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  • 2021-06-15 发布

2018-2019学年吉林省长春市第十一高中高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版

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长春市第十一高中2018-2019学年度高二上学期期末考试 数学 试 题(理科)‎ 第I卷(共60分)‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.‎ ‎1.复数(是虚数单位)在复平面内对应的点位于( )‎ A. 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎2.用反证法证明“三个实数中最多只有一个是正数”,下列假设正确的是( )‎ A.有两个数是正数 B.这三个数都是负数 ‎ C.至少有两个数是负数 D.至少有两个数是正数 ‎3.若向量,,是空间的一个基底,向量,,那么可以与,构成空间的另一个基底的向量是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.下列说法错误的是( )‎ A.命题:“”,则:“”‎ B.命题“若,则”的否命题是真命题 C.若为假命题,则为假命题 D. 若是的充分不必要条件,则是的必要不充分条件 ‎5.下列推理不属于合情推理的是( )‎ A.由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质 B.由铜、铁、铝、金、银等金属能导电,得出一切金属都能导电 C.两条直线平行,同位角相等,若与是两条平行直线的同位角,则 D.在数列中,,,猜想的通项公式 ‎6.如图所示,在平行六面体中,为与的交点,若, ‎ ‎,,则下列向量中与相等的向量是(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎7.椭圆的焦点为,点在椭圆上,若,则的面积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.已知函数,其导函数的图象如图所示,则( )‎ A.在上为减函数 B.在处取极小值 ‎ C.在处取极大值 D.在上为减函数 ‎9.执行右图所示的程序框图,如果输入的,则输出的等于( )‎ A.3 B. C. D. ‎ ‎10.用数学归纳法证明:‎ ‎“”.从 ‎“到”左端需增乘的代数式为( )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎11.已知点,抛物线的焦点为,射线与抛物线相交于点,与其准线相交于点,则=( )‎ A. B. C. D.‎ 12. 已知函数与的图象上存在关于轴对称的点,‎ 则的取值范围是( )‎ ‎ A. B.‎ ‎ C. D.‎ 第II 卷(共90分)‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.定积分 .‎ ‎14.若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的,则该双曲线的离心率为 . ‎ ‎15.已知函数在区间上不是单调函数,则实数的取值范围是 . ‎ ‎16.如图所示,在三棱锥中,,且,分别是的中点.则异面直线与所成角的余弦值为 .‎ 三、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(本小题满分10分)‎ 已知,,其中.‎ ‎(1)若,且为真,求的取值范围;‎ ‎(2)若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 已知抛物线的焦点为,抛物线上的点到准线的距离为.‎ ‎(1)求抛物线的标准方程;‎ ‎(2)设直线与抛物线的另一交点为,求的值.‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 若函数,当时,函数有极值.‎ ‎(1)求函数的解析式及在点处的切线方程;‎ ‎(2)若方程有3个不同的根,求实数的取值范围.‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 如图,在四棱锥中,⊥平面,四边形是菱形,,,且交于点,是上任意一点.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)若为的中点,且二面角的余弦值为,求与平面所成角的正弦值.‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 已知椭圆:上的点到焦点的最大距离为3,离心率为.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)设直线:与椭圆交于不同两点,与轴交于点,且满足,若,求实数的取值范围.‎ ‎22.(本小题满分12分)‎ 已知为函数的导函数,且.‎ ‎(1)判断函数的单调性;‎ ‎(2)若,讨论函数零点的个数.‎ 长春市十一高中2018-2019学年度高二上学期期末考试 数学(理)参考答案 一、 选择题(每小题5分,共60分)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ B D C C C D A D C B C C 二、填空题(每小题5分,共20分)‎ ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解:(1)由,解得,所以;‎ 又 ,因为,解得,所以.‎ 当时,,又为真,都为真,所以. (5分)‎ ‎(2)由是的充分不必要条件,即,,其逆否命题为,由(1),,所以,‎ 即: (10分)‎ ‎18.解:(1)由题意,消去得,因为,解得,所以,所以抛物线标准方程为. (5分) ‎ ‎(2)因为,,所以,直线的方程为,‎ 联立方程得方程组,消去得,解得或,将代入,解得,由焦半径公式,又 所以. (12分)‎ ‎19.解:(1),由题意得,解得 故所求函数的解析式为. (3分)‎ ‎, ,在点处的切线方程为: ,即. (6分)‎ ‎(2)由(1)可得,令,得或.‎ 当变化时, , 的变化情况如下表:‎ 因此,当时, 有极大值,当时, 有极小值,‎ 所以函数的图象大致如图所示.‎ 若有个不同的根,则直线与函数的图象有个交点,所以. (12分)‎ ‎20.解:(1)因为DP⊥平面ABCD,所以DP⊥AC,‎ 因为四边形ABCD为菱形,所以BD⊥AC,又BD∩PD=D,∴AC⊥平面PBD,因为DE⊂平面PBD,∴AC⊥DE. (4分)‎ ‎(2)连接OE,在△PBD中,EO∥PD,‎ 所以EO⊥平面ABCD,分别以OA,OB,OE所在直线为x轴,y轴,z轴,‎ 建立如图所示的空间直角坐标系, (5分)‎ 设PD=t,则A(1,0,0),B(0,,0),C(﹣1,0,0),‎ E(0,0,),P(0,﹣,t).‎ 设平面PAB的一个法向量为(x,y,z),‎ 则 ,令,得,‎ 平面PBD的法向量(1,0,0),‎ 因为二面角A﹣PB﹣D的余弦值为,所以 ,‎ 所以或(舍), (9分)‎ 则 ‎ ‎∴,∴EC与平面PAB所成角的正弦值为.‎ ‎(12分)‎ ‎21.解:(1)由已知,解得,所以,所以椭圆的标准方程为.(4分)‎ ‎(2)由已知,设,联立方程组,消得,由韦达定理得 ①② ‎ 因为,所以,所以③,将③代入①②‎ ‎,,消去得,所以 ‎. (9分)‎ 因为,所以,即,‎ 解得,所以,或. (12分)‎ ‎22.解:(1)对,求导可得 ‎,所以,于是,所以,所以,于是在上单调递增,注意到, (3分)‎ 故时, 单调递减, 时, 单调递增. (4分)‎ ‎(2)由(1)可知,‎ 由,得或,‎ 若,则,即,‎ 设 ‎ 所以在上单调递增,在上单调递减,‎ 分析知时, 时, ,时,,‎ ‎(8分)‎ 现考虑特殊情况:‎ 若直线与相切,‎ 设切点为,则 ,整理得,‎ 设,显然在单调递增,‎ 而,故,此时.‎ 结合图形不难得到如下的结论:‎ 当时, 有一个零点;‎ 当或时, 有两个零点,‎ 当时, 有三个零点. (12分)‎ 注:可用分离参数方法

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