河北省衡水中学2021届高三数学上学期第一次联考试题（Word版附答案） 9页

河北衡水中学2021届全国高三第一次联合考试 数学试题 ‎2020．9‎ 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）‎ ‎1．设集合A＝，B＝，则AB＝‎ ‎ A．{2} B．{3} C．{2，3} D．{1，2，3}‎ ‎2．若复数，则＝‎ ‎ A．1 B． C． D．4‎ ‎3．某班级要从6名男生、3名女生中选派6人参加社区宣传活动，如果要求至少有2名女生参加，那么不同的选派方案种数为 ‎ A．19 B．38 C．55 D．65‎ ‎4．数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，…称为斐波那契数列，是意大利著名数学家斐波那契于1202年在他撰写的《算盘全书》中提出的，该数列的特点是：从第三项起，每一项都等于它前面两项的和．在该数列的前2020项中，偶数的个数为 ‎ A．505 B．673 C．674 D．1010‎ ‎5．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎6．为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取合并检测法，即将多人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的，若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现对20名密切接触者的拭子样本进行合并检测，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是相互独立的，每人检测结果呈阳性的概率为p，且检测次数的数学期望为20，则p的值为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知未成年男性的体重G（单位：kg）与身高x（单位：cm）的关系可用指数模型来描述，根据大数据统计计算得到a＝2.004，b＝0.0197．现有一名未成年男性身高为110cm，体重为17.5kg．预测当他体重为35kg时，身高约为(ln2≈0.69)‎ ‎ A．155cm B．150cm C．145cm D．135cm ‎8．已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，M为CC1的中点，点N在侧面ADD1A1内，若BM⊥A1N．则△ABN面积的最小值为 9‎ ‎ A． B． C．1 D．5‎ 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）‎ ‎9．已知，则＝‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，过焦点的直线l与抛物线C相交于A(，)，B(，)两点，则下列说法定正确的是 ‎ A．的最小值为2 B．线段AB为直径的圆与直线x＝﹣1相切 ‎ C．为定值 D．若M(﹣1，0)，则∠AMF＝∠BMF ‎11．已知是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x＝1对称，则 A． B．在区间(﹣2，0)上单调递增 C．有最大值 D．是满足条件的一个函数 ‎12．若存在实数t，对任意的x(0，s]，不等式恒成立．则s的值可以为 ‎ A． B． C． D．‎ 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）‎ ‎13．已知F1，F2为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，且，则△PF1F2的面积为 ．‎ ‎14．已知实数a，b(，)，且满足，则a，b，的大小关系是 ．‎ ‎15．数学多选题有A，B，C，D四个选项，在给出选项中，有多项符合题目要求全都选 9‎ 对的得5分，部分选对的得3分，有选错的不得分，已知某道数学多选题正确答案为B，D，小明同学不会做这道题目，他随机地填涂了至少一个选项，则他能得分的概率为 ．‎ ‎16．在三棱锥P—ABC中，PA⊥AB，PA＝4，AB＝3，二面角P—AB—C的大小为30°，在侧面△PAB内（含边界）有一动点M，满足M到PA的距离与M到平面ABC的距离相等，则M的轨迹的长度为 ．‎ 四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 在①对任意n＞1，满足，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．‎ 问题：已知数列的前n项和为，， ，若数列是等差数列，求数列的通项公式；若数列不一定是等差数列，说明理由．‎ ‎（注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分）‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 振华大型电子厂为了解每位工人每天制造某种电子产品的件数，记录了某天所有工人每人的制造件数，并对其进行了简单随机抽样统计，统计结果如下：‎ 制造电子产品的件数 ‎[40，50)‎ ‎[50，60)‎ ‎[60，70)‎ ‎[70，80)‎ ‎[80，90)‎ ‎[90，100)‎ 工人数 ‎（1）若去掉[70，80)内的所有数据，则件数的平均数减少2到3（即大于等于2，且小于3），试求样本中制造电子产品的件数在[70，80)的人数x的取值范围；（同一区间数据用该组区间数据的中点值作代表）‎ ‎（2）若电子厂共有工人1500人，且每位工人制造电子产品的件数X~N(70，112)，试估计制造电子产品件数小于等于48件的工人的人数．‎ 附：若X~N(，)，则P()≈0.68，P()≈0.96．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，OB·sin∠ABD＝OD·sin∠ADB，∠‎ 9‎ ABC＝，AB＝3BC＝3．‎ ‎（1）求sin∠DAC；‎ ‎（2）若∠ADC＝，求四边形ABCD的面积．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为菱形，平面PAC⊥底面ABCD，PA＝PC＝AC．‎ ‎（1）证明：AC⊥PB；‎ ‎（2）若PB与底面所成的角为45°，求二面角B—PC—A的余弦值．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知椭圆C的焦点在x轴上，并且经过点(0，1)，离心率为．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）动直线l与圆O：x2＋y2＝1相切于点M，与椭圆C相交于A，B两点，线段AB的中点为D，求△OMD面积的最大值，并求此时点D的坐标．‎ 9‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）求函数在x＝1处的切线方程；‎ ‎（2）证明：（i）；（ii）任意，．‎ 9‎ 9‎ 9‎ 9‎ 9‎