2019-2020学年江西省吉安市五校高二上学期第二次联考数学（理）试题 Word版 8页

江西省吉安市五校2019-2020学年高二上学期第二次联考理科数学试卷 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知，则下列各式一定成立的是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2.等比数列中，，则“”是“”的（ ）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 ‎3.己知抛物线上一点到焦点的距离为1,则点的纵坐标为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.阿基米德（公元前287年-公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，若椭圆C的焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的方程为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎5.直线 m,n和平面 则下列命题中，正确的是（ ）‎ A.m∥n,nm B.m∥‎ C.m∥n, m∥ D.m∥n,m ‎ ‎6.已知双曲线的离心率为，抛物线的焦点坐标为，若，则双曲线的渐近线方程为　　‎ A. B. C. D.‎ ‎7.现有命题“，”，不知真假。请你用数学归纳法去探究，此命题的真假情况为（ ）‎ A.不能用数学归纳法去判断真假 ‎ B.一定为真命题 ‎ C.加上条件后才是真命题，否则为假 ‎ D.存在一个很大常数，当时，命题为假 ‎8.设分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点M，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.棱长为2的正方体中，动点在内，且到直线的距离之和等于，则的面积最大值是 （ ）‎ A. B.1 C. D.2‎ ‎10.某四面体三视图如图所示，则该四面体最长的棱长与最短的棱长的比是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎11.若圆与两条直线和都有公共点，则的范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知正方体的体积为1，则四棱锥与四棱锥重叠部分的体积是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎6‎ ‎4‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.如图，一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶4m时，水面的宽6m.经过一段时间的降雨后，水面上升了1m，此时水面宽度为 m.‎ ‎14.我们知道：在平面内，点到直线的距离公式为。通过类比的方法，可求得在空间中，点到平面的距离为 ‎ ‎15.已知在三棱锥中，, ，则三棱锥外接球的表面积为__________.‎ ‎16.在平面直角坐标系中，动点到两个顶点和的距离之积等于8，记点的轨迹为曲线，则下列命题中真命题的序号是 ‎ ‎（1）曲线经过坐标原点 （2）曲线关于轴对称 ‎（3）曲线关于轴对称 （4）若点在曲线上，则 二、填空题：本大题共6小题，共70分.‎ ‎17、(本小题满分10分)‎ 已知命题：方程的曲线是焦点在轴上的双曲线；命题：方程无实根.若或为真，￢为真，求实数的取值范围.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 已知数列的前n项和满足：，且.‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)猜想的通项公式，并用数学归纳法证明.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 如图，在五边形中，⊥，∥∥，为的 中点，.现把此五边形沿折成一个的二面角.‎ ‎(1)求证：直线∥平面；‎ ‎(2)求二面角的平面角的余弦值.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别是，，，记外接圆为圆.‎ ‎(1)求圆的方程；‎ ‎(2)在圆上是否存在点，使得？若存在，求点 的个数；若不存在，说明理由.‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知直线所经过的定点恰好是椭圆 的一个焦点,且椭圆上的点到点的最大距离为8.‎ ‎ (1)求椭圆的标准方程；‎ ‎(2)已知圆,直线.试证明当点在椭圆上运动时,直线与圆恒相交；并求直线被圆所截得的弦长的取值范围.‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 设顶点在原点，焦点在轴上的拋物线过点，过作抛物线的动弦，，并设它们的斜率分别为，.‎ ‎(1)求拋物线的方程；‎ ‎(2)若，求证：直线的斜率为定值，并求出其值；‎ ‎(3)若，求证：直线恒过定点，并求出其坐标.‎ 数学参考答案 ‎1-5 DACDA 6-10ABBCD 11-12 BC ‎13. 14. 15. 16.（2）（3）（4）‎ ‎17.解：若方程+=1的曲线是焦点在y轴上的双曲线，‎ 则满足，即，得m＞2，即p：m＞2，……………………3分 若方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根，则判别式△=16（m﹣2）2﹣16＜0，‎ 即（m﹣2）2＜1，得﹣1＜m﹣2＜1，即1＜m＜3，即q：1＜m＜3，…………………6分 若￢q为真，则q为假，同时若p或q为真，则p为真命题，‎ 即，得m≥3，即实数m的取值范围是[3，+∞）.…………………10分 ‎18.解： (1)，所以.‎ 又因为，所以 ‎，所以 ‎，所以 …………………… 5分 ‎(2)由(Ⅰ)猜想，.…………………… 6分 下面用数学归纳法加以证明：‎ ‎①当时，由（1）知成立.‎ ‎②假设()时，成立.‎ 当时，‎ 所以,解得：，‎ 所以 即当时猜想也成立.‎ 综上可知，猜想对一切都成立.…………………… 12分 ‎19.（1）证：因为，，所以.‎ 又因为，所以四边形为平行四边形.‎ 所以.‎ 又平面，所以平面. …………………5分 ‎（2）解：如图，取的中点，连接，，在△中，作，垂足为，在平面中，作，垂足为，连接.‎ 因为，.‎ ‎(第1９题图)‎ G H I 所以，.‎ 又，.‎ 故平面.‎ 所以平面.‎ 所以为二面角的平面角，即.……………9分 又，所以平面.‎ 所以.‎ 又，所以平面.‎ 所以.‎ 所以为二面角的平面角. ‎ 设，则.‎ 在△中，，.‎ ‎.‎ 所以.所以.…………12分（其它方法请酌情给分）‎ ‎20.解:(1)设外接圆的方程为,‎ ‎ 将代入上述方程得： ............2分 ‎ 解得 .............................................4分 ‎ 则圆的方程为 ..................................6分 ‎ (2)设点的坐标为，‎ ‎ 因为，所以 ‎ ‎ 化简得：...............................................8分 ‎ ‎ ‎ 即考察直线与圆的位置关系 ............................10分 ‎ 点到直线的距离为 ‎ ‎ 所以直线与圆相交，故满足条件的点有两个。 .........12分 ‎21.解: （1）由,‎ 得,‎ ‎ 则由,解得F（3,0）…………3分 ‎ 设椭圆的方程为,则,解得 ‎ ‎ 所以椭圆的方程为………………（6分）‎ ‎ （2）因为点在椭圆上运动,所以, 从而圆心到直线的距离.…………8分 ‎ 所以直线与圆恒相交 ， 又直线被圆截得的弦长为 ‎ ‎ 由于,所以,则,‎ 即直线被圆截得的弦长的取值范围是 …………12分 ‎22.解：(1)依题意，可设所求拋物线的方程为,‎ 因拋物线过点，故，拋物线的方程为.……… 2分 ‎(2)设，则，‎ 同理 ‎ ‎,∴，.‎ ‎，即直线的斜率恒为定值，且值为. …………… 7分 ‎（3），∴，∴.‎ 直线的方程为 ，即.‎ 将代入上式得即为直线的方程，‎ 所以直线恒过定点，命题得证.…………… 12分