安徽省宣城市郎溪县七校2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题 19页

宣城市七校2019～2020学年第一学期高二联考 数学试卷（文科）‎ 一、选择题：‎ ‎1.设命题，则p为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题的否定的结构形式写出其否定即可.‎ ‎【详解】命题的否定为：，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】全称命题的一般形式是：，，其否定为.存在性命题的一般形式是，，其否定为.‎ ‎2.2019年，云南省丽江市某高级中学高一年级有100名学生，高二年级有200名学生，高三年级有150名学生.现某社会民间组织按年级采用分层抽样的方法抽取18名学生进行问卷调查，则应从高一年级抽取的学生人数为（ ）‎ A. 6人 B. 2人 C. 8人 D. 4人 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 按比例可计算高一年级应抽取的人数.‎ ‎【详解】高一人数占比为，故高一应抽取的人数为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】抽样方法共有简单随机抽样、系统抽样和分层抽样 ‎（1）简单随机抽样是每个个体等可能被抽取；‎ ‎（2）系统抽样时均匀分组，按规则抽取（通常每组抽取的序号成等差数列）；‎ ‎（3）分成抽样就是按比例抽取.‎ ‎3.已知，，则是的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断命题和的真假。‎ ‎【详解】∵，∴，∴是的必要不充分条件.‎ 故选：B。‎ ‎【点睛】本题考查充分必要条件的判断。根据定义实质上是判断两个命题的真假：是真命题，则是的充分条件，是的必要条件。‎ ‎4.已知椭圆的两个焦点分别为，弦过点，若的周长为20，则的值为（ ）‎ A. 5 B. －25 C. 25 D. 5或－5‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 就焦点在轴、焦点在轴上分类讨论，两种情形均可以利用椭圆的定义来求解.‎ ‎【详解】‎ 若焦点在轴上，则，‎ 由椭圆的定义可得，，‎ 而的周长为，故即.‎ 若焦点在轴上，则，‎ 由椭圆的定义可得，，‎ 而的周长为，矛盾.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】一般地，椭圆的左右焦点为，点为椭圆上的动点，则，解题中注意利用这个几何性质.‎ ‎5.已知具有线性相关关系的变量，的一组数据如下表：‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎8‎ 可求得线性回归方程为，则的值为（ ）‎ A. 3 B. －5 C. －3 D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用线性回归直线过中心点可得的值。‎ ‎【详解】由题意知，，，又样本中心点在回归直线上，所以，所以.‎ 故选：C。‎ ‎【点睛】本题考查线性回归直线方程，掌握回归直线必过中心点这个性质是解题的关键。‎ ‎6.若执行如图所示的程序框图输出的结果为26，则处可填入的条件为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 逐次计算，结合输出结果可得判断条件.‎ ‎【详解】第一次执行判断前，，第二次执行判断前，，‎ 第三次执行判断前，，第四次执行判断前，，‎ 第五次执行判断前，，此时终止循环，输出，故为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】对于流程图的问题，我们可以从简单的情形逐步计算归纳出流程图的功能，在归纳中注意各变量的变化规律.‎ ‎7.已知是圆的圆周上一定点，若在圆的圆周上的其他位置任取一点，连接，则“线段的长度不大于圆的半径”的概率约为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在圆的圆周上的其他位置任取一点，所有基本事件的全体为圆（除去），随机事件含有基本事件为（如图），利用公式可求概率.‎ ‎【详解】‎ 设事件“在圆的圆周上的其他位置任取一点，线段的长度不大于圆的半径”为，‎ 则在圆的圆周上的其他位置任取一点，所有的基本事件对应的测度为圆的周长，‎ 如图所示，随机事件中的所有基本事件对应的测度为的长度，‎ 且，故的长度为，‎ 所以.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】几何概型的概率计算关键在于测度的选取，测度通常是线段的长度、平面区域的面积、几何体的体积等．‎ ‎8.已知一个不透明的袋子中装有3个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同，若从袋子中一次取出两个球，则“取到全是白球”的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用组合可求基本事件的总数和随机事件中含有的基本事件的个数，利用公式可求概率.‎ ‎【详解】记“取到全是白球”为事件，‎ 从袋子中一次取出两个球，共有种取法，‎ 若取到的两球都是白球，共有种取法，故.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】古典概型的概率的计算，关键是基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数的计算，计算时可采用枚举法、树形图等帮助计数（个数较少时），也可以利用排列组合的方法来计数（个数较大时）.‎ ‎9.已知，分别是椭圆（）的左顶点和上顶点，线段的垂直平分线过右顶点.若椭圆的焦距为2，则椭圆的长轴长为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 线段的垂直平分线过右顶点，则有，结合，可求得.‎ ‎【详解】A，B分别是椭圆C：（a＞b＞0）的左顶点和上顶点，线段AB的垂直平分线过右顶点．若椭圆C的焦距为2，‎ 则2b，化简可得a2＝3b2，又a2＝b2+c2，c＝1，所以，2a．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的几何性质，属于基础题。在解决圆锥曲线问题时，注意图形中的一些线段与的关系是解题基础.‎ ‎10.已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，若（为坐标原点）是边长为的正三角形，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由是中点，及是正三角形得是直角三角形，则其三边可得，利用椭圆定义得，由的关系可得。‎ ‎【详解】连接，由题意，可得是直角三角形，，，，由椭圆的定义，可得，则.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的定义，利用定义解题更方便，本题属于基础题。‎ ‎11.将－颗骰子先后投掷两次分别得到点数，则关于方程组，有实数解的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用圆心到直线的距离不大于半径可得的不等式关系，从而得到方程组有解的个数，利用古典概型的概率公式可求概率.‎ ‎【详解】因为方程组有解，故直线与圆有公共点，‎ 所以即，‎ 当时，，有3种情形；‎ 当时，，有3种情形；‎ 当时，，有4种情形；‎ 当时，，有18种情形；‎ 故方程有解有28种情形，而共有36种不同的情形，故所求的概率为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】古典概型的概率的计算，关键是基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数的计算，计算时可采用枚举法、树形图等帮助计数（个数较少时），也可以利用排列组合的方法来计数（个数较大时）.‎ ‎12.已知椭圆过点，其离心率的取值范围是，则椭圆短轴长的最大值是（ ）‎ A. 4 B. 3 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 先根据点在椭圆上得到，再利用及消元法可解得，从而得到短轴长的最大值.‎ ‎【详解】因为点在椭圆上，所以，所以.‎ 设椭圆的半焦距为，因为，所以，故，‎ 所以，解得，故短轴长的最大值为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题以椭圆基本量为载体，考查多变量等式和不等式条件下变量的最值的计算，注意多变量问题处理的基本策略是消元法，此类问题多为中档题.‎ 二、填空题：‎ ‎13.将某年级的360名学生编号为001，002，…，360，采用系统抽样方法抽取一个容量为4的样本，且在某组随机抽得的一个编号为120，则剩下的三个编号依次是______（按编号从小到大排列）.‎ ‎【答案】030，210，300‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由系统抽样知每个样本编号间隔90，因此易得其他三个的编号。‎ ‎【详解】由于从360名学生中抽取4名学生，故分组的间距为90，又第二组的编号为120，所以其他三个编号依次是030，210，300.‎ ‎【点睛】本题考查系统抽样，掌握系统抽样定义即可求解，属于基础题。‎ ‎14.已知某样本数据频率分布直方图共有11个小长方形，若中间一个小长方形面积等于其他10个小长方形面积和的，则中间一个小长方形的面积为______.‎ ‎【答案】0.2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由频率分布直方图的所有长方形面积和为1求解。‎ ‎【详解】设频率分布直方图中间一个小长方形面积为，则，所以.‎ ‎【点睛】本题考查频率分布直方图，直方图中小长方形面积就是频率。本题属于基础题。‎ ‎15.已知椭圆的左、右焦点分别为，左顶点为，上顶点为，若是的中线，则该椭圆的离心率为_______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用可得的关系，从而得到离心率的值.‎ ‎【详解】因为是的中线，所以即，故.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于的不等式或不等式组．‎ ‎16.设，分别是圆和椭圆上的点，则，间的最大距离是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出圆心到椭圆上点的距离的最大值，再加圆半径。设，圆心到点的距离可化为关于的函数，结合二次函数的性质可得。‎ ‎【详解】由圆的性质可知，P，Q两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上点的距离的最大值加上圆的半径，设，则圆心（0，-1）到椭圆上点的距离为，∵，∴当时，取最大值，∴，两点间的最大距离为.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆与圆上点的距离的最值问题。题中有两个动点，利用圆的性质把圆上动点转化为圆心，先圆心到椭圆上点的距离的最大值，再加半径即得所求结论。‎ 三、解答题：‎ ‎17.已知，命题关于的方程有两个不同的实数根且均小于零；命题[1，），.‎ ‎（1）当时，判断命题的真假，并简要说明理由；‎ ‎（2）若命题是假命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）为真命题,详见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）存在性命题，只需举一例说明其正确性即可；‎ ‎（2）命题是假命题，则均为假命题，可先分别求出是真命题时的范围，再得题设结论。‎ ‎【详解】（1）当时为真命题.当时，，有，∴成立，∴为真命题.‎ ‎（2）若为真命题，则解得，∵为假命题时.‎ 若为真命题，则，即，解得或，‎ ‎∴为假命题时.‎ ‎∵命题是假命题，则，都是假命题，∴实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查含有量词的命题及复合命题的真假，掌握复合命题的真值表是解题基础。‎ 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 ‎18.大城市往往人口密集，城市绿化在健康人民群众肺方面发挥着非常重要的作用，历史留给我们城市里的大山拥有品种繁多的绿色植物更是无价之宝.改革开放以来，有的地方领导片面追求政绩，对森林资源野蛮开发受到严肃查处事件时有发生.2019年的春节后，广西某市林业管理部门在“绿水青山就是金山银山”理论的不断指引下，积极从外地引进甲、乙两种树苗，并对甲、乙两种树苗各抽测了10株树苗的高度(单位：厘米)，数据如下面的茎叶图：‎ ‎(1)据茎叶图求甲、乙两种树苗的平均高度；‎ ‎(2)据茎叶图，运用统计学知识分析比较甲、乙两种树苗高度整齐情况.‎ ‎【答案】（1）27（厘米），30（厘米）；（2）甲种树苗长的比较整齐，乙种树苗长的参差不齐 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用公式计算即可.‎ ‎（2）根据茎叶图的数据分布可得两者的方差的大小，从而得到甲种树苗较为齐整.‎ ‎【详解】（1）甲种树苗的平均高度为（厘米）.‎ 乙种树苗的平均高度为（厘米）.‎ ‎（2）甲种树苗的方差为：，‎ 乙种树苗的方差为：，‎ 故甲种树苗长的比较整齐，乙种树苗长的参差不齐.‎ ‎【点睛】本题考查茎叶图、频率分布直方图的应用，注意直方图中，各矩形的高是，而茎叶图中数据的分布形式往往体现了均值的大致范围以及数据离散的程度，注意均值和方差均为估算，必要时需精确计算.‎ ‎19.据史载知，新华网：北京2008年11月9日电，国务院总理温家宝主持召开国务院常务会议，研究部署进一步扩大内需促进经济平稳较快增长的措施，以应对日趋严峻的全球性世界经济金融危机.在提高城乡居民特别是低收入人群的收入水平政策措施的刺激下，某零售店当时近5个月的销售额和利润额数据统计如下表：‎ 月份 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 销售额/千万元 ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎9‎ 利润额/千万元 ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎（1）若与之间是线性相关关系，求利润额关于销售额的线性回归方程；‎ ‎（2）若9月份的销售额为8千万元，试利用（1）的结论估计该零售店9月份的利润额.‎ 参考公式：，.‎ ‎【答案】（1）（2）当9月份销售额为8千万元时，估计该零售店9月份的利润额为4.4百万元 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由所给数据计算出，再计算出回归系数，得方程；‎ ‎（2）令，代入回归直线方程求得即得。‎ ‎【详解】，‎ ‎.‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎∴利润额关于销售额的线性回归直线方程为.‎ ‎（2）由（1）求解知，当千万元时，（百万元），即当9月份销售额为8千万元时，估计该零售店9月份的利润额为4.4百万元.‎ ‎【点睛】本题考查线性回归直线方程，考查回归直线方程的应用。‎ ‎20.地球海洋面积远远大于陆地面积，随着社会的发展，科技的进步，人类发现海洋不仅拥有巨大的经济利益，还拥有着深远的政治利益.联合国于第63届联合国大会上将每年的6月8日确定为“世界海洋日”.2019年6月8日，某大学的行政主管部门从该大学随机抽取100名大学生进行一次海洋知识测试，并按测试成绩（单位：分）分组如下：第一组[65，70），第二组[70，75），第二组[75，80），第四组[80，85），第五组[85，90]，得到频率分布直方图如下图：‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若从第四组、第五组的学生中按组用分层抽样的方法抽取6名学生组成中国海洋实地考察小队，出发前，用简单随机抽样方法从6人中抽取2人作为正、副队长，列举出所有的基本事件并求“抽取的2人为不同组”的概率.‎ ‎【答案】（1）（2）基本事件见解析, 所求的概率为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由所有小矩形面积和为1计算出；‎ ‎（2）先计算出第4、5两组人数，再按比例计算出抽取的人数，然后把第四组的4人表示为，，，，第五组的2人表示为，，用列举法写出所有基本事件，并计数求出概率。‎ ‎【详解】（1）据题意，得，‎ ‎∴.‎ ‎（2）据题意知，随机抽取100名大学生中第四组有20人，‎ 第五组有10人，‎ ‎∴抽取6名学生中有第四组人，即4人，‎ 抽取6名学生中有第五组人，即2人.‎ 设6人中来自第四组的4人为，，，，来自第五组的2人为，，从中抽取2人的所有基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，共15种，‎ 其中2人来自不同组的事件有，，，，，，，共8种，‎ ‎∴所求的概率.‎ ‎【点睛】本题考查随机变量的频率分布直方图，考查分层抽样，属于基础题。‎ ‎21.已知椭圆（）的右焦点为，是椭圆上任意一点，且点与两个焦点构成的三角形的面积的最大值为8.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若是上顶点，直线l交椭圆于，两点，的重心恰好为点，求直线l的方程的一般式.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）已知，点与两个焦点构成的三角形的面积的最大时，为短轴顶点，这样由三角形面积可计算出，再求出可得标准方程；‎ ‎（2）由是重心可求得的中点的坐标，设出的坐标代入椭圆方程相减，由中点坐标可求得直线的斜率，从而得直线方程。‎ ‎【详解】解：（1）由已知得，当点与短轴上的端点重合时，点与两个焦点构成的三角形的面积取最大值，则，，，‎ ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎（2）设线段的中点为，由三角形重心的性质知，‎ 又，∴，即故得，，‎ 即Q的坐标为（3，-2）.设，，则，，‎ 且，，‎ 以上两式相减得，‎ ‎∴，‎ 故直线的方程为，即.‎ ‎【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题。在已知椭圆弦中点坐标时，可用“点差法”求出直线的斜率，得直线方程。即设弦的两端点的坐标，代入椭圆方程后相减，再代入中点坐标就可得直线斜率。‎ ‎22.已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线（‎ ‎）与椭圆交于，两点（点在轴的上方）.‎ ‎（1）若，求的面积；‎ ‎（2）是否存在实数使得以线段为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）存在实数，使得以线段为直径的圆恰好经过坐标原点 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由椭圆方程求得，得，由直线方程与椭圆方程联立可解得交点坐标，当然这里只要得出点的纵坐标，即可求得三角形面积；‎ ‎（2）这类问题，都是假设存在实数使得以线段为直径的圆恰好经过坐标原点，则有.设，，从而有，把直线方程与椭圆方程联立消元后可得，代入，求得值，说明存在，求不出值说明假设错误，不存在。‎ ‎【详解】（1）设椭圆的半焦距为，因为，，，所以，，，‎ 联立化简得，解得或，又点在轴的上方，所以，所以，‎ 所以的面积为.‎ ‎（2）假设存在实数使得以线段为直径的圆恰好经过坐标原点，则有.‎ 设，，‎ 联立消去得，（*）‎ 则，.‎ 由，所以，即，‎ 整理得，‎ 所以，解得.‎ 经检验时（*）中，‎ 所以存在实数，使得以线段为直径的圆恰好经过坐标原点.‎ ‎【点睛】本题考查直线与椭圆相交问题中的面积问题，存在性问题。解析几何中存在性命题解题方法是：假设满足题意的数存在，并把它作为已知条件进行推理求值，如果能求得这个值说明存在，如果不能求出这个值说明不存在。本题中还用到“设而不求”思想，注意体会。‎ ‎ ‎