黑龙江省安达七中2020届高三上学期寒假考试（6）数学试卷 11页

数学试卷六 ‎ 一、选择题 ‎1.已知集合，则为（ ）‎ A. B． C． D．‎ ‎2.秦九韶算法的先进性主要体现在减少运算次数，下列说法正确的是（ ）‎ A．可以减少加法运算次数 B．可以减少乘法运算次数 C．同时减少加法和乘法的运算次数 D．加法次数和乘法次数都有可能减少 ‎3.设满足约束条件，则的最大值为（ ）‎ A．41 B．5 C．25 D．1‎ ‎4.现将甲、乙、丙、丁四个人安排到座位号分别是1,2,3,4的四个座位上，他们分别有以下要求，‎ 甲：我不坐座位号为1和2的座位；‎ 乙：我不坐座位号为1和4的座位；‎ 丙：我的要求和乙一样；‎ 丁：如果乙不坐座位号为2的座位，我就不坐座位号为1的座位.‎ 那么坐在座位号为3的座位上的是（ ）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎5.某四棱锥的三视图如图所示，其中，且.若四个侧面的面积中最小的为，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6.将6名留学归国人员分配到济南、青岛两地工作，若济南至少安排2人，青岛至少安排3人，则不同的安排方法数是( 　　)‎ A．120 B．150 C．35 D．65‎ ‎7.已知圆与双曲线的渐近线相切，且圆心C恰好是双曲线E的一个焦点，则双曲线E的标准方程是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎8.如图，是半径为1的圆O的两条直径，，则的值是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎9.将函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度得到的图象，则函数的单调递增区间为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎10.如图,已知一个八面体的各条棱长为1,四边形为正方形,下列说法 ‎① 该八面体的体积为;‎ ‎② 该八面体的外接球的表面积为;‎ ‎③ E到平面的距离为;‎ ‎④ 与所成角为;‎ 其中不正确的个数为（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎11.已知函数，只有一个零点，且，则a的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 二、填空题 ‎12.设随机变量X服从正态分布，若，则实数______.‎ ‎13.已知，则_______．‎ ‎14.已知数列为等差数列，为数列的前n项和，若，，则的取值范围是____.‎ ‎15.已知F是抛物线的焦点，点，点P是上任意一点，当点P在时，取得最大值，当点P在时，取得最小值.则__________．‎ 三、解答题 ‎16.已知函数 ‎(1)求在上的单调递增区间；‎ ‎(2)在中，分别是角的对边，A为锐角，若， 且的面积为，求的最小值.‎ ‎17.为评估M 设备生产某种零件的性能，从该设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：‎ 直径/‎ ‎78‎ ‎79‎ ‎81‎ ‎82‎ ‎83‎ ‎84‎ ‎85‎ ‎86‎ ‎87‎ ‎88‎ ‎89‎ ‎90‎ ‎91‎ ‎93‎ 合计 件数 ‎1‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎19‎ ‎33‎ ‎18‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎100‎ 经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.‎ ‎（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（P表示相应事件的频率）：‎ ‎① ；② ；③ ，评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁.试判断M设备的性能等级.‎ （2） 将直径小于等于的零件或直径大于等于的零件认定为是“次品”，将直径小于等于的零件或直径大于等于的零件认定为是“突变品”，从样本的“次品”中随意抽取2件零件，求“突变品”个数Y的数学期望.‎ ‎18.已知两点在抛物线上，点满足.‎ ‎（1）若线段，求直线的方程；‎ ‎（2）设抛物线C过两点的切线交于点N．求证：点N在一条定直线上．‎ ‎19.已知四棱锥中，底面.‎ ‎（1）当变化时，点C到平面的距离是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；‎ ‎（2）当直线与平面所成的角为时，求二面角的余弦值.‎ ‎20.已知函数 ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）若存在，使得，求证：．‎ ‎21.在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M的极坐标方程为，若极坐标系内异于O的三点,在曲线M上.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若过两点直线的参数方程为为参数，求四边形的面积.‎ ‎22.已知设函数 ‎（1）若，求不等式的解集；‎ ‎（2）若函数的最小值为1,证明： ‎ 参考答案 ‎1.答案：C 解析：‎ ‎2.答案：B 解析：‎ ‎3.答案：A 解析：‎ ‎4.答案：C 解析：‎ ‎5.答案：B 解析：‎ ‎6.答案：C 解析：6名留学归国人员分配到济南、青岛两地工作．‎ 若济南至少安排 2人，青岛至少安排3 人，分两类， ‎ 第一类，青岛安排3 人，济南安排3人，有种， ‎ 第二类，青岛安排4人，济南安排2 人，有种， ‎ 根据分类计数原理可得种．  故选：C．‎ ‎7.答案：B 解析：‎ ‎8.答案：B 解析：‎ ‎9.答案：C 解析：‎ ‎10.答案：C 解析：‎ ‎11.答案：A 解析：‎ ‎12.答案：‎ 解析：‎ ‎13.答案：3‎ 解析：‎ ‎14.答案：‎ 解析：‎ ‎15.答案：‎ 解析： ‎ ‎16.答案：(1) ‎ ‎，‎ 由可得：.‎ 设，‎ 则，故在上的单调递增区间为.‎ ‎(2)由可得：，‎ 化简可得：，又，解得：.‎ 由题意可得：，解得：.‎ ‎，当且仅当时等号成立.‎ 故的最小值为.‎ 解析： ‎ ‎17.答案：（1），‎ ‎，‎ ‎ .‎ 因为设备的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙.‎ ‎（2）由题意可知，样本中次品个数为6，突变品个数为2，‎ ‎“突变品”个数Y的可能取值为.‎ ‎，，.‎ 所以Y分布列为：‎ Y ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎.‎ 解析： ‎ ‎18.答案：（1）设，则．‎ 因为E到点A，与点B的斜率之积为，‎ 所以，整理得C的方程为． ‎ ‎（2）当l垂直于轴时，l的方程为，‎ 代入得， ．‎ ‎． ‎ 当l不垂直于轴时，依题意可设，‎ 代入得．‎ 因为，设， ．‎ 则， ．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 综上，当l垂直于轴时等号成立，‎ 故的最大值是．‎ 解析： ‎ ‎19.答案：（1）由知，则，‎ 由面，面，得，‎ 由，面，‎ 则面，‎ 则点C到平面的距离为一个定值，.‎ ‎（2）由面为在平面上的射影，则为直线与平面 所成的角，则，所以.‎ 由得，‎ 故直线两两垂直，‎ 因此，以点A为坐标原点，以所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，‎ 易得，‎ 于是，‎ 设平面的法向量为，‎ 则，即，取，‎ 则，于是；‎ 显然为平面的一个法向量，‎ 于是，‎ 分析知二面角的余弦值为.‎ 解析：‎ ‎20.答案：（1）．‎ 令，则，解得．‎ ‎∴ ．‎ ‎，‎ ‎∴ 时，函数取得极小值即最小值，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴函数在R上单调递增．‎ ‎（2）由（1）可得：函数在R上单调递增．‎ 要证明：，‎ 又，因此，‎ 即，则．‎ 令 ‎，．‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴ 在上单调递增．‎ ‎∴ ，‎ ‎∴ 函数在上单调递增．‎ ‎∴ ，因此结论成立．‎ 解析： ‎ ‎21.答案：（1）由，‎ 则；‎ ‎（2）由曲线的普通方程为：，‎ 联立直线的参数方程得：‎ 解得；平面直角坐标为：‎ 则；又得.‎ 即四边形面积为为所求.‎ 解析： ‎ ‎22.答案：（1），不等式，‎ 即 当时，‎ 当时，‎ 当时，‎ 解集为 ‎（2）‎ ‎,‎ ‎ ‎ 解析： ‎ ‎ ‎