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  • 2021-06-15 发布

2018-2019学年福建省龙岩市上杭县第一中学等六校高二下学期期中考试数学(理)试题 Word版

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‎“长汀、连城、武平、永定、漳平、上杭六地一中”联考 ‎2018-2019学年第二学期半期考 高二数学(理科)试题 ‎(考试时间:120分钟 总分:150分)‎ 命题人:上杭一中 刘忠寿 永定一中 吴玉辉 漳平一中 陈炳泉 ‎ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.‎ 注意事项:‎ ‎1. 答题前,考生务必用黑色铅字笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚,并请认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目,在规定的位置贴好条形码.‎ ‎2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选择其它答案标号,第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试卷上作答,答案无效.‎ 第Ⅰ卷(选择题 共60分)‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的。‎ ‎1.若复数为虚数单位)是纯虚数,则实数的值为( )‎ ‎ A.-2 B.‎4 ‎C.-6 D.6‎ ‎2.函数在点处的切线方程为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.函数的递增区间是( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.函数的图象如右图所示,则导函数的 x o y x o y x o y x o y ‎ ‎ 图象的大致形状是 ( )‎ ‎ ‎ ‎5.计算为( )‎ ‎ A.   B.   C.    D.‎ ‎6.用数学归纳法证明不等式的过程中,从到时左边需增加的代数式是 (  )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.已知函数在处取得极值10,则=( )‎ A.或 B.或 C. D.‎ ‎8.右下图是美丽的“勾股树”,它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图一是第1代“勾股树”,重复图一的作法,得到图二为第2代“勾股树”,以此类推,已知最大的正方形面积为1,则第代“勾股树”所有正方形的面积的和为( )‎ ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎9.一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v(t)=11-3t+(t的单位:s,v的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是( )‎ A.4+25ln5 B. C. D.‎ ‎10.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式中“”即代表无限次重复,但原式却是个定值,它可以通过方程 ‎,求得,类似上述过程,则( )‎ A. B.‎3 C.6 D.‎ 11. 函数在的最大值为2,则的取值范围是( )‎ A. ‎ B. ‎ C. D.‎ ‎12.已知是定义在上的增函数,其导函数满足,则下列结论正确的是( )‎ ‎ A.对于任意, B. 对于任意,‎ C.当且仅当 D. 当且仅当 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.在复平面内,复数对应的点的坐标为 ‎ ‎14.如图,在边长为1的正方形中随机撒一粒黄豆,‎ 则它落在阴影部分的概率为_______.‎ ‎15.定义A*B,B*C,C*D,D*B依次对应如图所示的4个图形:‎ ‎ ‎ 那么以下4个图形中,可以表示A*D的是 (填与图形对应的序号)‎ ‎ ‎ ‎16.任意,使得成立,则的取值范围是_______.‎ 三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。‎ ‎17. (本小题满分10分) 设复数(其中),. ‎ ‎(Ⅰ)若是实数,求的值;‎ ‎(Ⅱ)若是纯虚数,求. ‎ ‎18. (本小题满分12分) 已知函数,其中.‎ ‎(Ⅰ)若曲线在点处的切线方程为,求函数的解析式.‎ ‎(Ⅱ)当时,讨论函数的单调性.‎ ‎19. (本小题满分12分) 如图:在三棱锥中,是直角三角形,,点分别为的中点. (Ⅰ)求证:‎ ‎; (Ⅱ)求二面角的余弦值. ‎ ‎ ‎ ‎20 .(本小题满分12分)某同学在研究相邻三个整数的算术平方根之间的关系时,发现以下三个式子均是正确的:①;②;③ (Ⅰ)请从以上三个式子中任选一个,根据 验证其正确性(注意不能近似计算); (Ⅱ)请将此规律推广至一般情形,并证明之. ‎ ‎21. (本小题满分12分)已知函数,‎ ‎(Ⅰ)讨论函数的零点个数;‎ ‎(Ⅱ),不等式恒成立,求的取值范围.‎ ‎22.(本小题满分12分)‎ 已知函数 ‎(Ⅰ)求证:;‎ ‎(Ⅱ)若对恒成立,求的最大值与的最小值.‎ ‎ ‎ ‎“长汀、连城、武平、永定、漳平、上杭六地一中”联考 ‎2018-2019学年第二学期半期考 高二数学(理科)答案 一、 选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D B C D A B D C C A D B 二、 填空题 13. ‎ 14. 15.(2) 16. ‎ 三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。‎ ‎17.(本小题满分10分)‎ 解:(Ⅰ)∵z1+z2=5+(a-4)i是实数,‎ ‎∴a=4,z1=2+4i,‎ ‎∴z1z2=(2+4i)(3-4i)=22+4i;.................5分 ‎(Ⅱ)∵是纯虚数,‎ ‎∴,‎ 故..................10分 18. ‎(本小题满分12分)‎ 解(Ⅰ) .‎ 由导数的几何意义得,于是.‎ 由切点在直线上可知.‎ 所以函数的解析式为.............5分 ‎(Ⅱ).............6分 当时,,函数在区间及上为增函数,在区间上为减函数;............8分 当时,函数在区间上为增函数;............10分 当时,,函数在区间及上为增函数,在区间上为减函数.............12分 18. ‎(本小题满分12分)‎ ‎(Ⅰ)证明:连接BD、在△ABC中,∠B=90°. ∵AB=BC,点D为AC的中点,∴BD⊥AC. ∵E、F分别为AB、BC的中点,∴EF∥AC,‎ ‎ ,又∵PB⊥面ABC,EF平面ABC,∴PB,‎ 平面PBD............6分 ‎(Ⅱ)∵∴PB=BC=2‎ 如图建立空间直角坐标系,则E(1,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),则 ‎=(-1,2,0), =(-1,0,2)‎ 设平面PEC的一个法向量为=(x,y,z),‎ 则=0, =0‎ 即 令x=2,得y=1,z=1‎ ‎∴=(2,1,1),由已知可得,向量=(2,0,0)为平面PBC 的法向量 ‎∴cos<,>== ‎ ‎∴二面角E-PC-B的余弦值为 .............12分 ‎20 (本小题满分12分)‎ 解:(Ⅰ)验证①式成立:‎ ‎ ..............................................................5分 (Ⅱ)一般结论为:若,则,证明如下: 要证: 只需证: 即证: 也就是证: 即证:‎ 只需证: 即证:,显然成立 故............................................................12分 21. (本小题满分12分)‎ 解:(1)∵. 当时,在上单调递减,且,‎ 有且只有一个零点; 当时,令得. 由得的单调递增区间为; 由得的单调递减区间为.‎ 的最小值为 当即时无零点 当 即时有一个零点 当 即时且,有两个零点...........................................................6分 ‎ (Ⅱ)∵, 则,即. 设,则问题转化为, 由,令 当单调递增 ‎,单调递减 当时,函数有极大值,即最大值为. ∴..............................................12分 22.(本小题满分12分)‎ 解:(Ⅰ)因为 当,从而在单调递增,‎ 所以..................4分 ‎(Ⅱ)令则 ‎,由(Ⅰ)知,‎ 所以函数在单调递增,故 所以的最大值......................6分 因为等价于 令则 (1) 当时,对任意恒成立,不符合题意;‎ (2) 当时,因为对任意,,所以在单调递减,所以对任意恒成立,符合题意;‎ (3) 当时,构造,则 所以在单调递增,又因为 所以存在唯一零点,使得,当,,在单调递减,当,,在在单调递增 所以,不符合题意,综上,的最小值为1..................11分 所以对恒成立,的最大值为,的最小值为1.......12分

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