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  • 2021-06-15 发布

2018-2019学年云南省腾冲市第八中学高二下学期期中考试数学(文)试题 Word版

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腾八中2018—2019学年度高二下学期期中考试 文科数学试卷 ‎ 考试时间:120分钟,总分150分 ‎ 一.选择题(共12小题)‎ ‎1.已知全集U={x||x|<2},集合P={x|log2x<1},则∁UP=(  )‎ A.(﹣2,0] B.(﹣2,1] C.(0, 1) D.[1,2)‎ ‎2.若log2a=0.3,0.3b=2,c=0.32,则实数a,b,c之间的大小关系为(  )‎ A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.b>a>c ‎3.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(  )‎ A.2 B. ‎ C.2 D.2‎ ‎4.函数f(x)=x2﹣6x+2ex的极值点所在区间为(  )‎ A.(0, 1) B.(﹣1,0) C.(1,2) D.(﹣2,﹣1)‎ ‎5.如图所示,三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图,给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影),设直角三角形有一个内角为30°,若向弦图内随机抛掷200颗米粒(大小忽略不计,取),则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为(  )‎ A.20 B.27 C.54 D.64‎ ‎6.已知向量、的夹角为,且,,则=(  )‎ A. B.10 C. D.26‎ ‎7.已知等比数列{an}的各项均为正数,且3a1,,2a2成等差数列,则=(  )‎ A.1 B.3 C.6 D.9‎ ‎8.若x、y满足,则目标函数f=x+2y的最大值为(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎9.△ABC中,(a﹣b)(sinA+sinB)=(c﹣b)sinC.其中a,b,c分别为内角A,B,C 的对边,则A=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),若f(x)+f'(x)<0,f(0)=1,则不等式exf(x)<1的解集为(  )‎ A.(﹣∞,0) B.(0,+∞) C.(﹣∞,1) D.(1,+∞)‎ ‎11.设函数,曲线f(x)在(1,f(1))处的切线方程是(  )‎ A. 5x﹣y﹣4=0 B.3x﹣y﹣2=0 C.x﹣y=0 D.x=1‎ ‎12.已知点P是椭圆E:=1上的任意一点,AB是圆C:(x﹣2)2+y2=4的一条直径,则的最大值是(  )‎ A.32 B.36 C.40 D.48‎ 二.填空题(共4小题)‎ ‎13.以直角坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,点A的极坐标为, 则点A的直角坐标为   .‎ ‎14.实数x,y满足3x2+4y2=12,则2x+y的最大值   .‎ ‎15.曲线上的点到直线的最大距离为   .‎ ‎16.若函数f(x)=1+|x|+,则f(lg2)+f(lg)+f(lg5)+f(lg)=   .‎ 三.解答题(共6小题)‎ ‎17.已知等比数列{an}的首项为2,等差数列{bn}的前n项和为Sn,且a1+a2=6,2b1+a3=b4,S3=3a2.‎ ‎(Ⅰ)求{an},{bn}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设,求数列{cn}的前n项和.‎ ‎18.已知某单位全体员工年龄频率分布表为:‎ 年龄(岁)‎ ‎[25,30)‎ ‎[30,35)‎ ‎[35,40)‎ ‎[40,45)‎ ‎[45,50)‎ ‎[50,55)‎ 合计 人数(人)‎ ‎6‎ ‎18‎ ‎50‎ ‎31‎ ‎19‎ ‎16‎ ‎140‎ 经统计,该单位35岁以下的青年职工中,男职工和女职工人数相等,且男职工的年龄频率分布直方图和如图:‎ ‎(Ⅰ)求a;‎ ‎(Ⅱ)求该单位男女职工的比例;‎ ‎(Ⅲ)若从年龄在[25,30)岁的职工中随机抽取两人参加某项活动,求恰好抽取一名男职工和一名女职工的概率.‎ ‎19.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=1,AA1=2,点D是侧棱AA1的中点.‎ ‎(1)证明:DC1⊥平面BCD;‎ ‎(2)求三棱锥B1﹣BCD的体积.‎ ‎20.已知为椭圆上两点,过点P且斜率为k,﹣k(k>0)的两条直线与椭圆M的交点分别为B,C.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆M的方程及离心率;‎ ‎(Ⅱ)若四边形PABC为平行四边形,求k的值.‎ ‎21.已知函数f(x)=lnx﹣ax(a∈R).‎ ‎(Ⅰ)当a=2时,求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;‎ ‎(Ⅱ)若对于任意的x∈(0,+∞),都有f(x)<0,求a的取值范围.‎ ‎22.已知在平面直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为,圆C的参数方程为.‎ ‎(1)求直线l1与圆C的普通方程;‎ ‎(2)已知动点P在圆C上,动点Q在直线l2:x﹣y﹣2=0上,求线段PQ的取值范围.‎ 高二期中考试数学试卷 参考答案与试题解析 一.选择题(共13小题)‎ ‎1.已知全集U={x||x|<2},集合P={x|log2x<1},则∁UP=(  )‎ A.(﹣2,0] B.(﹣2,1] C.(0,1) D.[1,2)‎ ‎【解答】解:∵全集U={x||x|<2}=(﹣2,2),集合P={x|log2x<1}=(0,2)‎ ‎∴∁UP=(﹣2,0]‎ 故选:A.‎ ‎2.若log2a=0.3,0.3b=2,c=0.32,则实数a,b,c之间的大小关系为(  )‎ A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.b>a>c ‎【解答】解:a=20.3>20=1,b=log0.32<log0.31=0,0<0.32<1;‎ ‎∴a>c>b.‎ 故选:B.‎ ‎3.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(  )‎ A.2 B. C.2 D.2‎ ‎【解答】解:由题意,几何体的直观图如图,是正方体的一部分,四棱锥P﹣ABCD,‎ 几何体的表面积为:1×1+=2+.‎ 故选:C.‎ ‎4.函数f(x)=x2﹣6x+2ex的极值点所在区间为(  )‎ A.(0,1) B.(﹣1,0) C.(1,2) D.(﹣2,﹣1)‎ ‎【解答】解:f′(x)=2x﹣6+2ex,‎ ‎∴f′(1)=2﹣6+2e>0,f′(0)=﹣6+2<0,‎ 由f'(0)f'(1)<0,‎ 故f(x)的极值点所在的区间为(0,1),‎ 故选:A.‎ ‎5.如图所示,三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图,给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影),设直角三角形有一个内角为30°,若向弦图内随机抛掷200颗米粒(大小忽略不计,取),则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为(  )‎ A.20 B.27 C.54 D.64‎ ‎【解答】解:设大正方体的边长为x,则小正方体的边长为﹣x,‎ 设落在小正方形内的米粒数大约为N,‎ 则=,解得:N≈27‎ 故选:B.‎ ‎6.已知向量、的夹角为,且,,则=(  )‎ A. B.10 C. D.26‎ ‎【解答】解:向量、的夹角为,且,,‎ 则===.‎ 故选:A.‎ ‎7.已知等比数列{an}的各项均为正数,且3a1,,2a2成等差数列,则=(  )‎ A.1 B.3 C.6 D.9‎ ‎【解答】解:设等比数列{an}的公比为q,则 ‎∵各项均为正数的等比数列{an},3a1,,2a2成等差数列,‎ ‎∴a3=2a2+3a1,‎ ‎∴q2﹣2q﹣3=0,‎ ‎∵q>0,‎ ‎∴q=3,‎ ‎=q2=9‎ 故选:D.‎ ‎8.若x、y满足,则目标函数f=x+2y的最大值为(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【解答】解:作出不等式组对应的平面区域,‎ 由z=x+2y,得y=﹣x+,平移直线y=﹣x+,由图象可知当直线经过点A时,‎ 直线y=﹣x+的截距最小,此时z最小,‎ 由,得A(1,1)‎ 此时z=1+2×1=3.‎ 故选:C.‎ ‎9.△ABC中,(a﹣b)(sinA+sinB)=(c﹣b)sinC.其中a,b,c分别为内角A,B,C的对边,则A=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解答】解:∵(a﹣b)(sinA+sinB)=(c﹣b)sinC,‎ 由正弦定理可得,(a﹣b)(a+b)=(c﹣b)c,‎ 化简可得,b2+c2﹣a2=bc,‎ 由余弦定理可得,cosA==‎ ‎∵0<A<π ‎∴A=‎ 故选:B.‎ ‎10.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),若f(x)+f'(x)<0,f(0)=1,则不等式exf(x)<1的解集为(  )‎ A.(﹣∞,0) B.(0,+∞) C.(﹣∞,1) D.(1,+∞)‎ ‎【解答】解:根据题意,令g(x)=exf(x),‎ 其导数g′(x)=exf(x)+exf′(x)=ex[f′(x)+f(x)],‎ 又由对于任意实数x有f′(x)+f(x)<0,则有g′(x)=ex[f′(x)+f(x)]<0,‎ 即函数g(x)在R上为减函数,‎ 又由f(0)=1,则g(0)=e0f(0)=1,‎ 则exf(x)<1⇒g(x)<g(0),‎ 又由函数g(x)在R上为减函数,则有x>0,‎ 即不等式exf(x)<1的解集为(0,+∞);‎ 故选:B.‎ ‎11.设函数,曲线f(x)在(1,f(1))处的切线方程是(  )‎ A.5x﹣y﹣4=0 B.3x﹣y﹣2=0 C.x﹣y=0 D.x=1‎ ‎【解答】解:由,得f(1)=f′()﹣2,‎ 由,得f′(x)=,取x=,‎ 可得f′()=f′()﹣2+2f(1),f(1)=1,‎ 代入f(1)=f′()﹣2,得f′()=3,‎ ‎∴f(x)=3x2﹣2x+lnx,则f′(x)=6x﹣2+.‎ ‎∴f′(1)=5,‎ ‎∴曲线f(x)在(1,f(1))处的切线方程是y﹣1=5(x﹣1),即5x﹣y﹣4=0.‎ 故选:A.‎ ‎12.已知点P是椭圆E:=1上的任意一点,AB是圆C:(x﹣2)2+y2=4的一条直径,则的最大值是(  )‎ A.32 B.36 C.40 D.48‎ ‎【解答】解:如图所示,设P(x,y),满足=1.‎ ‎=,=,=,=﹣R2=﹣4,‎ ‎∴=()•()‎ ‎=+•()+=﹣4,‎ ‎=(x﹣2)2+y2﹣4‎ ‎=(x﹣2)2+﹣4‎ ‎=﹣4,﹣4≤x≤4.‎ ‎∴当且仅当x=﹣4时,﹣4=32.‎ ‎∴的最大值是32.‎ 故选:A.‎ 二.填空题(共4小题)‎ ‎13.以直角坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,点A的极坐标为,则点A的直角坐标为 (1,) .‎ ‎【解答】解:∵点A的极坐标为,‎ ‎∴x=2cos=1,‎ y=2sin=,‎ ‎∴点A的直角坐标为(1,).‎ 故答案为:(1,).‎ ‎14.实数x,y满足3x2+4y2=12,则2x+y的最大值 5 .‎ ‎【解答】解:根据题意,实数x,y满足3x2+4y2=12,即+=1,‎ 设x=2cosθ,y=sinθ,‎ 则2x+y=4cosθ+3sinθ=5sin(θ+α),(tanα=),‎ 又由﹣1≤5sin(θ+α)≤1,‎ 则﹣5≤2x+y≤5,‎ 即2x+y的最大值5;‎ 故答案为:5.‎ ‎15.曲线上的点到直线的最大距离为  .‎ ‎【解答】解:设曲线上的点P(4cosθ,2sinθ),‎ 则曲线上的点到直线的距离:‎ d=‎ ‎=,‎ ‎∴当sin()=﹣1时,‎ 曲线上的点到直线的最大距离为:=.‎ 故答案为:.‎ ‎16.若函数f(x)=1+|x|+,则f(lg2)+f(lg)+f(lg5)+f(lg)= 6 .‎ ‎【解答】解:f(x)=1+|x|+,‎ ‎∴f(﹣x)+f(x)=2+2|x|,‎ ‎∵lg=﹣lg2,lg=﹣lg5,‎ ‎∴f(lg2)+f(lg)+f(lg5)+f(lg)=2×2+2(lg2+lg5)=6,‎ 故答案为:6‎ 三.解答题(共6小题)‎ ‎17.已知等比数列{an}的首项为2,等差数列{bn}的前n项和为Sn,且a1+a2=6,2b1+a3=b4,S3=3a2.‎ ‎(Ⅰ)求{an},{bn}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设,求数列{cn}的前n项和.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)设数列{an}的公比为q,数列{bn}的公差为d.‎ 由a1+a2=6,得 a1+a1q=6.因为a1=2,所以q=2.‎ 所以.‎ 由得 解得 所以bn=b1+(n﹣1)d=3n﹣2.………..(8分)‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,bn=3n﹣2.‎ 所以.‎ 从而数列{cn}的前n项和==6×2n﹣2n﹣6..(13分)‎ ‎18.已知某单位全体员工年龄频率分布表为:‎ 年龄(岁)‎ ‎[25,30)‎ ‎[30,35)‎ ‎[35,40)‎ ‎[40,45)‎ ‎[45,50)‎ ‎[50,55)‎ 合计 人数(人)‎ ‎6‎ ‎18‎ ‎50‎ ‎31‎ ‎19‎ ‎16‎ ‎140‎ 经统计,该单位35岁以下的青年职工中,男职工和女职工人数相等,且男职工的年龄频率分布直方图和如图:‎ ‎(Ⅰ)求a;‎ ‎(Ⅱ)求该单位男女职工的比例;‎ ‎(Ⅲ)若从年龄在[25,30)岁的职工中随机抽取两人参加某项活动,求恰好抽取一名男职工和一名女职工的概率.‎ ‎【解答】(本小题13分)‎ 解:(Ⅰ)由男职工的年龄频率分布直方图可得:(a+0.01+0.04+0.08+0.025+0.025)×5=1.‎ 所以a=0.02.‎ ‎(Ⅱ)该单位[25,35)岁职工共24人,由于[25,35)岁男女职工人数相等,所以[25,35)岁的男职工共12人.‎ 由(Ⅰ)知,男职工年龄在[25,35)岁的频率为0.15,‎ 所以男职工共有人,‎ 所以女职工有140﹣80=60人,‎ 所以男女比例为4:3.‎ ‎(Ⅲ)由男职工的年龄频率分布直方图可得:男职工年龄在[25,30)岁的频率为0.05.‎ 由(Ⅱ)知,男职工共有80人,所以男职工年龄在[25,30)岁的有4人,分别记为A1,A2,A3,A4.‎ 又全体员工年龄在[25,30)岁的有6人,所以女职工年龄在[25,30)岁的有2人,分别记为B1,B2.‎ 从年龄在25~30岁的职工中随机抽取两人的结果共有(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,A4),(A2,B1),(A2,B2),(A3,A4),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),(B1,B2)15种情况,‎ 其中一男一女的有(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2)8种情况,‎ 所以恰好抽取一名男职工和一名女职工的概率为.‎ ‎19.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=1,AA1=2,点D是侧棱AA1的中点.‎ ‎(1)证明:DC1⊥平面BCD;‎ ‎(2)求三棱锥B1﹣BCD的体积.‎ ‎【解答】(1)证明:∵ACC1A1是矩形,且AC=1,AA1=2,D是棱AA1的中点,‎ ‎∴△DAC,△DA1C1均为等腰直角三角形,∴DC1⊥DC.‎ 又∵BC⊥侧面AC1,∴BC⊥DC1.‎ 又∵BC∩DC=C,BC,CD⊂面BCD,‎ ‎∴DC1⊥平面BCD;‎ ‎(2)解:∵B1C1∥BC,且BC⊂面BCD,B1C1⊄面BCD,∴B1C1∥面BCD.‎ ‎∴=.‎ ‎20.已知为椭圆上两点,过点P且斜率为k,﹣k(k>0)的两条直线与椭圆M的交点分别为B,C.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆M的方程及离心率;‎ ‎(Ⅱ)若四边形PABC为平行四边形,求k的值.‎ ‎【解答】(共13分)‎ 解:( I)由题意得解得 所以椭圆M的方程为.‎ 又,‎ 所以离心率.………………………..(5分)‎ ‎( II)设直线PB的方程为y=kx+m(k>0),‎ 由消去y,整理得(3+4k2)x2+8kmx+(4m2﹣12)=0.‎ 当△>0时,设B(x1,y1),C(x2,y2),‎ 则,即.‎ 将代入y=kx+m,整理得,所以.‎ 所以.所以.‎ 同理.‎ 所以直线BC的斜率.‎ 又直线PA的斜率,所以PA∥BC.‎ 因为四边形PABC为平行四边形,所以|PA|=|BC|.‎ 所以,解得或.时,B(﹣2,0)与A重合,不符合题意,舍去.‎ 所以四边形PABC为平行四边形时,.………………………………(13分)‎ ‎21.已知函数f(x)=lnx﹣ax(a∈R).‎ ‎(Ⅰ)当a=2时,求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;‎ ‎(Ⅱ)若对于任意的x∈(0,+∞),都有f(x)<0,求a的取值范围.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)当a=2时,f(x)=lnx﹣2x,‎ ‎∴f′(x)=,则f′(1)=﹣1,‎ 又f(1)=﹣2,‎ ‎∴f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y+2=﹣(x﹣1),‎ 即x+y+1=0;‎ ‎(Ⅱ)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=.‎ 当a≤0时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(1)=﹣a≥0,不合题意;‎ 当a>0时,当0<x<时,f′(x)>0,f(x)单调递增;当x>时,f′(x)<0,f(x)单调递减.‎ ‎∴函数f(x)在x=时求得最大值为f()=ln﹣1.‎ ‎∵对于任意的x∈(0,+∞),都有f(x)<0,∴直线<0,即a>.‎ ‎∴a的取值范围是().‎ ‎22.已知在平面直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为,圆C的参数方程为.‎ ‎(1)求直线l1与圆C的普通方程;‎ ‎(2)已知动点P在圆C上,动点Q在直线l2:x﹣y﹣2=0上,求线段PQ的取值范围.‎ ‎【解答】解:(1)由消去参数t得2x﹣y+4=0;由消去θ得x2+(y﹣2)2=4;‎

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