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- 2021-06-15 发布
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第9讲 离散型随机变量的均值、方差和正态分布
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点1 离散型随机变量的均值与方差
1.若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
(1)均值
称E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机变量X的均值或数学期望,它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
(2)方差
称D(X)=xi-E(X)]2pi为随机变量X的方差,它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度,其算术平方根为随机变量X的标准差.
2.均值与方差的性质
(1)E(aX+b)=aE(X)+b.
(2)D(aX+b)=a2D(X).(a,b为常数)
(3)两点分布与二项分布的均值、方差
考点2 正态分布
1.正态曲线的性质
(1)曲线位于x轴上方,与x轴不相交;
(2)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;
(3)曲线在x=μ处达到峰值;
(4)曲线与x轴之间的面积为1;
(5)当σ一定时,曲线随着μ的变化而沿x轴平移,如图甲所示;
(6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定.σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散,如图乙所示.
2.正态分布的三个常用数据
(1)P(μ-σk)=P(ξ4)=( )
A.0.1588 B.0.1587
C.0.1586 D.0.1585
答案 B
解析 由正态曲线性质知,其图象关于直线x=3对称,∴P(ξ>4)==0.5-×0.6826=0.1587.故选B.
(2)[2015·山东高考]已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )
(附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)=
68.26%,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%.)
A.4.56% B.13.59%
C.27.18% D.31.74%
答案 B
解析 由正态分布N(0,32),可知ξ落在(3,6)内的概率为==13.59%.
触类旁通
关于正态总体在某个区间内取值的概率求法
(1)熟记P(μ-σ2)=0.15,则P(0≤ξ≤1)=( )
A.0.85 B.0.70
C.0.35 D.0.15
答案 C
解析 P(0≤ξ≤1)=P(1≤ξ≤2)=0.5-P(ξ>2)=0.35.故选C.
3.随机变量X的分布列如下:
X
-1
0
1
P
a
b
c
其中a,b,c成等差数列.若E(X)=,则D(X)的值是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 a+b+c=1.又∵2b=a+c,故b=,a+c=.由E(X)=,得=-a+c,故a=,c=.D(X)=2×+2×+2×=.故选B.
4.签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签,从中任意取3支,设X为这3支签的号码之中最大的一个,则X的数学期望为( )
A.5 B.5.25
C.5.8 D.4.6
答案 B
解析 由题意可知,X可以取3,4,5,6,
P(X=3)==,P(X=4)==,
P(X=5)==,P(X=6)==.
∴E(X)=3×+4×+5×+6×,得E(X)=5.25.
5.为了了解某地区高三男生的身体发育状况,抽查了该地区1000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况,抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ,22),且正态曲线如图所示.若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg属于正常情况,则这1000名男生中体重属于正常情况的人数是( )
A.997 B.954
C.819 D.683
答案 D
解析 由题意,可知μ=60.5,σ=2,故P(58.5