陕西省榆林市绥德县绥德中学2019-2020学年高二下学期期末检测数学（理）试卷 10页

数 学 试 题（理）‎ 第I卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，计60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)‎ 1. 设全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，4}，N={1，3，5}，则N(UM)= （ ）‎ A．{1，3} B．{1，5} C．{3，5} D.{4，5}‎ 2. 已知i是虚数单位，m，nR，且，则= （ ） A．－1 B．1 C．－I D．i 3. a、b、c是空间三条直线，给出下列四个命题，其中真命题的个数是 （ ） ①如果a⊥b，b⊥c，则a∥c； ②如果a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c也是异面直线； ③如果a、b相交，b、c相交，则a、c相交； ④如果a、b共面，b、c共面，则a、c也共面。 A．3 B．2 C．1 D．0‎ 4. 若x，2x+2，3x+3是某个等比数列的连续三项，则x= （ ） A．－4 B．－1 C．1或4 D．－1或－4‎ 5. 已知||=6，与的夹角为，且(+)•(﹣)=－72，||为 （ ） A．4 B．5 C．6 D．14‎ 6. 在期中考试中，高三某班50名学生化学成绩的平均分为85分、方差为8.2，该班某位同学知道自己的化学成绩为95，则下列四个数中不可能是该班化学成绩的是 （ ） A．65 B．75 C．90 D．100‎ 7. 函数的零点个数为 （ ） A．3 B．2 C．1 D．0‎ 8. 若x、y∈R*，且xy=1+(x+y)，则 （ ） A．有最大值为 B．有最大值为 C．有最小值为 D．有最小值为 9. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一卦由六爻组成．其中有一种起卦方法称为“金钱起卦法”，其做法为：取三枚相同的钱币合于双手中，上下摇动数下使钱币翻滚摩擦，再随意抛撒钱币到桌面或平盘等硬物上，如此重复六次，得到六爻．若三枚钱币全部正面向上或全部反面向上，就称为变爻．若每一枚钱币正面向上的概率为 ，则一卦中恰有两个变爻的概率为 （ ） A．‎ ‎ B． C． D．‎ 1. 设是等差数列的前n项和，，则的值为 （ ） A． B． C． D．‎ 2. 若，曲线表示 （ ） A．焦点在x轴上的双曲线 B．焦点在y轴上的双曲线 C．焦点在x轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的椭圆 3. 已知是定义在R上的函数，是的导函数，且满足，设，若不等式对于任意的实数t恒成立，则实数m的取值范围是 （ ） A．(－，0)∪(4，+) B．(0，1) C．(－，－2)(2，+) D．(－2，2)‎ 第II卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题（共4小题,共20分）‎ 4. 学完解析几何和立体几何后，某同学发现自己家碗的侧面可以看做抛物线的一部分曲线围绕其对称轴旋转而成，碗底的直径2m，碗口的直径2n，高度是.他很想知道抛物线的方程，决定把抛物线的顶点确定为原点，对称轴确定为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，请你通过对碗的相关数据的测量以及进一步的计算，帮助他求出抛物线的方程．算出的抛物线标准方程为_________．‎ 5. 已知为R上增函数，且对任意，都有，则=_______． ‎ 6. 一个母线长为2的圆锥侧面展开图为一个半圆，则此圆锥的体积为________．‎ 7. 已知loga＞0，若，则实数x的取值范围为______． ‎ 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。共6小题,共70分）‎ 8. ‎（本小题满分10分）如图，M，N，K分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点． （1）求证：AN∥平面A1MK； （2）‎ 求证：平面A1B1C平面A1MK． ‎ 1. ‎（本小题满分12分）万众瞩目的第14届全国冬季运动运会(简称“十四冬”)于2020年2月16日在呼伦贝尔市盛大开幕，期间正值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校100名教职工在“十四冬”期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查，得到如图频数分布直方图： ‎ ‎（1）若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“冰雪迷”，否则定义为“非冰雪迷”，请根据频率分布直方图补全2×2列联表；并判断能否有90%把握认为该校教职工是否为“冰雪迷”与“性别”有关；‎ ‎（2）在全校“冰雪迷”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“冰雪迷”中选取2名作冰雪运动知识讲座．记其中女职工的人数为ξ，求的ξ分布列与数学期望． 附表及公式： ‎ 2. ‎（本小题满分12分）锐角ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量，，已知，且． （1）求角B； （2）求ABC面积的最大值及此时另外两个边a，c的长．‎ 3. ‎（本小题满分12分）如图所示，某小区为美化环境，准备在小区内草坪的一侧修建一条直路OC，另一侧修建一条休闲大道，已知休闲大道的前一段OD是函数图象的一部分，后一段DBC是函数，‎ 的图象，图象的最高点为，，垂足为F． （1）求函数y=Asin(x+)的解析式； （2）若在草坪内修建如图所示的矩形儿童游乐园PMFE，问点P落在线段OD上何处时，儿童乐园的面积最大？‎ 1. ‎（本小题满分12分）已知两定点，，点M是平面内的动点，且 ，记M的轨迹是C. （1）求曲线C的方程； （2）过点F1(1，0)引直线l交曲线C于Q，N两点，设，点Q关于x轴的对称点为R，证明：直线NR过定点．‎ 2. ‎（本小题满分12分）设函数． （1）当时，求函数的极值； （2）当时，讨论函数的单调性．‎ ‎（理科）数学理科答案 一、单选题（共12小题,共120分）‎ 1. C  2. D 3. D  4.A  5. A  6.A  ‎ ‎7. B  8. B  9. D  10.D 11.A  12. D ‎ 二．填空题（共4小题,共20分）‎ 13. ‎ 设方程为，则将点， 代入抛物线方程可得，可得 ∴抛物线方程为．‎ 14. ‎ 根据题意得，为常数，设，则，； ∴‎ ‎，易知该方程有唯一解，； ∴；∴；‎ ‎15.由题意可知，圆锥的底面周长为. ∴ 圆锥的高 ∴ 圆锥的体积 ‎16.由，得． 由,得． ∴实数的取值范围为．‎ 三．解答题（共7小题,共70分）‎ ‎17.（1）证明：连接KN，由于K、N为CD，C1D1、CD的中点，‎ 所以KN平行且等于AA1，    AA1KN为平行四边形⇒AN∥A1K，而A1K⊂平面A1MK，‎ AN⊄平面A1MK，从而AN∥平面A1MK． ‎ ‎（2）解：连接BC1，由于K、M为AB、C1D1的中点，‎ ‎ 所以KC1 与MB平行且相等， 从而KC1MB为平行四边形，所以MK∥BC1，‎ ‎ 而BC1⊥B1C，BC1⊥A1B1，从而BC1⊥平面A1B1C，‎ ‎ 所以：    ‎ ‎18.（1）解：将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“冰雪迷”，否则定义为“非冰雪迷”， 根据频率分布直方图补全2×2列联表： ‎ ‎   ∴有的把握认为该校教职工是否为“冰雪迷”与“性别”有关．‎ ‎（2）解：在全校“冰雪迷”中按性别分层抽样抽取6名， 则抽中男教工：人，抽中女教工：人， 从这6名“冰雪迷”中选取2名作冰雪运动知识讲座．记其中女职工的人数为，则的可能取值为0，1，2， , ， ， ∴的分布列为： 数学期望．‎ ‎19.（1）解 ∵，∴，‎ 即 ， ‎ ‎ ‎ ‎(2)解：‎ ‎  ∵三角形为锐角三角形 ∴ ∴当即时，取得最大值； 此时      ‎ ‎20. 解：对于函数,由图象，可知， 将代入中， 得，所以， 因为，所以， 所以．‎ ‎(2)解：在中，令，得，所以， 从而得线段OD对应的函数为， 设点， 则矩形的面积 ‎， 所以当时，最大，此时点的坐标为(2，2)． 即点为线段的中点时，儿童乐园的面积最大． ‎ ‎21.（1）：解：两定点， 点是平面内的动点，且， 设，可得， 上式表示到两点的距离之和为4，由， 可得的轨迹为以为焦点的椭圆， 方程为；‎ ‎(2）证明：当为椭圆的上顶点，直线的方程为，联立椭圆方程， 解得，即有，直线的方程为，可令,可得，直线过定点(4，0)。 下面证明一般情况，设直线，则， 联立方程,可得， 解得， (，注意到，即)， 设，可得,于是 ，，又，则，, 解得 ‎ 所以， 则三点共线，因此直线经过定点． ‎ ‎22. （1） 解：函数的定义域为(0，+∞)， 当时， 令，得． 当时，；当时，, ∴在上单调递减，在单调递增， ∴，无极大值．‎ ‎（2） 解：  ,    当，即时，，在上是减函数； 当，即时，令，得或，令,， 当，时与已知矛盾，舍， 综上，当时，在调递减；当时，f(x)在和上单调递减，在上单调递增.‎