2018-2019学年吉林省长春市第十一高中高二上学期期末考试数学（理）试题 Word版 10页

长春市第十一高中2018-2019学年度高二上学期期末考试 数学 试 题（理科）‎ 第I卷（共60分）‎ 一、选择题：本题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.‎ ‎1.复数（是虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎2.用反证法证明“三个实数中最多只有一个是正数”，下列假设正确的是（ ）‎ A.有两个数是正数 B.这三个数都是负数 ‎ C.至少有两个数是负数 D.至少有两个数是正数 ‎3．若向量，，是空间的一个基底，向量，，那么可以与，构成空间的另一个基底的向量是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.下列说法错误的是（ ）‎ A．命题：“”，则：“”‎ B．命题“若,则”的否命题是真命题 C．若为假命题，则为假命题 D. 若是的充分不必要条件，则是的必要不充分条件 ‎5.下列推理不属于合情推理的是（ ）‎ A.由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质 B.由铜、铁、铝、金、银等金属能导电，得出一切金属都能导电 C.两条直线平行，同位角相等，若与是两条平行直线的同位角，则 D.在数列中，，，猜想的通项公式 ‎6．如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若， ‎ ‎，，则下列向量中与相等的向量是(　　)‎ A． B. ‎ C. D．‎ ‎7.椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，则的面积为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎8．已知函数，其导函数的图象如图所示，则( )‎ A．在上为减函数 B．在处取极小值 ‎ C．在处取极大值 D．在上为减函数 ‎9.执行右图所示的程序框图,如果输入的,则输出的等于（ ）‎ A.3 B. C. D. ‎ ‎10.用数学归纳法证明：‎ ‎“”．从 ‎“到”左端需增乘的代数式为（ ）‎ A. B． ‎ C． D．‎ ‎11．已知点，抛物线的焦点为,射线与抛物线相交于点，与其准线相交于点，则=（ ）‎ A． B． C． D．‎ 12. 已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，‎ 则的取值范围是（ ）‎ ‎ A. B.‎ ‎ C. D.‎ 第II 卷（共90分）‎ 二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.定积分 .‎ ‎14.若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的离心率为 . ‎ ‎15.已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是 . ‎ ‎16．如图所示，在三棱锥中，，且，分别是的中点．则异面直线与所成角的余弦值为 .‎ 三、解答题：本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(本小题满分10分）‎ 已知，，其中.‎ ‎（1）若，且为真，求的取值范围；‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．‎ ‎18.(本小题满分12分）‎ 已知抛物线的焦点为，抛物线上的点到准线的距离为．‎ ‎（1）求抛物线的标准方程；‎ ‎（2）设直线与抛物线的另一交点为，求的值.‎ ‎19．(本小题满分12分）‎ 若函数，当时，函数有极值.‎ ‎（1）求函数的解析式及在点处的切线方程；‎ ‎（2）若方程有3个不同的根，求实数的取值范围．‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，⊥平面，四边形是菱形，，，且交于点，是上任意一点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若为的中点，且二面角的余弦值为，求与平面所成角的正弦值．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知椭圆：上的点到焦点的最大距离为3，离心率为.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设直线：与椭圆交于不同两点，与轴交于点，且满足,若，求实数的取值范围.‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 已知为函数的导函数，且.‎ ‎（1）判断函数的单调性；‎ ‎（2）若，讨论函数零点的个数.‎ 长春市十一高中2018-2019学年度高二上学期期末考试 数学（理）参考答案 一、 选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ B D C C C D A D C B C C 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13． 14． 15． 16．‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）由，解得，所以；‎ 又 ，因为，解得，所以.‎ 当时，，又为真，都为真，所以. （5分）‎ ‎（2）由是的充分不必要条件，即，，其逆否命题为，由（1），，所以，‎ 即： （10分）‎ ‎18.解：（1）由题意，消去得，因为，解得，所以，所以抛物线标准方程为. (5分） ‎ ‎（2）因为，,所以,直线的方程为，‎ 联立方程得方程组，消去得，解得或，将代入，解得，由焦半径公式,又 所以. （12分）‎ ‎19.解：（1）,由题意得，解得 故所求函数的解析式为. （3分）‎ ‎， ，在点处的切线方程为： ，即. （6分）‎ ‎（2）由(1)可得，令，得或.‎ 当变化时， ， 的变化情况如下表：‎ 因此，当时， 有极大值，当时， 有极小值，‎ 所以函数的图象大致如图所示．‎ 若有个不同的根，则直线与函数的图象有个交点，所以. （12分）‎ ‎20.解：（1）因为DP⊥平面ABCD，所以DP⊥AC，‎ 因为四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC，又BD∩PD=D，∴AC⊥平面PBD，因为DE⊂平面PBD，∴AC⊥DE． （4分）‎ ‎（2）连接OE，在△PBD中，EO∥PD，‎ 所以EO⊥平面ABCD，分别以OA，OB，OE所在直线为x轴，y轴，z轴，‎ 建立如图所示的空间直角坐标系， （5分）‎ 设PD=t，则A（1，0，0），B（0，，0），C（﹣1，0，0），‎ E（0，0，），P（0，﹣，t）．‎ 设平面PAB的一个法向量为（x，y，z），‎ 则 ，令，得，‎ 平面PBD的法向量（1，0，0），‎ 因为二面角A﹣PB﹣D的余弦值为，所以 ，‎ 所以或（舍）， （9分）‎ 则 ‎ ‎∴，∴EC与平面PAB所成角的正弦值为．‎ ‎（12分）‎ ‎21.解：（1）由已知，解得，所以，所以椭圆的标准方程为.（4分）‎ ‎（2）由已知,设，联立方程组，消得，由韦达定理得 ①② ‎ 因为，所以，所以③，将③代入①②‎ ‎，，消去得，所以 ‎. （9分）‎ 因为，所以，即，‎ 解得，所以，或. （12分）‎ ‎22.解：（1）对，求导可得 ‎，所以，于是，所以，所以，于是在上单调递增，注意到， （3分）‎ 故时， 单调递减， 时， 单调递增. （4分）‎ ‎（2）由（1）可知，‎ 由，得或，‎ 若，则，即，‎ 设 ‎ 所以在上单调递增，在上单调递减，‎ 分析知时， 时， ,时，，‎ ‎（8分）‎ 现考虑特殊情况：‎ 若直线与相切，‎ 设切点为，则 ，整理得，‎ 设，显然在单调递增，‎ 而，故，此时.‎ 结合图形不难得到如下的结论：‎ 当时， 有一个零点；‎ 当或时， 有两个零点，‎ 当时， 有三个零点. （12分）‎ 注：可用分离参数方法