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- 2021-06-15 发布
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“长汀、连城、武平、永定、漳平、上杭六地一中”联考
2018-2019学年第二学期半期考
高二数学(理科)试题
(考试时间:120分钟 总分:150分)
命题人:上杭一中 刘忠寿 永定一中 吴玉辉 漳平一中 陈炳泉
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.
注意事项:
1. 答题前,考生务必用黑色铅字笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚,并请认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目,在规定的位置贴好条形码.
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选择其它答案标号,第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试卷上作答,答案无效.
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的。
1.若复数为虚数单位)是纯虚数,则实数的值为( )
A.-2 B.4 C.-6 D.6
2.函数在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
3.函数的递增区间是( )
A. B. C. D.
4.函数的图象如右图所示,则导函数的
x
o
y
x
o
y
x
o
y
x
o
y
图象的大致形状是 ( )
5.计算为( )
A. B. C. D.
6.用数学归纳法证明不等式的过程中,从到时左边需增加的代数式是 ( )
A. B. C. D.
7.已知函数在处取得极值10,则=( )
A.或 B.或 C. D.
8.右下图是美丽的“勾股树”,它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图一是第1代“勾股树”,重复图一的作法,得到图二为第2代“勾股树”,以此类推,已知最大的正方形面积为1,则第代“勾股树”所有正方形的面积的和为( )
A. B. C. D.
9.一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v(t)=11-3t+(t的单位:s,v的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是( )
A.4+25ln5 B. C. D.
10.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式中“”即代表无限次重复,但原式却是个定值,它可以通过方程
,求得,类似上述过程,则( )
A. B.3 C.6 D.
11. 函数在的最大值为2,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
12.已知是定义在上的增函数,其导函数满足,则下列结论正确的是( )
A.对于任意, B. 对于任意,
C.当且仅当 D. 当且仅当
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.在复平面内,复数对应的点的坐标为
14.如图,在边长为1的正方形中随机撒一粒黄豆,
则它落在阴影部分的概率为_______.
15.定义A*B,B*C,C*D,D*B依次对应如图所示的4个图形:
那么以下4个图形中,可以表示A*D的是 (填与图形对应的序号)
16.任意,使得成立,则的取值范围是_______.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。
17. (本小题满分10分) 设复数(其中),.
(Ⅰ)若是实数,求的值;
(Ⅱ)若是纯虚数,求.
18. (本小题满分12分) 已知函数,其中.
(Ⅰ)若曲线在点处的切线方程为,求函数的解析式.
(Ⅱ)当时,讨论函数的单调性.
19. (本小题满分12分) 如图:在三棱锥中,是直角三角形,,点分别为的中点.
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
20 .(本小题满分12分)某同学在研究相邻三个整数的算术平方根之间的关系时,发现以下三个式子均是正确的:①;②;③
(Ⅰ)请从以上三个式子中任选一个,根据
验证其正确性(注意不能近似计算);
(Ⅱ)请将此规律推广至一般情形,并证明之.
21. (本小题满分12分)已知函数,
(Ⅰ)讨论函数的零点个数;
(Ⅱ),不等式恒成立,求的取值范围.
22.(本小题满分12分)
已知函数
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)若对恒成立,求的最大值与的最小值.
“长汀、连城、武平、永定、漳平、上杭六地一中”联考
2018-2019学年第二学期半期考
高二数学(理科)答案
一、 选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
B
C
D
A
B
D
C
C
A
D
B
二、 填空题
13. 14. 15.(2) 16.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。
17.(本小题满分10分)
解:(Ⅰ)∵z1+z2=5+(a-4)i是实数,
∴a=4,z1=2+4i,
∴z1z2=(2+4i)(3-4i)=22+4i;.................5分
(Ⅱ)∵是纯虚数,
∴,
故..................10分
18. (本小题满分12分)
解(Ⅰ) .
由导数的几何意义得,于是.
由切点在直线上可知.
所以函数的解析式为.............5分
(Ⅱ).............6分
当时,,函数在区间及上为增函数,在区间上为减函数;............8分
当时,函数在区间上为增函数;............10分
当时,,函数在区间及上为增函数,在区间上为减函数.............12分
18. (本小题满分12分)
(Ⅰ)证明:连接BD、在△ABC中,∠B=90°.
∵AB=BC,点D为AC的中点,∴BD⊥AC.
∵E、F分别为AB、BC的中点,∴EF∥AC,
,又∵PB⊥面ABC,EF平面ABC,∴PB,
平面PBD............6分
(Ⅱ)∵∴PB=BC=2
如图建立空间直角坐标系,则E(1,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),则
=(-1,2,0), =(-1,0,2)
设平面PEC的一个法向量为=(x,y,z),
则=0, =0
即
令x=2,得y=1,z=1
∴=(2,1,1),由已知可得,向量=(2,0,0)为平面PBC 的法向量
∴cos<,>==
∴二面角E-PC-B的余弦值为 .............12分
20 (本小题满分12分)
解:(Ⅰ)验证①式成立:
..............................................................5分
(Ⅱ)一般结论为:若,则,证明如下:
要证:
只需证:
即证:
也就是证:
即证:
只需证:
即证:,显然成立
故............................................................12分
21. (本小题满分12分)
解:(1)∵.
当时,在上单调递减,且,
有且只有一个零点;
当时,令得.
由得的单调递增区间为;
由得的单调递减区间为.
的最小值为
当即时无零点
当 即时有一个零点
当 即时且,有两个零点...........................................................6分
(Ⅱ)∵,
则,即.
设,则问题转化为,
由,令
当单调递增
,单调递减
当时,函数有极大值,即最大值为.
∴..............................................12分
22.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)因为
当,从而在单调递增,
所以..................4分
(Ⅱ)令则
,由(Ⅰ)知,
所以函数在单调递增,故
所以的最大值......................6分
因为等价于
令则
(1) 当时,对任意恒成立,不符合题意;
(2) 当时,因为对任意,,所以在单调递减,所以对任意恒成立,符合题意;
(3) 当时,构造,则
所以在单调递增,又因为
所以存在唯一零点,使得,当,,在单调递减,当,,在在单调递增
所以,不符合题意,综上,的最小值为1..................11分
所以对恒成立,的最大值为,的最小值为1.......12分