人教版高三数学总复习课时作业57 11页

课时作业57　椭圆 一、选择题 ‎1．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(　　)‎ A．2 B．6‎ C．4 D．12‎ 解析：由椭圆的定义知：|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝‎2a(F是椭圆的另外一个焦点)，∴周长为‎4a＝4.‎ 答案：C ‎2．已知椭圆＋＝1，长轴在y轴上．若焦距为4，则m等于(　　)‎ A．4 B．5‎ C．7 D．8‎ 解析：将椭圆的方程转化为标准形式为＋＝1，显然m－2>10－m，即m>6，且()2－()2＝22，解得m＝8.‎ 答案：D ‎3．椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为(　　)‎ A．－21 B．21‎ C．－或21 D.或21‎ 解析：若a2＝9，b2＝4＋k，则c＝，‎ 由＝，即＝，解得k＝－；‎ 由a2＝4＋k，b2＝9，则c＝，‎ 由＝，即＝，解得k＝21.‎ 答案：C ‎4．已知椭圆：＋＝1(0b>0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF1的中点在y轴上，若∠PF‎1F2＝30°，则椭圆的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：‎ 设PF1的中点为M，连接PF2，由于O为F‎1F2的中点，则OM为△PF‎1F2的中位线，所以OM∥PF2，所以∠PF‎2F1＝∠MOF1＝90°.‎ 由于∠PF‎1F2＝30°，所以PF1＝2PF2，‎ 由勾股定理得F‎1F2＝＝PF2，‎ 由椭圆定义得‎2a＝PF1＋PF2＝3PF2⇒a＝，‎2c＝F‎1F2＝PF2⇒c＝，‎ 所以椭圆的离心率为e＝＝·＝.‎ 答案：D ‎6．已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点且·＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：设P(m，n)，·＝(－c－m，－n)·(c－m，－n)＝m2－c2＋n2＝c2，∴‎2c2－m2＝n2，①‎ 把P(m，n)代入椭圆＋＝1得b‎2m2‎＋a2n2＝a2b2，②‎ 把①代入②得m2＝≥0，∴a2b2≤‎2a2c2，‎ ‎∴b2≤‎2c2，∴a2≤‎3c2，∴e＝≥.‎ 又m2＝≤a2，∴a2≥‎2c2，∴e＝≤.‎ 综上，此椭圆离心率的取值范围是，故选C.‎ 答案：C 二、填空题 ‎7．若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是________．‎ 解析：因为方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，所以|a|－1>a＋3>0，解得－3b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为‎2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF‎1F2＝2∠MF‎2F1，则该椭圆的离心率等于________．‎ 解析：‎ 如图，△MF‎1F2中，‎ ‎∵∠MF‎1F2＝60°，∴∠MF‎2F1＝30°，∠F1MF2＝90°，‎ 又|F‎1F2|＝‎2c，‎ ‎∴|MF1|＝c，|MF2|＝c，‎ ‎∴‎2a＝|MF1|＋|MF2|＝c＋c，‎ 得e＝＝＝－1.‎ 答案：－1‎ ‎9．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为.过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与椭圆C相交于A，B两点．若＝3，则k＝________.‎ 解析：根据已知＝，可得a2＝c2，则b2＝c2，故椭圆方程为＋＝1，即3x2＋12y2－‎4c2＝0.设直线的方程为x＝my＋c，代入椭圆方程得(‎3m2‎＋12)y2＋6mcy－c2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则根据＝3，得(c－x1，－y1)＝3(x2－c，y2)，由此得－y1＝3y2，根据韦达定理y1＋y2＝－，y1y2＝－，把－y1＝3y2代入得，y2＝，－3y＝－，故‎9m2‎＝m2＋4，故m2＝，从而k2＝2，k＝±.又k>0，故k＝.‎ 答案： 三、解答题 ‎10．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，点P在椭圆上．‎ ‎(1)求椭圆的离心率；‎ ‎(2)设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点，若点Q在椭圆上且满足|AQ|＝|AO|，求直线OQ的斜率．‎ 解：(1)因为点P在椭圆上，故＋＝1，可得＝.‎ 于是e2＝＝1－＝，‎ 所以椭圆的离心率e＝.‎ ‎(2)设直线OQ的斜率为k，则其方程为y＝kx.设点Q的坐标为(x0，y0)．由条件得 消去y0并整理得x＝.①‎ 由|AQ|＝|AO|，A(－a,0)及y0＝kx0得，‎ ‎(x0＋a)2＋k2x＝a2，‎ 整理得(1＋k2)x＋2ax0＝0.‎ 而x0≠0，故x0＝.‎ 代入①，整理得(1＋k2)2＝4k2·＋4.由(1)知＝，故(1＋k2)2＝k2＋4，‎ 即5k4－22k2－15＝0，可得k2＝5.‎ 所以直线OQ的斜率k＝±.‎ ‎11．(2014·北京卷)已知椭圆C：x2＋2y2＝4.‎ ‎(1)求椭圆C的离心率；‎ ‎(2)设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．‎ 解：(1)由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1.‎ 所以a2＝4，b2＝2，所以c2＝a2－b2＝2.‎ 因此a＝2，c＝.‎ 故椭圆C的离心率e＝＝.‎ ‎(2)设点A，B的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中x0≠0.‎ 因为OA⊥OB，所以·＝0，即tx0＋2y0＝0，解得t＝－.‎ 又x＋2y＝4，‎ 所以|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2‎ ‎＝2＋(y0－2)2＝x＋y＋＋4‎ ‎＝x＋＋＋4‎ ‎＝＋＋4(0b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：‎ 令c＝.如图，据题意，|F2P|＝|F‎1F2|，∠F1PF2＝30°，∴∠F‎1F2P＝120°，‎ ‎∴∠PF2x＝60°，‎ ‎∴|F2P|＝2＝‎3a－‎2c.‎ ‎∵|F‎1F2|＝‎2c，∴‎3a－‎2c＝‎2c，‎ ‎∴‎3a＝‎4c，∴＝，‎ 即椭圆的离心率为.‎ 答案：C ‎2．已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与圆C2：x2＋y2＝b2，若在椭圆C1上存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：椭圆上长轴端点向圆外引两条切线P′A，P′B ‎，则两切线形成的角∠AP′B最小，若椭圆C1上存在点P使切线互相垂直，则只需∠AP′B≤90°，即α＝∠AP′O≤45°.‎ ‎∴sinα＝≤sin45°＝，解得a2≤‎2c2，‎ ‎∴e2≥，即e≥，而0b>0)的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于________．‎ 解析：由题可知直线AB方程为x＝c，则A(c，)，B(c，)，|AB|＝.‎ ‎∵AB⊥x轴，OD⊥x轴，∴AB∥OD，又O为F‎1F2中点，∴D为F1B中点，又AD⊥F1B，∴|AF1|＝|AB|，则＝，整理得‎4a2c2＋b4＝4b4.‎ ‎∴‎2ac＝b2＝(a2－c2)‎ c2＋‎2ac－a2＝0‎ e2＋2e－＝0‎ ‎(e－1)(e＋)＝0，解得e＝.‎ 答案： ‎4．(2014·江苏卷)‎ 如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F‎1C.‎ ‎(1)若点C的坐标为(，)，且BF2＝，求椭圆的方程；‎ ‎(2)若F‎1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．‎ 解：(1)由题意，F2(c,0)，B(0，b)，|BF2|＝＝a＝，又C(，)，∴＋＝1，‎ 解得b＝1，∴椭圆方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)直线BF2方程为＋＝1，与椭圆方程＋＝1联立方程组，解得A点坐标为(，－)，则C点坐标为(，)，kF‎1C＝＝，又kAB＝－，由F‎1C⊥AB得·(－)＝－1，即b4＝‎3a2c2＋c4，∴(a2－c2)2＝‎3a2c2＋c4，化简得e＝＝.‎