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- 2021-06-15 发布
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第1课时 椭圆及其性质
[最新考纲] 1.了解椭圆的实际背景,了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
1.椭圆的定义
(1)我们把平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆.这两定点F1,F2叫作椭圆的焦点,两个焦点F1,F2间的距离叫作椭圆的焦距.
(2)集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常数且a>0,c>0.
①当2a>|F1F2|时,M点的轨迹为椭圆;
②当2a=|F1F2|时,M点的轨迹为线段F1F2;
③当2a<|F1F2|时,M点的轨迹不存在.
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
+=1(a>b>0)
+=1(a>b>0)
图形
性质
范围
-a≤x≤a,-b≤y≤b
-b≤x≤b,-a≤y≤a
对称性
对称轴:坐标轴;对称中心:原点
顶点坐标
A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)
A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)
焦点坐标
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c),F2(0,c)
半轴长
长半轴长为a,短半轴长为b
离心率
e=,且e∈(0,1)
a,b,c的关系
c2=a2-b2
1.过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦,长为,过焦点最长弦为长轴.
2.过原点最长弦为长轴长2a,最短弦为短轴长2b.
3.与椭圆+=1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为+=1(λ>-b2).
4.焦点三角形:椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点F1,F2构成的△PF1F2
叫做焦点三角形.若∠F1PF2=θ,则
(1)|PF1|+|PF2|=2a.
(2)4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|·cos θ.
(3)S△PF1F2=|PF1||PF2|·sin θ,当|y0|=b,即P为短轴端点时,S△PF1F2取最大值,为bc.
(4)焦点三角形的周长为2(a+c).
(5)已知过焦点F1的弦AB,则△ABF2的周长为4a.
一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆. ( )
(2)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆. ( )
(3)+=1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆. ( )
(4)+=1(a>b>0)与+=1(a>b>0)的焦距相等. ( )
[答案](1)× (2)× (3)× (4)√
二、教材改编
1.设P是椭圆+=1上的点,若F1,F2是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等于( )
A.4 B.5
C.8 D.10
D [依椭圆的定义知:|PF1|+|PF2|=2×5=10.]
2.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于,则椭圆C的方程是( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
D [设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0).
因为椭圆的一个焦点为F(1,0),离心率e=,所以解得
故椭圆C的标准方程为+=1.]
3.过点A(3,-2)且与椭圆+=1有相同焦点的椭圆的方程为( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
A [设所求椭圆的方程为+=1(λ>-4),则有+=1,解得λ=6,故所求椭圆方程为+=1.]
4.已知点P是椭圆+=1上y轴右侧的一点,且以点P及焦点F1,F2为顶点的三角形的面积等于1,则点P的坐标为________.
或 [设P(xP,yP),xP>0,由题意知|F1F2|=2.
则S△PF1F2=×|F1F2|×|yP|=1,解得|yP|=1.
代入椭圆的方程,得+=1,解得x=,
因此点P的坐标为或.]
⊙考点1 椭圆的定义及应用
利用定义求方程、焦点三角形及最值的方法
求方程
通过对题设条件分析、转化后,能够明确动点P满足椭圆的定义,便可直接求解其轨迹方程
求焦点三角形
利用定义求焦点三角形的周长和面积.解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理.其中|PF1|+|PF2|=2a两边平方是常用技巧
求最值
抓住|PF1|与|PF2|之和为定值,可联系到基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值;利用定义|PF1|+|PF2|=2a转化或变形,借助三角形性质求最值
(1)已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.-=1 B.+=1
C.-=1 D.+=1
(2)如图,椭圆+=1(a>2)的左、右焦点分别为F1,F2,点P是椭圆上的一点,若∠F1PF2=60°,那么△PF1F2的面积为( )
A. B.
C. D.
(3)设F1,F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,P为椭圆上任意一点,点M的坐标为(6,4),则|PM|-|PF1|的最小值为________.
(1)D (2)D (3)-5 [(1)设圆M的半径为r,则|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16>8=|C1C2|,所以M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆,且 2a=16,2c=8,故所求的轨迹方程为+=1.
(2)由题意知|PF1|+|PF2|=2a,|F1F2|2=4a2-16,
由余弦定理得
4a2-16=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 60°,
即4a2-16=(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1||PF2|,
∴|PF1||PF2|=,
∴S△PF1F2=|PF1||PF2|sin 60°=,故选D.
(3)由题意知,点M在椭圆外部,且|PF1|+|PF2|=10,则|PM|-|PF1|=|PM|-(10-|PF2|)=|PM|+|PF2|-10≥|F2M|-10.(当且仅当点P,M,F2三点共线时等号成立)
又F2(3,0),则|F2M|==5.
∴|PM|-|PF1|≥-5,即|PM|-|PF1|的最小值为-5.]
解答本例T(3)的关键是差式(|PM|-|PF1|)转化为和式|PM|+|PF2|-10.而转化的依据为|PF1|+|PF2|=2a.
1.已知A(-1,0),B是圆F:x2-2x+y2-11=0(F为圆心)上一动点,线段AB的垂直平分线交BF于P,则动点P的轨迹方程为( )
A.+=1 B.-=1
C.-=1 D.+=1
D [由题意得|PA|=|PB|,
∴|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=r=2>|AF|=2,
∴点P的轨迹是以A,F为焦点的椭圆,且a=,c=1,∴b=,
∴动点P的轨迹方程为+=1,故选D.]
2.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,过F2的直线l交C于A,B两点,若△AF1B的周长为12,则椭圆C的标准方程为( )
A.+y2=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
D [由椭圆的定义,知|AF1|+|AF2|=2a,|BF1|+|BF2|=2a,所以△AF1B的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=12,所以a=3.因为椭圆的离心率e==,所以c=2,所以b2=a2-c2=5,所以椭圆C的方程为+=1,故选D.]
3.已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上的一点,且PF1⊥PF2,若△PF1F2的面积为9,则b=________.
3 [设|PF1|=r1,|PF2|=r2,则 所以2r1r2=(r1+r2)2-(r+r)=4a2-4c2=4b2,所以S△PF1F2=r1r2=b2=9,所以b=3.]
⊙考点2 椭圆的标准方程
求椭圆标准方程的两种方法
(1)定义法.根据椭圆的定义,确定a2,b2的值,结合焦点位置写出椭圆方程.
(2)待定系数法.一般步骤如下:
(1)一个椭圆的中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,P(2,)是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆的方程为________.
(2)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点P1(,1),P2(,),则椭圆的方程为________.
(3)[一题多解]与椭圆+=1有相同离心率且经过点P(2,-)的椭圆方程为________.
(1)+=1 (2)+=1 (3)+=1或+=1 [(1)设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),由点P(2,)在椭圆上知+=1.
又|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则|PF1|+|PF2|=2|F1F2|,即2a=2×2c,=.又c2=a2-b2,联立得a2=8,b2=6,故椭圆方程为+=1.
(2)设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n).
∵椭圆经过点P1,P2,∴点P1,P2的坐标适合椭圆方程,则
由①②两式联立,解得
∴所求椭圆的方程为+=1.
(3)法一:因为e==
===,
若焦点在x轴上,设所求椭圆方程为+=1(m>n>0),
则1-=,从而=,=.又+=1,所以m2=8,n2=6.所以椭圆方程为+=1.
若焦点在y轴上,设椭圆方程为+=1(h>k>0),
则+=1,且=,
解得h2=,k2=.
故所求方程为+=1,故椭圆的方程为+=1或+=1.
法二:若焦点在x轴上,设所求椭圆方程为+=t(t>0),将点P(2,-)代入,得t=+=2.故所求方程为+=1;若焦点在y轴上,设方程为+=λ(λ>0),
代入点P(2,-),得λ=,故所求方程为+=1.
故椭圆的方程为+=1或+=1.]
离心率相同的两个椭圆焦点可能在不同的轴上,因此要分类求解,如本例T(3).
[教师备选例题]
1.已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,长、短半轴长之和为10,焦距为4,则椭圆的标准方程为( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
C [由长、短半轴长之和为10,焦距为4,可得a+b=10,2c=4,∴c=2.又a2=b2+c2,∴a2=36,b2=16.∵焦点在x轴上,∴所求椭圆方程为+=1.故选C.]
2.已知中心在坐标原点的椭圆过点A(-3,0),且离心率e=,则椭圆的标准方程为________.
+=1或+=1 [若焦点在x轴上,由题知a=3,因为椭圆的离心率e=,所以c=,b=2,所以椭圆方程是+=1.若焦点在y轴上,则b=3,a2-c2=9,又离心率e==,解得a2=,所以椭圆方程是+=1.]
1.已知a,b∈R,则“a>0>b”是“-=1表示椭圆”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
B [当a>0>b且a=-b时,-=1表示圆,充分性不成立;当-=1表示椭圆时,a>0>b且a≠-b,必要性成立,所以“a>0>b”是“-=1表示椭圆”的必要不充分条件,故选B.]
2.已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,且短轴长为2,离心率为,则该椭圆的标准方程为( )
A.+y2=1 B.+y2=1
C.+y2=1 D.+x2=1
A [由题意设椭圆方程为+=1(a>b>0),则2b=2,故b=1.又=,a2=b2+c2,∴a2=5.∴椭圆C的标准方程为+y2=1.故选A.]
⊙考点3 椭圆的几何性质
求椭圆离心率的值(或范围)
1.求椭圆离心率的方法
(1)定义法:根据条件求出a,c,直接利用公式e=求解.
(2)方程法:根据条件得到关于a,b,c的齐次等式(不等式),结合b2=a2-c2转化为关于a,c的齐次等式(不等式),然后将该齐次等式(不等式)两边同时除以a或a2转化为关于e或e2的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e(e的取值范围).
2.求椭圆离心率范围的两种方法
方法
解法
适合题型
几何法
利用椭圆的几何性质,设P(x0,y0)为椭圆+=1(a>b>0)上一点,则|x0|≤a,a-c≤|PF1|≤a+c等,建立不等关系,或者根据几何图形的临界情况建立不等关系
题设条件有明显的几何关系
直接法
根据题目中给出的条件或根据已知条件得出不等关系,直接转化为含有a,b,c的不等关系式
题设条件直接有不等关系
(1)(2018·全国卷Ⅱ)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点.若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为( )
A.1- B.2-
C. D.-1
(2)已知F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A,B上下两点,若△ABF2是锐角三角形,则该椭圆的离心率e的取值范围是( )
A.(0,-1) B.(-1,1)
C.(0,-1) D.(-1,1)
(1)D (2)B [(1)由题设知∠F1PF2=90°,∠PF2F1=60°,|F1F2|=2c,所以|PF2|=c,|PF1|=c.由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a,即c+c=2a,所以(+1)c=2a,故椭圆C的离心率e===-1.故选D.
(2)∵F1,F2分别是椭圆+=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A,B上下两点,∴F1(-c,0),F2(c,0),A,B,∵△ABF2是锐角三角形,∴∠AF2F1<45°,∴tan∠AF2F1<1,∴<1,整理得b2<2ac,∴a2-c2<2ac,两边同时除以a2,并整理,得e2+2e-1>0,解得e>-1或e<--1(舍去),∵0<e<1,∴椭圆的离心率e的取值范围是(-1,1),故选B.]
求离心率的取值范围,关键是寻找关于a,b,c的不等式,如本例T(2),利用等腰三角形是锐角三角形,则顶角的一半小于,建立不等式求解.
[教师备选例题]
1.已知F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M,N,若过F1的直线MF1是圆F2的切线,则椭圆的离心率为( )
A. B.2- C. D.-1
D [如图所示.
由题意可得MF1⊥MF2,|MF2|=c,|MF1|=2a-c,|F1F2|=2c,
所以c2+(2a-c)2=4c2,
化为c2+2ac-2a2=0,
即e2+2e-2=0,e∈(0,1),
解得e=-1,故选D.]
2.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
A [根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A,B两点到椭圆的左、右焦点的距离和为4a=2(|AF|+|BF|)=8,所以a=2.又d=≥,所以1≤b<2,所以e===.因为1≤b<2,所以0<e≤,故选A.]
与椭圆性质有关的最值(范围)问题
与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法
(1)利用数形结合、几何意义,尤其是椭圆的性质,求最值或取值范围.
(2)利用函数,尤其是二次函数求最值或取值范围.
(3)利用不等式,尤其是基本不等式求最值或取值范围.
(4)利用一元二次方程的判别式求最值或取值范围.
(1)(2017·全国卷Ⅰ)设A,B是椭圆C:+=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是( )
A.(0,1]∪[9,+∞) B.(0,]∪[9,+∞)
C.(0,1]∪[4,+∞) D.(0,]∪[4,+∞)
(2)(2019·开封模拟)如图,焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率e=,F,A分别是椭圆的一个焦点和顶点,P是椭圆上任意一点,则·的最大值为________.
(1)A (2)4 [(1)当0<m<3时,焦点在x轴上,要使C上存在点M满足∠AMB=120°,
则≥tan 60°=,即≥,解得0<m≤1.
当m>3时,焦点在y轴上,
要使C上存在点M满足∠AMB=120°,
则≥tan 60°=,即≥,解得m≥9.
故m的取值范围为(0,1]∪[9,+∞).
(2)由题意知a=2,因为e==,
所以c=1,b2=a2-c2=3.
故椭圆方程为+=1.
设P点坐标为(x0,y0).
所以-2≤x0≤2,-≤y0≤.
因为F(-1,0),A(2,0),
=(-1-x0,-y0),=(2-x0,-y0),
所以·=x-x0-2+y=x-x0+1=(x0-2)2.
则当x0=-2时,·取得最大值4.]
椭圆中长轴两端点(或两焦点)与短轴顶点所成的角最大,本例T(1)就是以此求解的.
1.(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为( )
A. B. C. D.
A [由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0),半径为a.
又直线bx-ay+2ab=0与圆相切,
∴圆心到直线的距离d==a,解得a=b,
∴=,∴e=====.故选A.]
2.已知点F1,F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,点M是该椭圆上的一个动点,那么|+|的最小值是( )
A.4 B.6
C.8 D.10
C [设M(x0,y0),F1(-3,0),F2(3,0).则=(-3-x0,-y0),=(3-x0,-y0
),所以+=(-2x0,-2y0),|+|=
==.
因为点M在椭圆上,所以0≤y≤16,
所以当y=16时,|+|取最小值为8.]