2017-2018学年云南民族大学附属中学高二12月月考数学（理）试题 11页

‎2017-2018学年云南民族大学附属中学高二12月月考理科数学 注意事项：‎ ‎1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的考号、姓名、考场、座位号、班级在答题卡上填写清楚。‎ ‎2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试卷上作答无效。‎ 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题(共12小题，每小题5分，共60.0分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1、已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合B={x|2x+1＞1}，则∁BA=（   ） ‎ A、[3，+∞）B、（3，+∞）C、（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）D、（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）‎ ‎2、复数z= 的共轭复数为（   ） ‎ A、﹣1﹣ B、1﹣ C、﹣2﹣ D、﹣2+‎ ‎3、已知命题p，q，“￢p为假”是“p∨q为真”的（   ） ‎ A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件D、既不充分也不必要条件 ‎4、等比数列的前n项和为Sn ， 且 ， 2 ， 成等差数列，若=1，则S10=（   ） ‎ A、512 B、511 C、1024 D、1023‎ ‎5、已知直线：2x﹣y+2=0和直线：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线和直线的距离之和的最小值是（   ） ‎ A、2 B、 C、3 D、‎ ‎6、已知平面向量 ， ，且 ，则 =（   ） ‎ A、4 B、﹣6 C、﹣10 D、10‎ ‎7、中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的为2，2，5，则输出的s=（   ） ‎ A、7 B、12 C、17 D、34‎ ‎8、已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣2）=2021，对任意x∈（﹣∞，+∞），都有f'（x）＜2x成立，则不等式f（x）＞x2+2017的解集为（   ） ‎ A、（﹣2，+∞） B、（﹣2，2） C、（﹣∞，﹣2） D、（﹣∞，+∞）‎ ‎9、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（单位：cm），则该阳马的外接球的体积为（   ） ‎ A、100cm3 B、cm3 C、400cm3 D、cm3‎ ‎10、函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移 个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（   ） ‎ A、 B、 C、0 D、‎ ‎11、已知直线：kx﹣y﹣3=0与圆O：x2+y2=4交于A、B两点且 ，则k=（   ） ‎ A、2 B、 C、±2 D、‎ 12、 从双曲线 （＞0，b＞0）的左焦点F引圆x2+y2=的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，‎ 则|MO|﹣|MT|等于（   ） ‎ A、 B、 C、 D、‎ 第II卷（非选择题，共90分）‎ 二、 填空题(共4小题，共20.0分)‎ ‎13．已知实数， 满足，则的最大值为__________．‎ ‎14．已知甲、乙、丙三人恰好都去过北京、上海中的某一个城市，三人分别给出了以下说法：‎ 甲说：“我去过上海，乙也去过上海，丙去过北京.”‎ 乙说：“我去过上海，甲说得不完全对.”‎ 丙说：“我去过北京，乙说得对.”‎ 已知甲、乙、丙三人中恰好有1人说得不对，则去过北京的是_________．‎ ‎15．中，若、、依次成等比数列，则的取值范围为________.‎ ‎16．已知是定义在R上的偶函数，其导函数，若，， ，则不等式的解集为________.‎ 三、 解答题(共6小题，17题10分，18-22题每题12分，共70.0分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.已知函数f（x）= sinxcosx﹣cos2x． （Ⅰ）求函数f（x）的对称轴方程； （Ⅱ）将函数f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，然后再向左平移 个单位，得到函数g（x）的图象．若，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，=2，c=4，且g（B）=0，求b的值． ‎ ‎18.等差数列{an}的前n项和为Sn ，且=9，S6=60． （I）求数列{an}的通项公式； （II）若数列{bn}满足bn+1﹣bn=（n∈N+）且b1=3，求数列 的前n项和Tn ．‎ ‎19.为了弘扬民族文化，某校举行了“我爱国学，传诵经典”考试，并从中随机抽取了100名考生的成绩（得分均为整数，满分100分）进行统计制表，其中成绩不低于80分的考生被评为优秀生，请根据频率分布表中所提供的数据，用频率估计概率，回答下列问题． ‎ 分组 频数 频率 ‎[50，60）‎ ‎5‎ ‎0.05‎ ‎[60，70）‎ ‎0.20‎ ‎[70，80）‎ ‎35‎ ‎[80，90）‎ ‎25‎ ‎0.25‎ ‎[90，100）‎ ‎15‎ ‎0.15‎ 合计 ‎100‎ ‎1.00‎ （I） 求，的值及随机抽取一考生恰为优秀生的概率； （Ⅱ）按频率分布表中的成绩分组，采用分层抽样抽取20人参加学校的“我爱国学”宣传活动，求其中优秀生的人数； 20.如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5． （Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC； （Ⅱ）求证二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；‎ ‎21.已知椭圆C： （＞b＞0）的左、右顶点分别为A1、A2 ， 上、下顶点分别为B2、B1 ， O为坐标原点，四边形A1B1A2B2的面积为4，且该四边形内切圆的方程为． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）若M、N是椭圆C上的两个不同的动点，直线OM、ON的斜率之积等于，试探求△OMN的面积是否为定值，并说明理由． ‎ ‎ （Ⅰ）若，求证：函数在（1，+∞）上是增函数； （Ⅱ）求函数在[1，e]上的最小值及相应的值.‎ 答案解析部分 一、单选题 ‎1、A 2、D 3、A 4、D 5、B 6、C 7、C 8、C 9、B 10、B 11、B 12、B ‎ ‎【解析】【解答】解：如图所示，设F′是双曲线的右焦点，连接PF′． ∵点M，O分别为线段PF，FF′的中点，由三角形中位线定理得到：|OM|= |PF′|= （|PF|﹣2a）= |PF|﹣a=|MF|﹣a，∴|OM|﹣|MT|=|MF|﹣|MT|﹣a=|FT|﹣a，连接OT，因为PT是圆的切线， 则OT⊥FT，在Rt△FOT中，|OF|=c，|OT|=a， ∴|FT|= =b． ∴|OM|﹣|MT|=b﹣a． 故选B． ‎ 二． 填空题 ‎13．6 14.甲、丙 ‎ ‎ ‎ ‎16．‎ ‎【解析】根据题意，设 ，其导数 ‎ 又由，则，函数在上为增函数， 又由 是定义在R上的偶函数，且， 则有，则函数的周期为3；‎ 若，则有 即 ‎ 又由函数为增函数，则有，即不等式的解集为； 故答案为．‎ 二． 解答题 ‎17.解：（Ⅰ）函数 = ，令 ，解得 ， 所以函数f（x）的对称轴方程为 ． （Ⅱ）函数f（x）的图象各点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数 的图象， 再向左平移 个单位，得到函数 的图象，所以函数 ． 又△ABC中，g（B）=0，所以 ，又 ， 所以 ，则 ．由余弦定理可知， ， 所以 ‎ ‎18.解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，∵a3=9，S6=60． ∴ ，解得 ． ∴an=5+（n﹣1）×2=2n+3． （Ⅱ）∵bn+1﹣bn=an=2n+3，b1=3， 当n≥2时，bn=（bn﹣bn﹣1）+…+（b2﹣b1）+b1 =[2（n﹣1）+3]+[2（n﹣2）+3]+…+[2×1+3]+3= ． 当n=1时，b1=3适合上式，所以 ． ∴ ． ∴ = = 19.解：（Ⅰ）由频率分布表得： ， 解得a=20，b=0.35， 由频率分布表可得随机抽取一考生恰为优秀生的概率为： P=0.25+0.15=0.4． （Ⅱ）按成绩分层抽样抽取20人时， 优秀生应抽取20×0.4=8人． 20.（I）证明：∵AA1C1C是正方形，∴AA1⊥AC． 又∵平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C=AC， ∴AA1⊥平面ABC． （II）解：由AC=4，BC=5，AB=3． ‎ ‎∴AC2+AB2=BC2 ， ∴AB⊥AC． 建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（0，0，4），B（0，3，0），B1（0，3，4），C1（4，0，4）， ∴ ， ， ． 设平面A1BC1的法向量为 ，平面B1BC1的法向量为 =（x2 ， y2 ， z2）． 则 ，令y1=4，解得x1=0，z1=3，∴ ． ，令x2=3，解得y2=4，z2=0，∴ ． = = = ． ∴二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值为 ． 21. 解：（Ⅰ）∵四边形A1B1A2B2的面积为4，又可知四边形A1B1A2B2为菱形， ∴ ，即ab=2  ① 由题意可得直线A2B2方程为： ，即bx+ay﹣ab=0， ∵四边形A1B1A2B2内切圆方程为 ， ‎ ‎∴圆心O到直线A2B2的距离为 ，即 ② 由①②解得：a=2，b=1，∴椭圆C的方程为： （Ⅱ）若直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y=kx+m，M（x1 ， y1），N（x2 ， y2）， 由 得：（1+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣1）=0∵直线l与椭圆C相交于M，N两个不同的点， ∴△=64m2k2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）＞0得：1+4k2﹣m2＞0③ 由韦达定理： ∵直线OM，ON的斜率之积等于 ， ∴ ， ∴ ， ∴2m2=4k2+1满足③…（9分） ∴ ， 又O到直线MN的距离为 ， ， 所以△OMN的面积 若直线MN的斜率不存在，M，N关于x轴对称 设M（x1 ， y1），N（x1 ， ﹣y1），则 ， ， 又∵M在椭圆上， ，∴ ， 所以△OMN的面积S= = =1． 综上可知，△OMN的面积为定值1 ‎ ‎22.解：（Ⅰ）当a=﹣2时，f（x）=x2﹣2lnx，当x∈（1，+∞）， ， 故函数f（x）在（1，+∞）上是增函数． （Ⅱ） ，当x∈[1，e]，2x2+a∈[a+2，a+2e2]． 若a≥﹣2，f'（x）在[1，e]上非负（仅当a=﹣2，x=1时，f'（x）=0）， 故函数f（x）在[1，e]上是增函数，此时[f（x）]min=f（1）=1． 若﹣2e2＜a＜﹣2，当 时，f'（x）=0；当 时，f'（x）＜0， 此时f（x）是减函数；当 时，f'（x）＞0，此时f（x）是增函数． 故[f（x）]min= = 若a≤﹣2e2 ， f'（x）在[1，e]上非正（仅当a=﹣2e2 ， x=e时，f'（x）=0）， 故函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时[f（x）]min=f（e）=a+e2 ． 综上可知，当a≥﹣2时，f（x）的最小值为1，相应的x值为1； 当﹣2e2＜a＜﹣2时，f（x）的最小值为 ，相应的x值为 ； 当a≤﹣2e2时，f（x）的最小值为a+e2 ， 相应的x值为e ‎