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- 2021-06-15 发布
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1.仰角和俯角
与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方叫仰角,目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①).
2.方向角
相对于某正方向的水平角,如南偏东30°,北偏西45°等.
3.方位角
指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为α(如图②).
【知识拓展】
1.三角形的面积公式:
S= (p=),
S==rp(R为三角形外接圆半径,r为三角形内切圆半径,p=).
2.坡度(又称坡比):坡面的垂直高度与水平长度之比.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β的关系为α+β=180°.( × )
(2)俯角是铅垂线与视线所成的角,其范围为[0,].( × )
(3)方位角与方向角其实质是一样的,均是确定观察点与目标点之间的位置关系.( √ )
(4)方位角大小的范围是[0,2π),方向角大小的范围一般是[0,).( √ )
1.(教材改编)如图所示,设A,B两点在河的两岸,一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C,测出AC的距离为50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算出A,B两点的距离为( )
A.50 m B.50 m
C.25 m D. m
答案 A
解析 由正弦定理得=,
又∵B=30°,
∴AB===50(m).
2.若点A在点C的北偏东30°,点B在点C的南偏东60°,且AC=BC,则点A在点B的( )
A.北偏东15° B.北偏西15°
C.北偏东10° D.北偏西10°
答案 B
解析 如图所示,∠ACB=90°,
又AC=BC,
∴∠CBA=45°,而β=30°,
∴α=90°-45°-30°=15°,
∴点A在点B的北偏西15°.
3.(教材改编)海面上有A,B,C三个灯塔,AB=10 n mile,从A望C和B成60°视角,从B望C和A成75°视角,则BC等于( )
A.10 n mile B. n mile
C.5 n mile D.5 n mile
答案 D
解析 如图,在△ABC中,
AB=10,A=60°,B=75°,
∴=,
∴BC=5.
4.如图所示,D,C,B三点在地面的同一直线上,DC=a,从C,D两点测得A点的仰角分别为60°,30°,则A点离地面的高度AB=________.
答案 a
解析 由已知得∠DAC=30°,△ADC为等腰三角形,AD=a,又在Rt△ADB中,AB=AD=a.
5.在一次抗洪抢险中,某救生艇发动机突然发生故障停止转动,失去动力的救生艇在洪水中漂行,此时,风向是北偏东30°,风速是20 km/h;水的流向是正东,流速是20 km/h,若不考虑其他因素,救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东________,速度的大小为________ km/h.
答案 60° 20
解析 如图,
∠AOB=60°,由余弦定理知OC2=202+202-800cos 120°=1 200,故OC=20,∠COY=30°+30°=60°.
题型一 求距离、高度问题
例1 (1)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高AD是60 m,则河流的宽度BC等于( )
A.240(-1) m B.180(-1) m
C.120(-1) m D.30(+1) m
(2)(2016·三明模拟)在200 m高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°,60°,则塔高是______ m.
答案 (1)C (2)
解析 (1)如图,在△ACD中,∠CAD=90°-30°=60°,AD=60 m,所以CD=AD·tan 60°=60(m).
在△ABD中,∠BAD=90°-75°=15°,
所以BD=AD·tan 15°=60(2-)(m).
所以BC=CD-BD=60-60(2-)
=120(-1) (m).
(2)如图,设塔AB高为h,
在Rt△CDB中,CD=200 m,∠BCD=90°-60°=30°,
∴BC==(m).
在△ABC中,∠ABC=∠BCD=30°,
∠ACB=60°-30°=30°,
∴∠BAC=120°.
在△ABC中,由正弦定理得=,
∴AB==(m).
思维升华 求距离、高度问题应注意
(1)理解俯角、仰角的概念,它们都是视线与水平线的夹角;理解方向角的概念.
(2)选定或确定要创建的三角形,要首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知则直接解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解.
(3)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理.
(1)一船以每小时15 km的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°,行驶4 h后,船到达C处,看到这个灯塔在北偏东15°,这时船与灯塔的距离为________ km.
(2)如图所示,为测一树的高度,在地面上选取A,B两点,从A,B两点分别测得树尖的仰角为30°,45°,且A,B两点间的距离为60 m,则树的高度为________m.
答案 (1)30 (2)30+30
解析 (1)如图,由题意,∠BAC=30°,∠ACB=105°,
∴B=45°,AC=60 km,
由正弦定理=,
∴BC=30 km.
(2)在△PAB中,∠PAB=30°,∠APB=15°,AB=60,
sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°=×-×=,
由正弦定理得=,
∴PB==30(+),
∴树的高度为PB·sin 45°=30(+)×
=(30+30)(m).
题型二 求角度问题
例2 如图所示,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援,则cos θ的值为________.
答案
解析 在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°,
由余弦定理得
BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 120°=2 800⇒BC=20.
由正弦定理,得=
⇒sin∠ACB=·sin∠BAC=.
由∠BAC=120°,知∠ACB为锐角,则cos∠ACB=.
由θ=∠ACB+30°,得cos θ=cos(∠ACB+30°)
=cos∠ACBcos 30°-sin∠ACBsin 30°=.
思维升华 解决测量角度问题的注意事项:
(1)首先应明确方位角或方向角的含义;
(2)分析题意,分清已知与所求,再根据题意画出正确的示意图,这是最关键、最重要的一步;
(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后,注意正弦、余弦定理的“联袂”使用.
如图,某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB,某目标点P沿墙面上的射线CM移动,此人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A观察点P的仰角θ的大小.若AB=15 m,AC=25 m,∠BCM=30°,则tan θ
的最大值是______(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角).
答案
解析 如图,过点P作PO⊥BC于点O,
连接AO,则∠PAO=θ.
设CO=x m,则OP=x m.
在Rt△ABC中,AB=15 m,AC=25 m,
所以BC=20 m.
所以cos∠BCA=.
所以AO=
=(m).
所以tan θ==
=.
当=,即x=时,tan θ取得最大值为=.
题型三 三角形与三角函数的综合问题
例3 (2016·长春质检)已知函数f(x)=2sin xcos x+2cos2x-.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调减区间;
(2)已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,其中a=7,若锐角A满足f(-)=,且sin B+sin C=,求bc的值.
解 (1)f(x)=2sin xcos x+2cos2x-
=sin 2x+cos 2x=2sin(2x+),
因此f(x)的最小正周期为T==π.
由2kπ+≤2x+≤2kπ+(k∈Z)得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,
即f(x)的单调递减区间为[kπ+,kπ+](k∈Z).
(2)由f(-)=2sin[2(-)+]=2sin A=,
又A为锐角,则A=,
由正弦定理可得2R===,
sin B+sin C==,
则b+c=·=13,
由余弦定理可知,
cos A===,
可求得bc=40.
思维升华 三角形与三角函数的综合问题,要借助三角函数性质的整体代换思想,数形结合思想,还要结合三角形中角的范围,充分利用正弦定理、余弦定理解题.
设f(x)=sin xcos x-cos2.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f=0,a=1,求△ABC面积的最大值.
解 (1)由题意知f(x)=-
=-=sin 2x-.
由-+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z, 可得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z;
由+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z, 可得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z);
单调递减区间是(k∈Z).
(2)由f=sin A-=0,得sin A=,
由题意知A为锐角,所以cos A=.
由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,
可得1+bc=b2+c2≥2bc,
即bc≤2+,当且仅当b=c时等号成立.
因此bcsin A≤.
所以△ABC面积的最大值为.
10.函数思想在解三角形中的应用
典例 (12分)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇.
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?
(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由.
思想方法指导 已知两边和其中一边的对角解三角形时,可以设出第三边,利用余弦定理列方程求解;对于三角形中的最值问题,可建立函数模型,转化为函数最值问题解决.
规范解答
解 (1)设相遇时小艇航行的距离为S海里,则[1分]
S=
== .[3分]
故当t=时,Smin=10,v==30.
即小艇以30海里/小时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小.[6分]
(2)设小艇与轮船在B处相遇.
则v2t2=400+900t2-2·20·30t·cos(90°-30°),[8分]
故v2=900-+.∵0