高考理科数学专题复习练习 3.1导数的概念及运算 9页

第三章导数及其应用 ‎3.1导数的概念及运算 专题1‎ 导数的概念与几何意义 ‎■(2015江西重点中学盟校高三第一次联考,导数的概念与几何意义,选择题,理3)函数y=x3的图象在原点处的切线方程为(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.y=x B.x=0‎ C.y=0 D.不存在 解析:由f'(x)=3x2,得f'(0)=0,所以f(x)在原点处的切线方程为y=0,故选C.‎ 答案:C ‎3.2导数与函数的单调性、极值、最值 专题1‎ 导数与函数的单调性 ‎■(2015东北三省三校高三二模,导数与函数的单调性,选择题,理12)若函数y=sin 2x+acos x在(0,π)上是增函数,则实数a的取值范围是(　　)‎ A.(-∞,-1] B.[-1,+∞)‎ C.(-∞,0) D.(0,+∞)‎ 解析:依题意,当x∈(0,π)时,y'=2×cos2x-asinx≥0,即a≤-2sinx恒成立.令t=sinx,则当x∈(0,π)时,t∈(0,1],函数y=-2t在区间(0,1]上是减函数,所以函数y=-2t在区间(0,1]上的最小值是y|t=1=1-2×1=-1,于是有a≤-1,实数a的取值范围是(-∞,-1],故选A.‎ 答案:A 专题2‎ 导数与函数的极值 ‎■(2015江西八所重点中学高三联考,导数与函数的极值,解答题,理21)已知f(x)=x2+ax+sinx,x∈(0,1).‎ ‎(1)若f(x)在定义域内单调递增,求a的取值范围;‎ ‎(2)当a=-2时,记f(x)得极小值为f(x0),若f(x1)=f(x2),求证:x1+x2>2x0.‎ 解:(1)f'(x)=2x+a+cosx,x∈(0,1).‎ 依题意f'(x)≥0恒成立,2x+cosx≥-a,‎ 令g(x)=2x+cosx,x∈(0,1),g'(x)=2-sinx,‎ ‎∵g'(x)在x∈(0,1)单调递减,且g'(0)>0,g'(1)<0,‎ ‎∴g'(x)在(0,1)上存在唯一零点x0.‎ ‎∴g(x)在(0,ξ)上单调递增,在(ξ,1)上单调递减,‎ 由得a≥-.‎ ‎(2)当a=-2时,f(x)=x2-2x+sinx,x∈(0,1),‎ f'(x)=2x-2+cosx.‎ 令φ(x)=f'(x),x∈(0,1),‎ φ'(x)=2-sinx,显然φ'(x)在(0,1)单调递减,‎ 又φ'(0)=2>0,φ'(1)=2-<0.‎ 故存在唯一实数ξ,使得φ'(ξ)=0.‎ ‎∴φ(x)在(0,ξ)上单调递增,在(ξ,1)上单调递减.‎ 即f'(x)在(0,ξ)上单调递增,在(ξ,1)上单调递减.‎ 又f'(0)=-2+<0,f'(1)=0,∴f'(ξ)>0,‎ 由f'(x0)=0,知02x0.‎ ‎■(2015东北三省三校高三第一次联考,导数与函数的极值,解答题,理21)已知a是实常数,函数f(x)=xln x+ax2.‎ ‎(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线过点A(0,-2),求实数a的值;‎ ‎(2)若f(x)有两个极值点x1,x2(x1f(x1)>-.‎ 解:(1)由已知得f'(x)=lnx+1+2ax(x>0),切点坐标为(1,a),‎ 切线方程为y-a=(2a+1)(x-1),‎ 把(0,-2)代入解得a=1.‎ ‎(2)证明:①依题意得f'(x)=0有两个不等的实数根x1,x2(x10),‎ ‎(ⅰ)当a≥0时,g'(x)>0,g(x)是增函数,不符合题意;‎ ‎(ⅱ)当a<0时,由g'(x)=0,得x=->0,则g(x),g'(x)的变化情况为 x ‎-‎ g'(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ g(x)‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 依题意得g=ln>0,‎ 解得-f(x1).‎ 又f'(1)=g(1)=2a+1>0,故x1∈(0,1),‎ 由(1)知ax1=,‎ f(x1)=x1lnx1+a(x1lnx1-x1)(0h(1)=-,即f(x1)>-.‎ 综上所述,f(x2)>f(x1)>-成立.‎ 专题3‎ 导数与函数的最值 ‎■(2015辽宁大连高三双基测试,导数与函数的最值,选择题,理12)已知f(x)=x+xln x,若k∈Z,且k(x-2)2恒成立,则k的最大值为(　　)‎ A.3 B.4 C.5 D.6‎ 解析:依题意,当x=4时,不等式k(x-2)2恒成立.记g(x)=f(x)-4(x-2)=xlnx-3x+8,则g'(x)=lnx-2,当2e2时,g'(x)>0,因此g(x)在(2,+∞)上的最小值为g(e2)=8-e2>0,即对任意x>2,均有g(x)≥g(e2)>0,即k(x-2)1,存在实数a,b满足0g(c),即恒成立,所以k<,c>1.令p(c)=,c>1,则p'(c)=.‎ 令q(c)=c-2-lnc,c>1,因为q'(c)=1->0,所以q(c)单调递增,得q(c)>q(1)=-1,又q(3)=1-ln3<0,q(4)=2-ln4>0,所以存在c0∈(3,4),使得q(c0)=0,即c0-2=lnc0,当c∈(1,c0)时,q(c)<0,p(c)单调递减,当c∈(c0,+∞)时,q(c)>0,p(c)单调递增,p(c)min=p(c0)=,将c0-2=lnc0代入得p(c)min==c0,所以k时,g'(x)>0,当-0时,f(x)>g(x).‎ 解:(1)∵f(x)=ax-2-lnx(a∈R),‎ ‎∴f'(x)=a-.‎ 又f(x)在点(e,f(e))处的切线的斜率为,‎ ‎∴f'(e)=,∴a=.‎ ‎∴切点为(e,-1),将切点代入切线方程得b=-2e.‎ ‎(2)由(1)知f'(x)=a-(x>0).‎ 当a≤0时,f'(x)<0在(0,+∞)上恒成立,‎ ‎∴f(x)在(0,+∞)上是单调递减函数,‎ 当a>0时,令f'(x)=0,得x=.‎ 当x变化时,f'(x),f(x)随x的变化情况如下表:‎ f'(x)‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎ ‎↘‎ ‎↗‎ 由表可知f(x)在上单调递减,在上单调递增.‎ 综上所述,当a≤0时,f(x)的单调减区间为(0,+∞);‎ 当a>0时,f(x)的单调减区间为,单调增区间为.‎ ‎(3)证明:当x>0时,要证f(x)>g(x),‎ 即证f(x)-ax+ex>0.‎ 即证ex-lnx-2>0,‎ 令h(x)=ex-lnx-2(x>0),只需证g(x)>0,‎ ‎∵h'(x)=ex-,‎ 由指数函数及幂函数的性质知h'(x)=ex-在(0,+∞)上是增函数.‎ 又h'(1)=e-1>0,h'-3<0,‎ ‎∴h'(1)·h'<0.‎ h'(x)在内存在唯一的零点,也即h'(x)在(0,+∞)上有唯一零点,‎ 设h'(x)的零点为t,则h'(t)=et-=0.‎ 即et=.‎ 由h'(x)的单调性知,当x∈(0,t)时,h'(x)h'(t)=0,g(x)为增函数,‎ ‎∴当x>0时,h(x)≥h(t)=et-lnt-2=-ln-2=+t-2≥2-2=0,‎ 又∵0.‎ ‎■(2015辽宁东北育才高三第五次模拟,导数与函数的最值,解答题,理20)已知函数f(x)=ln(a+x)-ln(a-x)(a>0).‎ ‎(1)曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x,求a的值;‎ ‎(2)当x≥0时,不等式f(x)≥2x+恒成立,试求a的取值范围.‎ 解:(1)已知f(x)=ln(a+x)-ln(a-x)(a>0),‎ 则f'(x)=,f'(0)=,‎ 由题意知f'(0)=2,∴=2,∴a=1.‎ ‎(2)令g(x)=f(x)-2x-(0≤x1时,a2-1>0,a-a2<0.‎ ‎∴00时,ex+1≥ax+b⇔b≤ex+1-ax⇔ab≤aex+1-a2x,令f(x)=aex+1-a2x,故f'(x)=a(ex+1-a),令f'(x)=0,解得x=lna-1,当xlna-1时,f'(x)>0,故f(x)min=f(lna-1)=2a2-a2lna,故ab≤2a2-a2lna.令g(a)=2a2-a2lna(a>0),故g'(a)=a(3-2lna)(a>0),令g'(a)=0,解得a=,当00;当a>时,g'(a)<0,故g(a)max=g()=e3,故ab的最大值为e3,故选A.‎ 答案:A ‎■(2015辽宁重点中学协作体高考模拟,导数与函数的最值,解答题,理21)已知二次函数f(x)=ax2+bx+1,其中a,b∈R,g(x)=ln(ex),且函数F(x)=f(x)-g(x)在x=1处取得极值.‎ ‎(1)求a,b所满足的关系;‎ ‎(2)试判断是否存在a∈(-2,0)∪(0,2),使得对∀x∈[1,2],不等式(x+a)F(x)≥0恒成立?如果存在,请求出符合条件的a的所有值;如果不存在,请说明理由.‎ 解:(1)F(x)=ax2+bx+1-ln(ex),F'(x)=2ax+b-.‎ ‎∵F(x)在x=1处取得极值,‎ ‎∴F'(1)=2a+b-1=0.‎ F'(x)==0,‎ x1=-,x2=1,且x1≠x2,∴a≠-.‎ ‎∴2a+b-1=0为a,b所满足的关系.‎ ‎(2)∵F(x)=ax2+(1-2a)x-ln(ex).‎ ‎①当a∈(0,2)时,∵x∈[1,2],且(x+a)F(x)≥0,‎ ‎∴F(x)≥0,‎ ‎∵F'(x)=≥0,‎ ‎∴F(x)在[1,2]上单调递增,‎ ‎∴F(x)≥F(1)=1-a≥0即可,∴a∈(0,1];‎ ‎②当a∈(-2,0),且a≠-时,x1=-,x2=1,‎ ‎(ⅰ)若-<1,即-20,F(x)≥F(2)=2-ln2>0,‎ ‎∴(x+a)F(x)≥0恒成立,∴a∈;‎ ‎(ⅲ)若-≥2,即-≤a<0时,‎ F(x)在[1,2]上单调递增,且(x+a)F(x)≥0恒成立,‎ ‎∴a∈.‎ 综上所述,a∈∪(0,1].‎ ‎■(2015东北三省三校高三第一次联考,导数与函数的最值,选择题,理11)已知数列{an}满足:an=n3-n2+3+m.若数列的最小项为1,则m的值为(　　)‎ A. B. C.- D.-‎ 解析:令f(x)=x3-x2+3+m,x∈(0,+∞),则f'(x)=x2-x=x,当x∈时,f'(x)<0,当x∈时,f'(x)>0,故x=为函数f(x)的极小值点,也是最小值点.由于n∈N*,且a2=+m,a3=+m,故a20).‎ ‎(1)求函数f(x)的单调区间;‎ ‎(2)求函数f(x)在上的最大值;‎ ‎(3)若存在x1,x2(x10),则f'(x)=1-aeax.‎ 令f'(x)=1-aeax=0,则x=ln.‎ 当x变化时,f(x)与f'(x)的变化情况如下表:‎ x ln f'(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ f(x)‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 故函数f(x)的单调递增区间为;‎ 单调递减区间为.‎ ‎(2)当ln,‎ 即00,即a<,‎ ‎∵f-e>0,‎ 由此可得x1ln,‎ 即x1-x2<.‎ 又∵f(x1)=x1-=0,f(x2)=x2-=0.‎ ‎∴=eln(ae)=ae.‎ ‎■(2015银川一中高三二模,利用导数解决不等式的有关问题,解答题,理21)已知函数f(x)=x-ln(x+a)的最小值为0,其中a>0.‎ ‎(1)求a的值;‎ ‎(2)已知结论:若函数f(x)=x-ln(x+a)在(m,n)内导数都存在,且m>-a,则存在x0∈(m,n),使得f'(x0)=.试用这个结论证明:若-a-a,‎ 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:‎ x ‎(-a,1-a)‎ ‎1-a ‎(1-a,+∞)‎ f'(x)‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 因此,f(x)在x=1-a处取得最小值,‎ 故由题意f(1-a)=1-a=0,所以a=1.‎ ‎(2)令h(x)=f(x)-g(x)‎ ‎=f(x)-(x-x1)-f(x1),‎ 则h'(x)=f'(x)-.‎ 因为f(x)在x∈(x1,x2)上存在导数,‎ 所以存在x0∈(x1,x2),‎ 使得f'(x0)=,‎ 又因为f'(x)=,‎ 所以h'(x)=f'(x)-f'(x0)=.‎ 因为当x∈(x1,x0)时,h'(x)<0,h(x)为单调减函数,‎ 所以h(x)0,h(x)为单调增函数,‎ 所以h(x)0对x∈(1,+∞)成立,‎ 即f'(x)在(1,+∞)上为增函数,‎ 又f'(1)=0,故f'(x)>0对x∈(1,+∞)成立,‎ ‎∴f(x)在(1,+∞)上为增函数.‎ ‎(3)∵x≥1,∴由f(x)≥g(x),得 x·ex-1-ax3-x2+(a-1)x+a≥0,‎ 设h(x)=x·ex-1-ax3-x2+(a-1)x+a(x≥1).‎ ‎∴h'(x)=(x+1)ex-1-ax2-x+a-1‎ ‎=(x+1)[ex-1-a(x-1)-1](x≥1),‎ 设k(x)=ex-1-a(x-1)-1(x≥1),‎ ‎∴k'(x)=ex-1-a.‎ ‎①当a≤1时,k'(x)≥0对x∈[1,+∞)成立.‎ 又k(1)=0,故k(x)≥0,即h'(x)≥0,‎ ‎∴h(x)在[1,+∞)上单调递增,‎ 又h(1)=0,故h(x)≥0.‎ ‎②当a>1时,由k'(x)=0,得x=1+lna>1.‎ 当x∈(1,1+lna)时,k'(x)<0,‎ 又k(1)=0,故k(x)<0,即h'(x)<0.‎ 又h(1)=0,故h(x)<0,这与已知条件不符.‎ 综上所述,实数a的取值范围为(-∞,1].‎ ‎3.4定积分与微积分基本定理 专题1‎ 定积分的计算 ‎■(2015江西八所重点中学高三联考,定积分的计算,填空题,理13)计算:(x3cos x)dx=　　　　　. ‎ 解析:利用奇函数的对称性求解.因为函数y=x3cosx,x∈[-3,3]是奇函数,所以(x3cosx)dx=(x3cosx)dx+(x3cosx)dx=0.‎ 答案:0‎ 专题2‎ 利用定积分求平面图形的面积 ‎■(2015银川高中教学质量检测,利用定积分求平面图形的面积,填空题,理14)由函数y=x2的图象与直线y=2x围成的图形的面积是　　　　　. ‎ 解析:利用微积分基本定理求解.结合图形易得所求面积为(2x-x2)dx==4-.‎ 答案:‎ ‎■(2015辽宁重点中学协作体高考模拟,利用定积分求平面图形的面积,选择题,理5)由y=-1,y=0,x=2所对应的曲线围成的封闭图形的面积为(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.ln 2- B.-ln 2‎ C.1-ln 2 D.ln 2-1‎ 解析:依题意得所求的面积等于dx=(x-lnx)=1-ln2,故选C.‎ 答案:C