2020届高考理科数学二轮专题复习课件：高考大题 满分规范（二） 24页

高考大题 • 满分规范 ( 二 ) 三角函数与解三角形类解答题 【典型例题】 (12 分 )(2019· 全国卷 Ⅰ)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分 别为 a,b,c. 设 (sin B-sin C) 2 =sin 2 A-sin Bsin C. (1) 求 A. (2) 若 a+b=2c, 求 sin C. 【标准答案】 【解析】 (1)(sin B-sin C) 2 =sin 2 B-2sin Bsin C+ sin 2 C= sin 2 A-sin Bsin C, 即 :sin 2 B+sin 2 C-sin 2 A=sin Bsin C. ……………………………… ① 由正弦定理可得 :b 2 +c 2 -a 2 =bc, ……………… ② 所以 cos A= , ……………… ③ 因为 A∈(0,π), 所以 A= . ……………… ④ (2) 方法一 : 因为 a+b=2c, 由正弦定理得 : sin A+ sin B=2sin C, ……………… ⑤ 又 sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,A= , 所以 cos C+ sin C=2sin C, 整理可得 :3sin C- cos C ………… ⑥ 因为 sin 2 C+cos 2 C=1, ……………… ⑦ 所以 (3sin C- ) 2 =3(1-sin 2 C), ……………… ⑧ 解得 :sin C= . ………… ⑨ 因为 sin B=2sin C- sin A=2sin C- >0, 所以 sin C> , 故 sin C= . ……………… ⑩ 方法二 : 因为 a+b=2c, 由正弦定理得 : sin A+sin B =2sin C, ……………… ⑤ 又 sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,A= , 所以 cos C+ sin C=2sin C, 整理可得 :3sin C- cos C, 即 3sin C- cos C=2 sin , ………… ⑥ 所以 sin ……………… ⑦ 由 C∈ 所以 sin C= …………………… ⑧ 【题目拆解】 本题可拆解成以下几个小问题 : (1)① 将已知条件展开 , 利用正弦定理将角的关系化为边的关系 ; ② 利用余弦定理求出 A 的大小 . (2)① 运用正弦定理将边的关系转化为角的关系 . ② 结合同角基本关系式及第 (1) 问的结论求解 sin C 的值 . 【阅卷现场】 第 (1) 问 第 (2) 问 得 分 点 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 5 分 7 分 第 (1) 问踩点得分说明 ① 已知条件展开得 2 分 ; ② 正弦定理边角互化得 1 分 ; ③ 利用余弦定理求值得 1 分 ; ④ 给定范围内求出 A 角得 1 分 . 第 (2) 问踩点得分说明 ⑤ 利用正弦定理边角互化得 1 分 ; ⑥ 利用三角形内角和的性质及两角和的正弦公式化简得 1 分 ; ⑦ 想到同角基本关系式得 1 分 ; ⑧ 建立关于 sin C 的方程得 1 分 ; ⑨ 解方程得 1 分 ; ⑩ 得到最终结果得 2 分 . 【高考状元 · 满分心得】 1. 解决三角形问题的关键 准确把握正、余弦定理的内容 , 灵活根据已知条件选用公式是解三角形的关键 . 2. 边角互化 正弦定理可实行边角互化 , 因此化归思想很关键 , 如本 例第 (1) 问 . 3. 解三角形问题的运算技巧 解三角形时常与同角基本关系式及三角恒等变换密不 可分 , 所以熟练掌握三角公式也是必不可缺少的环节 . 4. 变角在三角恒等变换中的运用 在解三角形的过程中 , 变角尤其关键 . 如已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换以及三角形内角和定理的变换 . 【跟踪演练 · 感悟体验】 1.(2019· 江苏高考 ) 在 △ABC 中 , 角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. (1) 若 a=3c,b= ,cos B= , 求 c 的值 . (2) 若 求 sin 的值 . 【解析】 (1) 因为 a=3c,b= ,cos B= , 由余弦定理 cos B= , 得 即 c 2 = . 所以 c= . (2) 因为 由正弦定理 得 所以 cos B=2sin B. 从而 cos 2 B=(2sin B) 2 , 即 cos 2 B=4(1-cos 2 B), 故 cos 2 B= 因为 sin B>0, 所以 cos B=2sin B>0, 从而 cos B= . 因此 sin . 2.(2019· 昆明模拟 ) 在 △ABC 中 ,D 为 BC 边上一点 ,AD⊥ AC,AB= ,BD= ,AD=2. (1) 求 ∠ADB. (2) 求 △ABC 的面积 . 【解析】 (1) 因为 AB= ,BD= ,AD=2, 所以在 △ABD 中 , 由余弦定理可得 :cos∠ADB= 又因为 ∠ADB∈(0,π), 所以 ∠ADB= (2) 因为 ∠ADB+∠ADC=π, 所以 ∠ADC= , 因为 AD⊥AC, 所以 △ADC 为等腰直角三角形 , 可得 AC=2, 所以 S △ABC =S △ABD +S △ADC = ×2×2=3.