2020学年高一数学下册期末正弦定理和余弦定理的应用知识梳理 7页

高一数学下学期期末备考正弦定理和余弦定理的应用 实际测量中的常见问题 求 AB 图形 需要测量的元素 解法 求 竖 直 高 度 底部 可达 ∠ACB＝α， BC＝a 解直角三角形 AB＝ atan α 底部 不可达 ∠ACB＝α， ∠ADB＝β， CD＝a 解两个直角三角形 AB＝ atan αtan β tan β－tan α 求 水 平 距 离 山 两 侧 ∠ACB＝α， AC＝b， BC＝a 用余弦定理 AB＝ a2＋b2－2abcos α 河 两 岸 ∠ACB＝α， ∠ABC＝β， CB＝a 用正弦定理 AB＝ asin α sinα＋β 河 对 岸 ∠ADC＝α， ∠BDC＝β， ∠BCD＝δ， ∠ACD＝γ， CD＝a 在△ADC 中，AC＝ asin α sinα＋γ 在△BDC 中，BC＝ asin β sinβ＋δ ； 在△ABC 中，应用余弦 定理求 AB 2．仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水 平视线下方时叫俯角．(如图①)． 3．方位角和方向角 (1)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为α(如图②)． (2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东 30°等． 【考点精炼】 考点一：高度问题（已知仰角或俯角） 例 1、(2019·山东青岛月考)如图所示，D，C，B 三点在地面的同一条直线上，DC＝a，从 C，D 两点 测得 A 点的仰角分别为 60°，30°，则 A 点离地面的高度 AB＝________. 【答案】 3 2 a [由已知得∠DAC＝30°，△ADC 为等腰三角形，AD＝ 3a，所以在 Rt△ADB 中，AB ＝ 1 2 AD＝ 3 2 a.] 练习 1、(2019·河北衡水模拟)如图，为了测量河对岸电视塔 CD 的高度，小王在点 A 处测得塔顶 D 的 仰角为 30°，塔底 C 与 A 的连线同河岸成 15°角，小王向前走了 1 200 m 到达 M 处，测得塔底 C 与 M 的 连线同河岸成 60°角，则电视塔 CD 的高度为________m. 【答案】600 2 [在△ACM 中，∠MCA＝60°－15°＝45°，∠AMC＝180°－60°＝120°， 由正弦定理得 AM sin∠MCA ＝ AC sin∠AMC ， 即 1 200 2 2 ＝ AC 3 2 ，解得 AC＝600 6. 在△ACD 中，∵tan∠DAC＝ DC AC ＝ 3 3 ， ∴DC＝600 6× 3 3 ＝600 2.] 求解高度问题的 3 个注意点 (1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上 所成的角)是关键． (2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形， 一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错． (3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题． 考点二：高度问题（已知方位角或方向角） 例 2、如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30° 的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75°的方向上，仰角为 30°，则此山的高度 CD ＝______m. 【答案】100 6 [由题意，在△ABC 中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°. 又 AB＝600 m，故由正弦定理得 600 sin 45° ＝ BC sin 30° ， 解得 BC＝300 2 m. 在 Rt△BCD 中，CD＝BC·tan 30°＝300 2× 3 3 ＝100 6(m)．] 考点三：距离问题 例 3、(2019·山东临沂联考)如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别为 67°，30°， 此时气球的高是 46 m，则河流的宽度 BC 约等于________m.(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据： sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80， 3≈1.73) 【答案】60 [如图，过点 A 作 AD 垂直于 CB 的延长线，垂足为 D， 则在 Rt△ABD 中，∠ABD＝67°，AD＝46，AB＝ 46 sin 67° .在△ABC 中，根据正弦定理得 BC＝ ABsin 37° sin 30° ＝46× sin 37° sin 67°sin 30° ≈60.] 训练 3、如图所示，要测量一水塘两侧 A，B 两点间的距离，其方法先选定适当的位置 C，用经纬仪测 出角α，再分别测出 AC，BC 的长 b，a，则可求出 A，B 两点间的距离，即 AB＝ a2＋b2－2abcos α. 若测得 CA＝400 m，CB＝600 m，∠ACB＝60°，试计算 AB 的长． 解 在△ABC 中，由余弦定理得 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB， ∴AB2＝4002＋6002－2×400×600cos 60°＝280 000， ∴AB＝200 7(m)， 即 A，B 两点间的距离为 200 7 m. 求解距离问题的一般步骤 (1)画出示意图，将实际问题转化成三角形问题． (2)明确所求的距离在哪个三角形中，有几个已知元素． (3)使用正弦定理、余弦定理解三角形对于解答题，应作答． 考点四：角度问题 例 4、如图所示，位于 A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距 40 n mile 的 B 处有一艘渔船遇险， 在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西 30°、相距 20 n mile 的 C 处的乙船，现乙船朝北偏 东θ的方向沿直线 CB 前往 B 处救援，则 cos θ的值为________. 【答案】 21 14 [在△ABC 中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°， 由余弦定理得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800，得 BC＝20 7. 由正弦定理，得 AB sin∠ACB ＝ BC sin∠BAC ， 即 sin∠ACB＝ AB BC ·sin∠BAC＝ 21 7 . 由∠BAC＝120°，知∠ACB 为锐角，则 cos∠ACB＝ 2 7 7 .由θ＝∠ACB＋30°，得 cos θ＝cos(∠ACB＋ 30°) ＝cos∠ACBcos 30°－sin∠ACBsin 30°＝ 21 14 .] 训练 4、(2019·山西大同联考)在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力 的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东 30°，风速是 20 km/h；水的流向是正东，流速是 20 km/h， 若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的方向为北偏东________，速度的大小为________ km/h. 【答案】60° 20 3 [如图， ∠AOB＝60°，由余弦定理知 OC2＝202＋202－800cos 120°＝1 200，故 OC＝20 3，∠COy＝30° ＋30°＝60°. ] 解决测量角度问题的注意事项 (1)首先应明确方位角或方向角的含义． (2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步． (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用． 训练 5、(2019·河南安阳调研)如图，在海岸 A 处发现北偏东 45°方向，距 A 处( 3－1)n mile 的 B 处 有一艘走私船．在 A 处北偏西 75°方向，距 A 处 2 n mile 的 C 处的我方缉私船奉命以 10 3 n mile/h 的 速度追截走私船，此时走私船正以 10 n mile/h 的速度从 B 处向北偏东 30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方 向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间． 解 设缉私船应沿 CD 方向行驶 t 小时，才能最快截获(在 D 点)走私船，则 CD＝ 10 3t n mile，BD ＝10t n mile，在△ABC 中，由余弦定理，有 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA ＝( 3－1)2＋22－2( 3－1)×2×cos120°＝6， 解得 BC＝ 6. 又∵ BC sinA ＝ AC sin∠ABC ， ∴sin∠ABC＝ AC·sinA BC ＝ 2×sin120° 6 ＝ 2 2 ， ∴∠ABC＝45°，故 B 点在 C 点的正东方向上， ∴∠CBD＝90°＋30°＝120°， 在△BCD 中，由正弦定理，得 BD sin∠BCD ＝ CD sin∠CBD ， ∴sin∠BCD＝ BD·sin∠CBD CD ＝ 10t·sin120° 10 3t ＝ 1 2 . ∴∠BCD＝30°，∴缉私船沿北偏东 60°的方向行驶． 又在△BCD 中，∠CBD＝ 120°，∠BCD＝30°， ∴∠D＝30°，∴BD＝BC， 即 10t＝ 6，解得 t＝ 6 10 小时≈15 分钟． ∴缉私船应沿北偏东 60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要 15 分钟．