表示椭圆”的（ ）‎ A．充分不必要条件 ‎ B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 ‎ D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：方程表示椭圆可得或，所以“1＜m＜‎3”‎是“方程表示椭圆”的必要不充分条件 ‎【考点】椭圆方程及充分条件必要条件 ‎8．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数(m＋ni)(n－mi)为实数的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】 由为实数，所以，‎ ‎ 故，则可以取，共种情形，‎ ‎ 所以概率为，故选C．‎ ‎9．若执行如图所示的程序框图，输出S的值为3，则判断框中应填入的条件是 A. k<6？ B. k<7？‎ C. k<8？ D. k<9？‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据程序框图，运行结果如下：，，第一次循环：，；第二次循环：，；第三次循环：，；第四次循环：，；第五次循环：，；第六次循环：，，故如果输出，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是：“”，故选C．‎ ‎10．已知抛物线，直线交抛物线于A,B，两点，若，则 ( )‎ A. 2 B. 4 C. 6 D. 8‎ ‎【答案】A ‎【解析】由 ，‎ 所以 ，选A.‎ ‎11．如图， 是双曲线 的左、右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于点、．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. 4 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设 ；‎ 因此 ；‎ 选B.‎ 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.‎ ‎12．已知定义在R上的函数满足，且的导数在R上恒有，则不等式的解集为(　 　)‎ A. (1，＋∞) B. (－∞，－1) C. (－1,1) D. (－∞，－1)∪(1，＋∞)‎ ‎【答案】D ‎【解析】令；‎ 因为，所以 ，即，选D.‎ 点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造， 构造， 构造， 构造等 二、填空题 ‎13．若内切圆半径为，三边长为，则的面积，根据类比思想，若四面体内切球半径为，四个面的面积为， ， ， ，则四面体的体积为_______________________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据类比思想， 内切圆类比四面体内切球，三边长类比为四个面的面积，因此四面体的体积为 ‎14．在极坐标系中，圆上的点到直线的距离的最小值是 _____‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】圆化为；直线化为 ，所以圆上的点到直线的距离的最小值是 ‎ ‎15．若函数在处取得极值，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由题意得，令，即，解得，即．‎ ‎【考点】函数的极值点．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了函数的极值点的求解，其中解答中涉及到函数的导数的运算、函数的极值点与极值的概念等知识点的综合考查，试题比较基础，属于基础题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理运算能力，本题的解答中正确求解函数的导数，利用导数等于零，根据极值点的概念是解答的关键．‎ ‎16．双曲线的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得 ，所以 因此，当且仅当时取等号,即的最小值为.‎ 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.‎ 三、解答题 ‎17．已知下列两个命题： 函数在[2，＋∞)单调递增； 关于的不等式的解集为.若为真命题， 为假命题，求的取值范围．‎ ‎【答案】{m|m≤1或2＜m＜3}．‎ ‎【解析】试题分析:先根据二次函数对称轴与定义区间位置关系确定P为真命题时的取值范围，根据二次函数图像确定一元二次不等式恒成立的条件，解得为真命题时的取值范围，再根据为真命题， 为假命题得P与Q一真一假，最后分类讨论真假性确定的取值范围．‎ 试题解析：函数f(x)＝x2－2mx＋4(m∈R)的对称轴为x＝m，故P为真命题⇔m≤2 ‎ Q为真命题⇔Δ＝[4(m－2)]2－4×4×1＜0⇒1＜m＜3. ‎ ‎∵P∨Q为真，P∧Q为假，∴P与Q一真一假． ‎ 若P真Q假，则m≤2，且m≤1或m≥3，∴m≤1； ‎ 若P假Q真，则m＞2，且1＜m＜3，∴2＜m＜3. ‎ 综上所述，m的取值范围为{m|m≤1或2＜m＜3}． ‎ ‎18．18．选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系中，直线经过点，倾斜角.‎ ‎（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的参数方程；‎ ‎（2）设与曲线相交于，两点，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（为参数）;（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）曲线的极坐标方程,两边同时乘以，得 利用，，代入，可化变通方程。直线过定，倾斜角，可得，可得直线参数标准方程。（2）将的参数方程代入曲线的直角坐标方程，由由韦达代入，可解。‎ 试题解析：（1）曲线:，利用，代入 ‎，可得直角坐标方程为；‎ 直线经过点，倾斜角可得直线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（2）将的参数方程代入曲线的直角坐标方程，整理得：，‎ ‎，则，，‎ 所以 .‎ ‎19．设函数。‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若，使得，求实数的取值范围。‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）先根据绝对值定义将不等式化为两个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先根据分段函数图像确定最小值，再解一元二次不等式得实数的取值范围.‎ 试题解析：（1）当x < -2时， ， ，即，解得，又，∴；‎ 当时， ，‎ ‎，即，解得，又，∴；‎ 当时， ，‎ ‎，即，解得，又，∴. ‎ 综上，不等式的解集为. ‎ ‎（2） ∴. ‎ ‎∵，使得，∴，‎ 整理得：，解得：，因此m的取值范围是.‎ 点睛：含绝对值不等式的解法 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；‎ 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；‎ 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.‎ ‎20．已知鸡的产蛋量与鸡舍的温度有关，为了确定下一个时段鸡舍的控制温度，某企业需要了解鸡舍的温度（单位：℃），对某种鸡的时段产蛋量（单位： ）和时段投入成本（单位：万元）的影响，为此，该企业收集了7个鸡舍的时段控制温度和产蛋量的数据，对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中的统计量的值．‎ ‎17.40‎ ‎82.30‎ ‎3.6‎ ‎140‎ ‎9.7‎ ‎2935.1‎ ‎35.0‎ 其中.‎ ‎（1）根据散点图判断， 与哪一个更适宜作为该种鸡的时段产蛋量关于鸡舍时段控制温度的回归方程类型？（给判断即可，不必说明理由）‎ ‎（2）若用作为回归方程模型，根据表中数据，建立关于的回归方程；‎ ‎（3）已知时段投入成本与的关系为，当时段控制温度为28℃时，鸡的时段产蛋量及时段投入成本的预报值分别是多少？‎ 附：①对于一组具有有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ‎②‎ ‎0.08‎ ‎0.47‎ ‎2.72‎ ‎20.09‎ ‎1096.63‎ ‎【答案】(1) (2) (3) 鸡舍的温度为28℃时，鸡的时段产量的预报值为515.4，投入成本的预报值为48.432‎ ‎【解析】试题分析:（1）散点图更趋向于曲线，所以适宜（2）对函数两边取对数得，再根据数据可得，即得（3）即求时y以及z值 试题解析：（1）适宜 .‎ ‎（2）由得 .‎ 令 由图表中的数据可知 关于的回归方程为 ‎ ‎（3）时，由回归方程得， ‎ 即鸡舍的温度为28℃时，鸡的时段产量的预报值为515.4，投入成本的预报值为48.432。‎ ‎21．已知椭圆的两个焦点分别为， ，离心率为，且过点．‎ ‎（）求椭圆的标准方程．‎ ‎（）、、、是椭圆上的四个不同的点，两条都不和轴垂直的直线和分别过点， ，且这条直线互相垂直，求证： 为定值．‎ ‎【答案】（）（）见解析 ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）由离心率可得，故椭圆的方程为，将点的坐标代入方程可得， ，从而可得椭圆的方程。（2）①当直线的斜率为0时， 为长轴长， 为通径长；②当直线的斜率不为0时，设出直线的方程，运用椭圆的弦长公式可得和，然后验证即可得到结论。‎ 试题解析：‎ ‎（）∵ ，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴ 椭圆的方程为，‎ 又点在椭圆上，‎ ‎∴ ‎ 解得，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴ 椭圆的方程为．‎ ‎（）由（1）得椭圆的焦点坐标为， ，‎ ‎①当直线的斜率为0时，则,‎ ‎∴ .‎ ‎②当直线的斜率为0时，设其，‎ 由直线与互相垂直，可得直线，‎ 由消去y整理得，‎ 设， ，‎ 则， ，‎ ‎∴ ，‎ 同理，‎ ‎∴ ．‎ 综上可得为定值。‎ 点睛：‎ ‎（1）圆锥曲线中的定点、定值问题是高考中的常考题型，难度一般较大，常常把直线、圆及圆锥曲线等知识结合在一起，注重数学思想方法的考查，尤其是函数思想、数形结合思想、分类讨论思想的考查．‎ ‎（2）求定值问题常见的方法 ‎①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．‎ ‎②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．‎ ‎22．已知函数f（x）= ，其中a＞0．‎ ‎（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若在区间上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．‎ ‎【答案】⑴y="6x-9(2)" 0lt;alt;5‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用导数求切线斜率即可； （2）在区间上， 恒成立恒成立，令，解得或，以下分两种情况， 讨论，分类求出函数最大值即可.‎ 试题解析：（1）当a＝1时，f(x)＝x3－x2＋1，f(2)＝3；f' (x)＝3x2－3x， f' (2)＝6．‎ 所以曲线y＝f(x) 在点（2，f(2)）处的切线方程y－3＝6(x－2)，即y＝6x－9．‎ ‎（2）f' (x)＝3ax2－3x＝3x(ax－1)，令f' (x)＝0，解得x＝0或x＝．‎ 以下分两种情况讨论：‎ ‎①若0＜a≤2，则≥，当x变化时，f' (x)，f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎（－，0）‎ ‎0‎ ‎（0，）‎ f' (x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ f(x)‎ 递增 极大值 递减 ‎ 当xÎ[－，]上，f(x)＞0等价于，即解不等式组得－5＜a＜5．因此0＜a≤2．‎ ‎ ②若a＞2，则0＜＜，当x变化时，f' (x)，f(x)的变化情况如下表：‎ X ‎（－，0）‎ ‎0‎ ‎（0，）‎ ‎（，）‎ f' (x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f'(x)‎ 递增 极大值 递减 极小值 递增 当xÎ[－，]上，f(x)＞0等价于，即解不等式组得＜a＜5，或a＜－．因此2＜a＜5． 综合①和②，可知a的取值范围为0＜a＜5．‎ 点睛：本题考查导数知识的运用，考查函数函数在某点处的切线方程即函数在某点处的导数即为函数在该点处的切线斜率；考查恒成立问题，除了上述方法外还可正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或 恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解.‎