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  • 2021-06-15 发布

2017-2018学年四川省绵阳南山中学高二上学期期中考试数学(文)试题(解析版)

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‎2017-2018学年四川省绵阳南山中学高二上学期期中考试数学(文)试题 一、单选题 ‎1.若, ,则两点间的距离为( )‎ A. B. 25 C. 5 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】A(1,3,-2)、B(-2,3,2),则A、B两点间的距离为 ‎ 故选C ‎2.直线的方程为,则直线的倾斜角为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由直线l的方程为x+3y-1=0,可得直线的斜率为,设直线的倾斜角为α(0°≤α<180°),则tanα= ,,∴α=150°. 故选:D.‎ ‎3.抛物线的准线方程是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】【考点】抛物线的简单性质.‎ 专题:计算题.‎ 分析:先根据抛物线方程的标准形式,再根据抛物线的性质求出其准线方程即可.‎ 解答:解:抛物线的方程为抛物线x2=-8y,故p=4,‎ 其准线方程为y=2;‎ 故选B 点评:本题考查抛物线的简单性质,解题关键是记准抛物线的标准方程,别误认为p=-4,因看错方程形式马虎导致错误.‎ ‎4.已知是椭圆的两个焦点,焦距为4.过点的直线与椭圆相交于两点,的周长为32,则椭圆的离心率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】焦距为4即 ;的周长为32,即 ‎ ‎ 所以椭圆的离心率为 ‎ 故选A ‎5.若实数满足,则曲线与曲线的( )‎ A. 实轴长相等 B. 虚轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 ‎【答案】D ‎【解析】当0<k<9,则0<9-k<9,16<25-k<25,即曲线,表示焦点在x轴上的双曲线,其中a2=25,b2=9-k,c2=34-k,曲线表示焦点在x轴上的双曲线,其中a2=25-k,b2=9,c2=34-k,即两个双曲线的焦距相等, 故选:D.‎ ‎6.已知双曲线经过圆与轴的两个交点,且双曲线的离心率,则此双曲线的标准方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】圆与轴的两个交点为A,B,令,则,‎ 即双曲线经过A,所以焦点在轴上,且 ,又双曲线的离心率,所以,则 ,双曲线的方程为 ‎ 故选B ‎7.光线自点射到后被轴反射,则反射光线所在的直线与圆: ( )‎ A. 相离 B. 相切 C. 相交且过圆心 D. 相交但不过圆心 ‎【答案】D ‎【解析】∵点M(2,3)关于x轴对称点是(2,-3),∴反射光线过(1,0)和(2,-3), ∴反射光线的方程: ,即3x+y-3=0.圆x2+(y-4)2=1的圆心是(0,4),半径r=1,∵圆心(0,4)到直线3x+y-3=0的距离 ‎ ‎∴反射光线3x+y-3=0与圆C:x2+(y-4)2=1相交但不过圆心. 故选D.‎ ‎8.已知抛物线,过点作倾斜角为的直线,若直线与抛物线交于两点,则弦的中点的横坐标为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意,直线l方程为: 代入抛物线y2=8x整理得:3x2-12x+12=8x ∴3x2-20x+12=0,设B(x1,y1)、C(x2,y2),∴弦BC的中点P到y轴的距离,‎ 故选A ‎9.已知是双曲线: 的一条渐近线, 是上的一点, 分别是的左右焦点,若,则点到轴的距离为( )‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】双曲线: 的 即有设渐近线l的方程为y= x,且P(m, m) 则则P到x轴的距离为|m|=2‎ 故选A ‎10.过点作圆的两条切线,切点分别为,则直线的方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,所以圆的一条切线方程为y=1,切点之一为(1,1),显然A、D选项不过(1,1),A、D不满足题意;另一个切点的坐标在(1,-1)的右侧,所以切线的斜率为负,选项C不满足,B满足. 故选B.‎ 点睛:本题考查直线与圆的位置关系,圆的切线方程求法,可以直接解答,本题的解答是间接法,值得同学学习.由题意判断出切点(1,1)代入选项排除A、D ‎,推出令一个切点判断切线斜率,得到选项即可.‎ ‎11.若方程有实数解,则实数的取值范围是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】方程 有实数解转化为 与 图像有交点,‎ 即 表示等轴双曲线轴上方的部分, 表示平行直线系,斜率都为2;把向左平移到 处, 有最小值,即,故;把向右平移到与双曲线相切时m有最小值, 得m,由题意可得与右支相切时,故 ‎ 综上:实数m的取值范围是 故选C 点睛:本题考查了函数与方程的问题,常转化为两个函数有交点,研究具体函数的性质图像,注意图像的准确性,动直线的变化规律要掌握清,关键是要注意 表示双曲线的一部分.‎ ‎12.已知,点的坐标为,点分别在图中抛物线及圆的实线部分上运动,且总是平行于轴,那么的周长的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】抛物线的准线l:x=-1,焦点F(1,0),由抛物线定义可得|AF|=xA+1,∴△FAB 的周长=|AF|+|AB|+|BF|=xA+1+(xB-xA)+2=3+xB,由抛物线y2=4x及圆(x-1)2+y2=4可得交点的横坐标为1∴xB∈(1,3)∴3+xB∈(4,6) 故选B 点睛:本题考查抛物线的定义,考查抛物线与圆的位置关系,由抛物线定义可得|AF|=xA+1,从而△FAB的周长=|AF|+|AB|+|BF|=xA+1+(xB-xA)+2=3+xB,确定B点横坐标的范围是关键.‎ 二、填空题 ‎13.直线与直线互相垂直,则实数等于________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】直线与直线互相垂直, , ‎ 故答案为2‎ ‎14.执行如图的程序框图,如果输入,则输出的_________. ‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】由图可以看出,循环体被执行4次,第n次执行,对S作的运算就是加进n,即.‎ 故答案为10 ‎ ‎15.双曲线的离心率为,则__________.‎ ‎【答案】-9‎ ‎【解析】双曲线=1,则 故答案为-9‎ ‎16.已知抛物线的焦点为, 关于原点的对称点为,过作 轴的垂线交抛物线于两点,给出下列五个结论:‎ ‎①必为直角三角形;‎ ‎②必为等边三角形;‎ ‎③直线必与抛物线相切;‎ ‎④直线必与抛物线相交;‎ ‎⑤的面积为.‎ 其中正确的结论是__________.‎ ‎【答案】①③⑤‎ ‎【解析】抛物线的焦点为, 过作轴的垂线交抛物线于两点,则, 则F为MN的中点,且|PF|=,∴△PMN为直角三角形,易得|PM|≠|MN|,故①正确,②不正确;直线PM的方程为y=x+, 与抛物线y2=2px联立消去x,得y2-2py+p2=0,△=4p2-4p2=0,∴直线PM与抛物线相切,故③正确,④不正确. 的面积为, ⑤正确 故答案为①③⑤‎ 点睛:本题考查命题的真假判断与应用,着重考查抛物线的标准方程与几何性质,考查作图、分析与综合运算能力,考查转化思想与方程思想,利用斜边中线长等于斜边的一半判断此三角形是直角三角形.‎ 三、解答题 ‎17.直线经过两直线与的交点,且与直线: 平行.‎ ‎(1)求直线的方程;‎ ‎(2)若点到直线的距离与直线到直线的距离相等,求实数的值.‎ ‎【答案】(1)(2)或.‎ ‎【解析】试题分析:(1)联立方程组求得两直线的交点坐标,由直线l1:x+y-6=0的斜率求得直线l的斜率,然后代入直线的点斜式方程得答案;(2)直接由点到直线的距离公式求得a的值.‎ 试题解析:‎ ‎(1)解得,即交点坐标为.‎ ‎∵直线: 的斜率为,‎ ‎∴直线的斜率为 ‎∴直线的方程为,即.‎ ‎(2)由题知,‎ 整理得,‎ 解得或.‎ ‎18.已知的三顶点坐标分别为: .‎ ‎(1)求的外接圆的标准方程;‎ ‎(2)已知过的直线被的外接圆截得的弦长为,求直线的方程.‎ ‎【答案】(1)(2)或.‎ ‎【解析】试题分析:(1)已知圆上三个点的坐标求圆的方程可以采用一般式方程,设外接圆的方程: 则有,解得即可(2)过的直线被的外接圆截得的弦长为,转化为圆心到直线的距离,①当直线的斜率不存在时, 符合题意②当直线的斜率存在时设直线: ,根据点到直线的距离公式得解.‎ 试题解析:‎ ‎(1)设外接圆的方程: ‎ 则有,解之得,‎ 则外接圆的方程: ,即.‎ ‎(2)由(1)及题意知圆心到直线的距离 ‎①当直线的斜率不存在时, 符合题意 ‎②当直线的斜率存在时设直线: 即 ‎∴解之得,‎ ‎∴,即 综上,直线的方程为或.‎ ‎19.设抛物线: , 为的焦点,过的直线与相交于两点.‎ ‎(1)设的斜率为1,求;‎ ‎(2)求证: 是一个定值.‎ ‎【答案】(1) (2)见解析 ‎【解析】试题分析:(1)把直线的方程与抛物线的方程联立,利用根与系数的关系及抛物线的定义、弦长公式即可得出;(2)把直线的方程与抛物线的方程联立,利用根与系数的关系、向量的数量积即可得出;‎ 试题解析:‎ ‎(1)解:∵由题意可知抛物线的焦点为,准线方程为,‎ ‎∴直线的方程为 设,由 得,‎ ‎∴,‎ 由直线过焦点,则.‎ ‎(2)证明:设直线的方程为,‎ 由得 ‎∴, ‎ ‎,‎ ‎∵,‎ ‎,‎ ‎∴是一个定值.‎ 点睛:熟练掌握直线与抛物线的相交问题的解题模式、根与系数的关系及抛物线的定义、过焦点的弦长公式、向量的数量积是解题的关键,考查计算能力,直线方程设成也给解题带来了方便.‎ ‎20.已知焦点在轴上的椭圆,其焦距为,长轴长为.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)是坐标原点,直线: 与椭圆C交于不同的两点,求面积的最大值.‎ ‎【答案】(1) (2)‎ ‎【解析】试题分析:(1) 焦点在轴上,设椭圆的方程为,由题意得,即得a,c即可得方程;(2)由整理得,设,则,表示弦长及到的距离,‎ 则利用均值不等式即求解.‎ 试题解析:‎ ‎(1)∵焦点在轴上,‎ ‎∴设椭圆的方程为 由题意得,∴ ‎ ‎∴‎ ‎∴所求椭圆的方程为.‎ ‎(2)由整理得,‎ 设,‎ 则 ‎∴,‎ 又到的距离 ‎,‎ ‎(当且仅当即时取等号)‎ ‎∴所求面积的最大值为.‎ 点睛:本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次的根与系数、点到直线的距离公式,考查了推理能力与计算能力,最后求面积的最值涉及分式求最值的类型,通常用均值不等式,分离常数,换元,求导等方法.‎

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