2018-2019学年重庆市渝东六校高二下学期期中联考数学（理）试题（解析版） 14页

‎2018-2019学年重庆市渝东六校高二下学期期中联考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知为虚数单位，则=‎ A．1 B． C． D．-1‎ ‎【答案】C ‎【解析】把化简成的形式，‎ 利用进行求解．‎ ‎【详解】‎ ‎，故本题选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了虚数单位的正整数幂的性质．‎ ‎2．用反证法证明命题“设，为实数，若在上单调，则至多有一个零点”时，应假设为( )‎ A．函数至少有一个零点 B．函数至多有两个零点 C．函数没有零点 D．函数至少有两个零点 ‎【答案】D ‎【解析】由至多的否定为至少可得到所需的假设.‎ ‎【详解】‎ 反证法需假设原命题的否定形式 则“至多有一个零点”的否定为“至少有两个零点”‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查反证法的假设的判断，关键是明确反证法需假设原命题的否定形式，而至多的否定为至少.‎ ‎3．已知函数，则的值为( )‎ A．1 B． C．0 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据复合函数求导法则可求得，代入即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数值的求解问题，关键是熟练掌握复合函数求导法则，属于基础题.‎ ‎4．函数在处的切线方程为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用导数的几何意义求得切线斜率，根据点斜式方程写出切线方程.‎ ‎【详解】‎ ‎ ，即在处的切线斜率 所求切线方程为，即 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查在某点处的切线方程的求解问题，关键是明确导数的几何意义为在切点处切线的斜率.‎ ‎5．若，其中为虚数单位，则 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】首先求得的共轭复数和模长，代入即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎ ， ‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查共轭复数、复数模长的求解问题，属于基础题.‎ ‎6．两条异面直线，上分别有3个点和4个点，这7个点可以确定不同的平面个数为( )‎ A．12 B．30 C．7 D．10‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据直线与线外一点可确定一个平面，再结合异面直线特点可知所确定平面互不相同，由此得到结果.‎ ‎【详解】‎ 直线与上的个点中每个点都可以确定一个的平面，共个 直线与上的个点中每个点都可以确定一个平面，共个 可确定不同的平面个数为个 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平面的确定，需明确直线与直线外一点可以构成一个平面，属于基础题.‎ ‎7．设为曲线上的点，且曲线在点处切线倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据倾斜角范围可求得切线斜率的范围，根据导数的几何意义可利用导函数构造不等式求得所求横坐标的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 设切线的倾斜角为，则 切线斜率 ‎ ，解得：‎ 即点横坐标的取值范围为 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线斜率与倾斜角的关系、导数的几何意义的应用；关键是能够根据直线斜率与倾斜角的关系确定切线斜率的取值范围.‎ ‎8．( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】分别根据积分的运算法则和几何意义求得两个积分的值，进而得到结果.‎ ‎【详解】‎ 表示下图所示的阴影部分的面积 ‎， ‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查积分的求解问题，涉及到积分的运算法则和几何意义的应用.‎ ‎9．已知函数是上的单调增函数，则的取值范围是( )‎ A． B．或 C． D．或 ‎【答案】C ‎【解析】根据函数单调性可知在上恒成立，分别在和两种情况下，结合二次函数的性质求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意得：在上恒成立 当时，，满足题意 当时，则需，解得：‎ 综上所述：‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据函数的单调性求解参数范围的问题，关键是能够将问题转化为导函数在实数范围内恒大于等于零的问题；易错点是在求解时，忽略对二次项系数是否为零的讨论.‎ ‎10．已知函数，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】将所求积分分成两段来进行求解，根据积分运算法则可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查积分的计算问题，关键是能够按照分段函数的形式将所求积分进行分段求解.‎ ‎11．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有:“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程比如在表达式中“”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程求得，类似上述过程，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由，类比已知中的求法，可构造方程求得结果.‎ ‎【详解】‎ 可设，则，解得：‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查类比推理的应用问题，关键是能够明确已知中的代换关系，将所求式子整理变形为可以整体换元的方式.‎ ‎12．已知函数满足，且，则在的单调性为( )‎ A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．先减后增 ‎【答案】D ‎【解析】根据已知等式可变形为，由此可得的解析式，表示出；利用可求得的解析式，利用导数可求得函数的单调性，从而得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎ （为常数）‎ ‎ ，解得：‎ ‎ ‎ 当时，；当时，‎ 在上单调递减，在上单调递增 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数判断函数的单调性的问题，关键是能够通过将已知等式转化为函数导函数的形式，进而得到原函数的解析式.‎ 二、填空题 ‎13．若复数满足，则_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用复数的除法运算整理可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数的除法运算，属于基础题.‎ ‎14．从2021年起重庆市新高考，打破文理分科实行“”模式，“3”代表语､数､外三科，每人必选这3科，“1”代表学生从物理和历史两科中任选1科，“2”代表学生从化学､生物､政治､地理四科中任选2科，每个学生的选科方式共有________种.‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】首先确定“”模式中的的选法，再确定的选法，根据分步乘法计数原理求得结果.‎ ‎【详解】‎ 从物理和历史两科中任选科，共有种选法 从化学、生物、政治、地理四科中任选科，共有种选法 每个学生的选科方式共有种 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分步乘法计数原理的应用，属于基础题.‎ ‎15．语文中回文句，如:“黄山落叶松叶落山黄，西湖垂柳丝柳垂湖西.”，倒过来读完全一样，数学中也有类似现象，无论从左往右读，还是从右往左读，都是同一个数，称这样的数为“回文数”!二位的回文数有11，22，33，44，55，66，77，88，99，共9个;三位的回文数有101，111，121，131，…，969，979，989，999，共90个;四位的回文数有1001，1111，1221，…，9669，9779，9889，999，共90个;五位的回文数有10001，11111，12221，…，96669，97779，98889，99999共900个，由此推测:10位的回文数总共有_______个.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】总结回文数的个数规律即可直接得到结果.‎ ‎【详解】‎ 可将一位数看做回文数，共个；二位回文数共个；即个 三位的回文数共个，四位的回文数共个；即个 五位的回文数共个，六位的回文数共个；即个，……‎ 以此类推，位的回文数共有个 ‎【点睛】‎ 本题考查归纳推理的相关知识，属于基础题.‎ ‎16．已知函数，其导函数为，则的值为_______.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】根据解析式可得到解析式，可求得；求导后可得到，从而代入的值可求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据函数的性质求解函数值的问题，涉及到导数的运算，关键是能够通过函数解析式得到原函数和导函数的性质.‎ 三、解答题 ‎17．设函数.‎ ‎(1)求函数的单调区间.‎ ‎(2)求函数的极值.‎ ‎【答案】(1)增区间为和，减区间为;(2)极大值为，极小值为 ‎【解析】（1）求导后，根据导函数的正负可确定原函数的单调区间；‎ ‎（2）根据单调性可确定极值点，代入原函数求得极值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 当时，；当时，‎ 的单调递增区间为和；单调递减区间为 ‎（2）由（1）可知在处取得极大值，在处取得极小值 极大值为，极小值为 ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数求解函数的单调性和极值的问题；关键是明确函数单调性与导函数正负之间的关系、极值的定义，属于基础应用.‎ ‎18．若复数所对应的点在第三象限，其中为虚数单位，为实数.‎ ‎(1)求的取值范围.‎ ‎(2)求的共轭复数的最值.‎ ‎【答案】（1）；（2）最小值为，无最大值 ‎【解析】（1）确定复数所对应点的坐标，根据其所在象限可得不等式组，解不等式组求得结果；‎ ‎（2）根据共轭复数和模长运算得到，结合二次函数性质和的范围确定最值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）对应的点为，在第三象限 ，解得：‎ 即的取值范围为 ‎（2） ‎ 由（1）知 当时，‎ 为开区间 无最大值，即无最大值 ‎【点睛】‎ 本题考查利用复数对应点的位置求解参数范围、复数模长最值的求解问题，涉及到二次函数最值的求解；易错点是忽略参数的范围限制，造成在求解二次函数最值时出现求解错误.‎ ‎19．已知函数为一次函数，若函数的图象过点，且.‎ ‎(1)求函数的表达式.‎ ‎(2)若函数，求函数与的图象围成图形的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）假设出一次函数，根据积分构造出方程求得，进而得到结果；‎ ‎（2）联立两函数解析式可求得交点坐标，从而可知所求面积为，利用积分的运算法则求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）为一次函数且过点 可设 ‎，解得：‎ ‎（2）由得：，‎ 与围成的图形面积 即 ‎【点睛】‎ 本题考查利用积分求解函数解析式、利用积分求解两函数围成图形面积的问题，属于积分知识的基础应用问题.‎ ‎20．已知数列中，(且).‎ ‎(1)计算的值.‎ ‎(2)求数列的通项公式，并加以证明.‎ ‎【答案】（1），，；（2）；证明见解析 ‎【解析】（1）分别取代入已知等式求得结果；‎ ‎（2）根据可推测的通项公式，采用数学归纳法可证明所推测通项公式成立，由此得到结论.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）令，则；‎ 令，则；‎ 令，则 ‎（2）由可推测：‎ 证明：①当时，左边，右边，等式成立；‎ ‎②假设当时，成立 那么当时 ‎，即等式成立 综上所述：对任意的成立 数列的通项公式为 ‎【点睛】‎ 本题考查根据递推关系式求解数列中的项和通项公式、数学归纳法的证明问题；关键是能够根据已知的数列中的项推测出数列的通项公式，进而结合递推公式利用数学归纳法来证明；用数学归纳法证明时需注意，假设的结论必须在证明过程中使用到.‎ ‎21．已知函数.‎ ‎(1)求函数的单调区间.‎ ‎(2)当时，证明:对任意的，均有成立.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】（1）根据函数解析式确定函数定义域和导函数；分别在和两种情况下讨论导函数的正负，从而得到函数的单调区间；‎ ‎（2）将所证不等式转化为证明对任意恒成立；令，利用导数可得到的单调性，从而求得的最值为，由可证得结论.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得：定义域为 ‎①当时， 在上恒成立 的单调递增区间为，无单调递减区间 ‎②当时，当时，；当时，‎ 的单调递增区间为，单调递减区间为 ‎（2）当时，‎ 等价于 即证对任意的恒成立 令，则 当时，；当时，‎ 在上单调递减，在上单调递增 ‎ 恒成立 即对任意的，均有成立 ‎【点睛】‎ 本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数讨论含参数函数的单调性、恒成立不等式的证明问题；证明恒成立的不等式的关键是能够通过变形将问题转化为函数最值的求解问题.‎ ‎22．设函数.‎ ‎(1)当时，求证函数在上是增函数.‎ ‎(2)若函数在上有两个不同的零点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）分别求得一阶导和二阶导，由二阶导的正负可确定一阶导的单调性，从而得到，确定恒大于等于零，由此可得结论；‎ ‎（2）将问题转化为与有两个不同交点的问题；利用导数可确定的单调性，得到的图象，利用数形结合的方式求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，，则，‎ 当时，；当时，‎ 在上单调递减，在上单调递增 ‎ 且不恒等于 在上是增函数 ‎（2）函数在有两个不同的零点，即在有两个不同的解，即在有两个不同的解 令，则问题等价于与有两个不同交点 当时，；当时，‎ 在上单调递减，在上单调递增 由此可得图象如下图所示：‎ 由图象可知，当时，与有两个不同交点 时，在上有两个不同的零点 ‎【点睛】‎ 本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数证明函数的单调性、根据函数在区间内的零点个数求解参数范围的问题；关键是能够把零点个数问题转化为直线与函数的交点个数问题的求解，从而利用数形结合的方式来解决.‎