内蒙古赤峰市2019-2020学年高一上学期期末考试联考数学试题 15页

‎2019~2020学年高一上学期期末考试数学 第Ⅰ卷 一、选择题：‎ ‎1.已知集合,,则( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算得到，再计算得到答案.‎ ‎【详解】因为,,所以.‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了交集的运算，属于简单题.‎ ‎2.已知向量，，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量的坐标运算即可求解.‎ ‎【详解】由向量，，‎ 则.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了向量的线性坐标运算，属于基础题.‎ ‎3.（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据弧度与角度的转化,代入即可求解.‎ ‎【详解】根据弧度与角度的关系可得 ‎.‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查了弧度与角度的转化,属于基础题.‎ ‎4.设终边在y轴的负半轴上的角的集合为M，则( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用终边落在坐标轴上角的表示方法即可求解.‎ ‎【详解】终边在y轴的负半轴上的角的集合为：‎ 或.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了终边相同角的表示，属于基础题.‎ ‎5.函数的零点所在的区间是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数单调递增和,得到答案.‎ ‎【详解】是单调递增函数,且,,‎ 所以的零点所在的区间为 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了零点所在的区间，意在考查学生对于零点存在定理的应用.‎ ‎6.在中，D为边BC上的一点，且，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ D为边BC上一点，且，D是四等分点，结合，最后得到答案．‎ ‎【详解】∵D为边BC上的一点，且，∴D是四等分点，‎ ‎，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了向量的线性运算及平面向量基本定理的应用，属于基础题.‎ ‎7.已知向量，，若，则( )‎ A. 5 B. ‎6 ‎C. 7 D. 8‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量共线的坐标表示即可求解.‎ ‎【详解】由向量，，‎ 若，则，解得.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了向量共线的坐标表示，需掌握向量共线，坐标满足：‎ ‎，属于基础题.‎ ‎8.将曲线上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到的曲线的对称中心为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由图像变换原则可得新曲线为,令求解即可 ‎【详解】将曲线上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍后得到曲线,‎ 令,得 故选：A ‎【点睛】本题考查三角函数的图像变换,考查正弦型函数的对称中心 ‎9.已知，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把化为同底数的幂比较大小，再借助于数2与比较．‎ ‎【详解】，又，∴．而 ‎，‎ ‎∴．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查比较大小，比较幂的大小尽量化为同底数的幂或化为同指数的幂，同样比较对数大小也尽量化为同底数的对数，如果不能化为同底数（或同指数）或不同类型的数则要借助于中间值比较，如等等．‎ ‎10.已知A，B，C是平面上不共线的三个点，若，，则△ABC一定是( )‎ A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 锐角三角形 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，利用向量加法的平行四边形法则以及向量共线定理可得点P在BC边上的中线，也在的平分线上，结合三角形的性质即可得出选项.‎ ‎【详解】设，则根据平行四边形法则知点P在BC边上的中线所在的直线上.‎ 设，，它们都是单位向量，‎ 由平行四边形法则，知点P也在的平分线上，所以△ABC—定是等腰三角形.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了向量的平行四边形法则、向量的共线定理，属于基础题.‎ ‎11.已知函数，若，在上恒成立，则a的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，问题等价于在上恒成立，由二次函数的开口向下，只需满足，解不等式组即可.‎ ‎【详解】问题等价于在上恒成立. ‎ 设，则在上恒成立，‎ 由二次函数的开口向下，‎ 所以解得.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了不等式恒成立求参数的取值范围以及三角函数的性质，考查了转化与化归的思想，属于中档题.‎ ‎12.已知函数,若在区间内没有零点,则的取值范围是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数在区间内没有零点,可得，再结合求解即可.‎ ‎【详解】解：因为,,‎ 所以.‎ 因为在区间内没有零点,‎ 所以.‎ 解得.‎ 因为,所以,‎ 因为.所以或.‎ 当时;‎ 当时,，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的零点问题，重点考查了三角函数图像的性质，属中档题.‎ 二、填空题：‎ ‎13.若函数，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用分段函数的表达式，求出，再求出即可求解.‎ ‎【详解】由函数，则.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了求分段函数的函数值以及三角函数值，属于基础题.‎ ‎14.已知，，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据同角三角函数关系式及角的范围,可求得,代入即可求解.‎ ‎【详解】由同角三角函数关系式,可知 因为,,‎ 所以,,‎ 所以.‎ 故答案为: ‎ ‎【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的应用,属于基础题.‎ ‎15.已知，角的终边经过点，则_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用诱导公式以及同角三角函数的基本关系可得，再利用三角函数的定义即可求解.‎ ‎【详解】因，‎ ‎，所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了诱导公式、同角三角函数的基本关系以及三角函数的定义，属于基础题.‎ ‎16.设函数，若对任意，不等式恒成立，则a的取值范围是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先证明函数为奇函数，根据，结合对数运算法则可得，根据复合函数的单调性，可判断在上为减函数，再结合奇偶性和在处连续，可得在R上为减函数，‎ 于是等价转化为，得，即对任意的，， 从而有，即可求解.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以为奇函数，且定义域为R.‎ 又因为函数在上为增函数 所以在上为减函数，‎ 从而在R上为减函数.‎ 于是等价于 ‎，‎ 所以，即.‎ 因为，所以，所以，‎ 解得.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查不等式恒成立问题，利用函数的奇偶性和单调性，将不等式等价转化，化归为函数的单调性和奇偶性是解题的难点，属于较难题.‎ 三、解答题：‎ ‎17.已知集合或,.‎ ‎(1)当时,求;‎ ‎(2)若,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)或;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）计算，或，再计算得到答案.‎ ‎（2）根据得到，故或，计算得到答案.‎ ‎【详解】(1)因为,所以,即,‎ 当时,或,所以或.‎ ‎(2)因为,所以, ,‎ 则或,即或,‎ 所以实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查了并集的计算，根据包含关系求参数，意在考查学生对于集合知识的综合应用.‎ ‎18.计算或化简：‎ ‎(1)；‎ ‎(2).‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用指数与对数的运算性质即可求解.‎ ‎（2）利用对数的运算性质即可求解.‎ ‎【详解】（1)原式）‎ ‎.‎ ‎(2)原式 ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了指数与对数的运算，需熟记指数与对数的运算性质，属于基础题.‎ ‎19.已知函数.‎ ‎(1)化简；‎ ‎(2)若，求的值.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用三角函数的诱导公式即可化简.‎ ‎（2）由（1）利用同角三角函数的基本关系“齐次式”即可求解.‎ ‎【详解】(1)‎ ‎（写成或均可）‎ ‎(2)因为.‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查了诱导公式、同角三角函数的基本关系，需熟记公式，属于基础题.‎ ‎20.设，是两个不共线的向量，，，.‎ ‎(1)若平面内不共线的四点O，A，B，C满足，求实数k的值；‎ ‎(2)若A，C，D三点共线，求实数k的值.‎ ‎【答案】(1)2；(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，根据向量减法的几何意义可得，从而可得，利用平面向量的基本定理即可求解.‎ ‎（2）利用向量共线定理，将已知代入即可求解.‎ ‎【详解】(1)‎ ‎，即，‎ ‎.‎ ‎(2)三点共线，‎ ‎.‎ ‎，即，，解得.‎ ‎【点睛】本题考查了向量减法的几何意义、平面向量的基本定理以及平面向量的共线定理，属于基础题.‎ ‎21.已知函数,当时,函数的值域是.‎ ‎(1)求常数,的值;‎ ‎(2)当时,设,判断函数在上的单调性.‎ ‎【答案】(1),或,.(2)函数在上单调递增.函数在上单调递减.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求得,再讨论和的情况,进而求解即可；‎ ‎（2）由（1）,则,进而判断单调性即可 ‎【详解】解:(1)当时,,‎ 所以,‎ ‎①当时,由题意可得,‎ 即,解得,；‎ ‎②当时,由题意可得,‎ 即,解得,‎ ‎(2)由（1）当时,,,所以,‎ 所以,‎ 令,,解得,,‎ 当时,,则,‎ 所以函数在上单调递增,‎ 同理,函数在上单调递减 ‎【点睛】本题考查由三角函数性质求解析式,考查正弦型函数的单调区间,考查运算能力 ‎22.已知函数，其中e为自然对数的底数.‎ ‎(1)证明：在上单调递增；‎ ‎(2)函数，如果总存在，对任意，都成立，求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用函数单调性定义即可证出.‎ ‎（2）根据解析式可知与均为上的偶函数，由题意可知只需函数在上的最大值不小于的最大值，由（1）函数为单调递增，即，解不等式即可.‎ ‎【详解】（1）证明：任取，，且，‎ 则 因为，，，所以，，，‎ 所以，即当时，总有，‎ 所以在上单调递增.‎ ‎（2）解：由，得是上的偶函数，‎ 同理，也是上的偶函数.‎ 总存在，对任意都有，‎ 即函数在上的最大值不小于的最大值.‎ 由(1)知在上单调递增， 所以当时，，‎ 所以.‎ 令，则，令，易知在上递增，‎ 又，所以，即，‎ 所以，即实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查了利用定义证明函数的单调性，以及不等式恒成立问题，考查了转化与化归的思想，属于中档题.‎