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- 2021-06-15 发布
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腾八中2018—2019学年度高二下学期期中考试
文科数学试卷
考试时间:120分钟,总分150分
一.选择题(共12小题)
1.已知全集U={x||x|<2},集合P={x|log2x<1},则∁UP=( )
A.(﹣2,0] B.(﹣2,1] C.(0, 1) D.[1,2)
2.若log2a=0.3,0.3b=2,c=0.32,则实数a,b,c之间的大小关系为( )
A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.b>a>c
3.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )
A.2 B.
C.2 D.2
4.函数f(x)=x2﹣6x+2ex的极值点所在区间为( )
A.(0, 1) B.(﹣1,0) C.(1,2) D.(﹣2,﹣1)
5.如图所示,三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图,给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影),设直角三角形有一个内角为30°,若向弦图内随机抛掷200颗米粒(大小忽略不计,取),则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为( )
A.20 B.27 C.54 D.64
6.已知向量、的夹角为,且,,则=( )
A. B.10 C. D.26
7.已知等比数列{an}的各项均为正数,且3a1,,2a2成等差数列,则=( )
A.1 B.3 C.6 D.9
8.若x、y满足,则目标函数f=x+2y的最大值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
9.△ABC中,(a﹣b)(sinA+sinB)=(c﹣b)sinC.其中a,b,c分别为内角A,B,C
的对边,则A=( )
A. B. C. D.
10.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),若f(x)+f'(x)<0,f(0)=1,则不等式exf(x)<1的解集为( )
A.(﹣∞,0) B.(0,+∞) C.(﹣∞,1) D.(1,+∞)
11.设函数,曲线f(x)在(1,f(1))处的切线方程是( )
A. 5x﹣y﹣4=0 B.3x﹣y﹣2=0 C.x﹣y=0 D.x=1
12.已知点P是椭圆E:=1上的任意一点,AB是圆C:(x﹣2)2+y2=4的一条直径,则的最大值是( )
A.32 B.36 C.40 D.48
二.填空题(共4小题)
13.以直角坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,点A的极坐标为, 则点A的直角坐标为 .
14.实数x,y满足3x2+4y2=12,则2x+y的最大值 .
15.曲线上的点到直线的最大距离为 .
16.若函数f(x)=1+|x|+,则f(lg2)+f(lg)+f(lg5)+f(lg)= .
三.解答题(共6小题)
17.已知等比数列{an}的首项为2,等差数列{bn}的前n项和为Sn,且a1+a2=6,2b1+a3=b4,S3=3a2.
(Ⅰ)求{an},{bn}的通项公式;
(Ⅱ)设,求数列{cn}的前n项和.
18.已知某单位全体员工年龄频率分布表为:
年龄(岁)
[25,30)
[30,35)
[35,40)
[40,45)
[45,50)
[50,55)
合计
人数(人)
6
18
50
31
19
16
140
经统计,该单位35岁以下的青年职工中,男职工和女职工人数相等,且男职工的年龄频率分布直方图和如图:
(Ⅰ)求a;
(Ⅱ)求该单位男女职工的比例;
(Ⅲ)若从年龄在[25,30)岁的职工中随机抽取两人参加某项活动,求恰好抽取一名男职工和一名女职工的概率.
19.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=1,AA1=2,点D是侧棱AA1的中点.
(1)证明:DC1⊥平面BCD;
(2)求三棱锥B1﹣BCD的体积.
20.已知为椭圆上两点,过点P且斜率为k,﹣k(k>0)的两条直线与椭圆M的交点分别为B,C.
(Ⅰ)求椭圆M的方程及离心率;
(Ⅱ)若四边形PABC为平行四边形,求k的值.
21.已知函数f(x)=lnx﹣ax(a∈R).
(Ⅰ)当a=2时,求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)若对于任意的x∈(0,+∞),都有f(x)<0,求a的取值范围.
22.已知在平面直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为,圆C的参数方程为.
(1)求直线l1与圆C的普通方程;
(2)已知动点P在圆C上,动点Q在直线l2:x﹣y﹣2=0上,求线段PQ的取值范围.
高二期中考试数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共13小题)
1.已知全集U={x||x|<2},集合P={x|log2x<1},则∁UP=( )
A.(﹣2,0] B.(﹣2,1] C.(0,1) D.[1,2)
【解答】解:∵全集U={x||x|<2}=(﹣2,2),集合P={x|log2x<1}=(0,2)
∴∁UP=(﹣2,0]
故选:A.
2.若log2a=0.3,0.3b=2,c=0.32,则实数a,b,c之间的大小关系为( )
A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.b>a>c
【解答】解:a=20.3>20=1,b=log0.32<log0.31=0,0<0.32<1;
∴a>c>b.
故选:B.
3.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )
A.2 B. C.2 D.2
【解答】解:由题意,几何体的直观图如图,是正方体的一部分,四棱锥P﹣ABCD,
几何体的表面积为:1×1+=2+.
故选:C.
4.函数f(x)=x2﹣6x+2ex的极值点所在区间为( )
A.(0,1) B.(﹣1,0) C.(1,2) D.(﹣2,﹣1)
【解答】解:f′(x)=2x﹣6+2ex,
∴f′(1)=2﹣6+2e>0,f′(0)=﹣6+2<0,
由f'(0)f'(1)<0,
故f(x)的极值点所在的区间为(0,1),
故选:A.
5.如图所示,三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图,给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影),设直角三角形有一个内角为30°,若向弦图内随机抛掷200颗米粒(大小忽略不计,取),则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为( )
A.20 B.27 C.54 D.64
【解答】解:设大正方体的边长为x,则小正方体的边长为﹣x,
设落在小正方形内的米粒数大约为N,
则=,解得:N≈27
故选:B.
6.已知向量、的夹角为,且,,则=( )
A. B.10 C. D.26
【解答】解:向量、的夹角为,且,,
则===.
故选:A.
7.已知等比数列{an}的各项均为正数,且3a1,,2a2成等差数列,则=( )
A.1 B.3 C.6 D.9
【解答】解:设等比数列{an}的公比为q,则
∵各项均为正数的等比数列{an},3a1,,2a2成等差数列,
∴a3=2a2+3a1,
∴q2﹣2q﹣3=0,
∵q>0,
∴q=3,
=q2=9
故选:D.
8.若x、y满足,则目标函数f=x+2y的最大值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解答】解:作出不等式组对应的平面区域,
由z=x+2y,得y=﹣x+,平移直线y=﹣x+,由图象可知当直线经过点A时,
直线y=﹣x+的截距最小,此时z最小,
由,得A(1,1)
此时z=1+2×1=3.
故选:C.
9.△ABC中,(a﹣b)(sinA+sinB)=(c﹣b)sinC.其中a,b,c分别为内角A,B,C的对边,则A=( )
A. B. C. D.
【解答】解:∵(a﹣b)(sinA+sinB)=(c﹣b)sinC,
由正弦定理可得,(a﹣b)(a+b)=(c﹣b)c,
化简可得,b2+c2﹣a2=bc,
由余弦定理可得,cosA==
∵0<A<π
∴A=
故选:B.
10.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),若f(x)+f'(x)<0,f(0)=1,则不等式exf(x)<1的解集为( )
A.(﹣∞,0) B.(0,+∞) C.(﹣∞,1) D.(1,+∞)
【解答】解:根据题意,令g(x)=exf(x),
其导数g′(x)=exf(x)+exf′(x)=ex[f′(x)+f(x)],
又由对于任意实数x有f′(x)+f(x)<0,则有g′(x)=ex[f′(x)+f(x)]<0,
即函数g(x)在R上为减函数,
又由f(0)=1,则g(0)=e0f(0)=1,
则exf(x)<1⇒g(x)<g(0),
又由函数g(x)在R上为减函数,则有x>0,
即不等式exf(x)<1的解集为(0,+∞);
故选:B.
11.设函数,曲线f(x)在(1,f(1))处的切线方程是( )
A.5x﹣y﹣4=0 B.3x﹣y﹣2=0 C.x﹣y=0 D.x=1
【解答】解:由,得f(1)=f′()﹣2,
由,得f′(x)=,取x=,
可得f′()=f′()﹣2+2f(1),f(1)=1,
代入f(1)=f′()﹣2,得f′()=3,
∴f(x)=3x2﹣2x+lnx,则f′(x)=6x﹣2+.
∴f′(1)=5,
∴曲线f(x)在(1,f(1))处的切线方程是y﹣1=5(x﹣1),即5x﹣y﹣4=0.
故选:A.
12.已知点P是椭圆E:=1上的任意一点,AB是圆C:(x﹣2)2+y2=4的一条直径,则的最大值是( )
A.32 B.36 C.40 D.48
【解答】解:如图所示,设P(x,y),满足=1.
=,=,=,=﹣R2=﹣4,
∴=()•()
=+•()+=﹣4,
=(x﹣2)2+y2﹣4
=(x﹣2)2+﹣4
=﹣4,﹣4≤x≤4.
∴当且仅当x=﹣4时,﹣4=32.
∴的最大值是32.
故选:A.
二.填空题(共4小题)
13.以直角坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,点A的极坐标为,则点A的直角坐标为 (1,) .
【解答】解:∵点A的极坐标为,
∴x=2cos=1,
y=2sin=,
∴点A的直角坐标为(1,).
故答案为:(1,).
14.实数x,y满足3x2+4y2=12,则2x+y的最大值 5 .
【解答】解:根据题意,实数x,y满足3x2+4y2=12,即+=1,
设x=2cosθ,y=sinθ,
则2x+y=4cosθ+3sinθ=5sin(θ+α),(tanα=),
又由﹣1≤5sin(θ+α)≤1,
则﹣5≤2x+y≤5,
即2x+y的最大值5;
故答案为:5.
15.曲线上的点到直线的最大距离为 .
【解答】解:设曲线上的点P(4cosθ,2sinθ),
则曲线上的点到直线的距离:
d=
=,
∴当sin()=﹣1时,
曲线上的点到直线的最大距离为:=.
故答案为:.
16.若函数f(x)=1+|x|+,则f(lg2)+f(lg)+f(lg5)+f(lg)= 6 .
【解答】解:f(x)=1+|x|+,
∴f(﹣x)+f(x)=2+2|x|,
∵lg=﹣lg2,lg=﹣lg5,
∴f(lg2)+f(lg)+f(lg5)+f(lg)=2×2+2(lg2+lg5)=6,
故答案为:6
三.解答题(共6小题)
17.已知等比数列{an}的首项为2,等差数列{bn}的前n项和为Sn,且a1+a2=6,2b1+a3=b4,S3=3a2.
(Ⅰ)求{an},{bn}的通项公式;
(Ⅱ)设,求数列{cn}的前n项和.
【解答】解:(Ⅰ)设数列{an}的公比为q,数列{bn}的公差为d.
由a1+a2=6,得 a1+a1q=6.因为a1=2,所以q=2.
所以.
由得 解得
所以bn=b1+(n﹣1)d=3n﹣2.………..(8分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,bn=3n﹣2.
所以.
从而数列{cn}的前n项和==6×2n﹣2n﹣6..(13分)
18.已知某单位全体员工年龄频率分布表为:
年龄(岁)
[25,30)
[30,35)
[35,40)
[40,45)
[45,50)
[50,55)
合计
人数(人)
6
18
50
31
19
16
140
经统计,该单位35岁以下的青年职工中,男职工和女职工人数相等,且男职工的年龄频率分布直方图和如图:
(Ⅰ)求a;
(Ⅱ)求该单位男女职工的比例;
(Ⅲ)若从年龄在[25,30)岁的职工中随机抽取两人参加某项活动,求恰好抽取一名男职工和一名女职工的概率.
【解答】(本小题13分)
解:(Ⅰ)由男职工的年龄频率分布直方图可得:(a+0.01+0.04+0.08+0.025+0.025)×5=1.
所以a=0.02.
(Ⅱ)该单位[25,35)岁职工共24人,由于[25,35)岁男女职工人数相等,所以[25,35)岁的男职工共12人.
由(Ⅰ)知,男职工年龄在[25,35)岁的频率为0.15,
所以男职工共有人,
所以女职工有140﹣80=60人,
所以男女比例为4:3.
(Ⅲ)由男职工的年龄频率分布直方图可得:男职工年龄在[25,30)岁的频率为0.05.
由(Ⅱ)知,男职工共有80人,所以男职工年龄在[25,30)岁的有4人,分别记为A1,A2,A3,A4.
又全体员工年龄在[25,30)岁的有6人,所以女职工年龄在[25,30)岁的有2人,分别记为B1,B2.
从年龄在25~30岁的职工中随机抽取两人的结果共有(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,A4),(A2,B1),(A2,B2),(A3,A4),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),(B1,B2)15种情况,
其中一男一女的有(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2)8种情况,
所以恰好抽取一名男职工和一名女职工的概率为.
19.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=1,AA1=2,点D是侧棱AA1的中点.
(1)证明:DC1⊥平面BCD;
(2)求三棱锥B1﹣BCD的体积.
【解答】(1)证明:∵ACC1A1是矩形,且AC=1,AA1=2,D是棱AA1的中点,
∴△DAC,△DA1C1均为等腰直角三角形,∴DC1⊥DC.
又∵BC⊥侧面AC1,∴BC⊥DC1.
又∵BC∩DC=C,BC,CD⊂面BCD,
∴DC1⊥平面BCD;
(2)解:∵B1C1∥BC,且BC⊂面BCD,B1C1⊄面BCD,∴B1C1∥面BCD.
∴=.
20.已知为椭圆上两点,过点P且斜率为k,﹣k(k>0)的两条直线与椭圆M的交点分别为B,C.
(Ⅰ)求椭圆M的方程及离心率;
(Ⅱ)若四边形PABC为平行四边形,求k的值.
【解答】(共13分)
解:( I)由题意得解得
所以椭圆M的方程为.
又,
所以离心率.………………………..(5分)
( II)设直线PB的方程为y=kx+m(k>0),
由消去y,整理得(3+4k2)x2+8kmx+(4m2﹣12)=0.
当△>0时,设B(x1,y1),C(x2,y2),
则,即.
将代入y=kx+m,整理得,所以.
所以.所以.
同理.
所以直线BC的斜率.
又直线PA的斜率,所以PA∥BC.
因为四边形PABC为平行四边形,所以|PA|=|BC|.
所以,解得或.时,B(﹣2,0)与A重合,不符合题意,舍去.
所以四边形PABC为平行四边形时,.………………………………(13分)
21.已知函数f(x)=lnx﹣ax(a∈R).
(Ⅰ)当a=2时,求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)若对于任意的x∈(0,+∞),都有f(x)<0,求a的取值范围.
【解答】解:(Ⅰ)当a=2时,f(x)=lnx﹣2x,
∴f′(x)=,则f′(1)=﹣1,
又f(1)=﹣2,
∴f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y+2=﹣(x﹣1),
即x+y+1=0;
(Ⅱ)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=.
当a≤0时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(1)=﹣a≥0,不合题意;
当a>0时,当0<x<时,f′(x)>0,f(x)单调递增;当x>时,f′(x)<0,f(x)单调递减.
∴函数f(x)在x=时求得最大值为f()=ln﹣1.
∵对于任意的x∈(0,+∞),都有f(x)<0,∴直线<0,即a>.
∴a的取值范围是().
22.已知在平面直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为,圆C的参数方程为.
(1)求直线l1与圆C的普通方程;
(2)已知动点P在圆C上,动点Q在直线l2:x﹣y﹣2=0上,求线段PQ的取值范围.
【解答】解:(1)由消去参数t得2x﹣y+4=0;由消去θ得x2+(y﹣2)2=4;