高中数学必修2同步练习：两点间的距离 5页

必修二 3.3.2 两点间的距离 ‎ 一、选择题 ‎1、设A，B是x轴上两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程为(　　)‎ A．x＋y－5＝0 B．2x－y－1＝0‎ C．2y－x－4＝0 D．2x＋y－7＝0‎ ‎2、已知A(－3,8)，B(2,2)，在x轴上有一点M，使得|MA|＋|MB|最短，则点M的坐标是(　　)‎ A．(－1,0) B．(1,0)‎ C． D． ‎3、已知点A(1,2)，B(3,1)，则到A，B两点距离相等的点的坐标满足的条件是(　　)‎ A．4x＋2y＝5 B．4x－2y＝5‎ C．x＋2y＝5 D．x－2y＝5‎ ‎4、设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于(　　)‎ A．5 B．4 C．2 D．2 ‎5、以A(1,5)，B(5,1)，C(－9，－9)为顶点的三角形是(　　)‎ A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．无法确定 ‎6、已知点A(－3,4)和B(0，b)，且|AB|＝5，则b等于(　　)‎ A．0或8 B．0或－8‎ C．0或6 D．0或－6‎ 二、填空题 ‎7、等腰△ABC的顶点是A(3,0)，底边长|BC|＝4，BC边的中点是D(5,4)，则此三角形的腰长为________．‎ ‎8、点M到x轴和到点N(－4,2)的距离都等于10，则点M的坐标为______________．‎ ‎9、已知点A(x,5)关于点C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是________．‎ 三、解答题 ‎10、求证：＋＋＋≥2．‎ ‎11、求函数y＝＋的最小值．‎ ‎12、求证：三角形的中位线长度等于底边长度的一半．‎ ‎13、已知直线l：y＝－2x＋6和点A(1，－1)，过点A作直线l1与直线l相交于B点，且|AB|＝5，求直线l1的方程．‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、A　[由已知得A(－1,0)，P(2,3)，由|PA|＝|PB|，得B(5,0)，由两点式得直线PB的方程为x＋y－5＝0．]‎ ‎2、B ‎　[(如图)A关于x轴对称点为 A′(－3，－8)，‎ 则A′B与x轴的交点即为M，‎ 求得M坐标为(1,0)．]‎ ‎3、B　[设到A、B距离相等的点P(x，y)，‎ 则由|PA|＝|PB|得，‎ ‎4x－2y＝5．]‎ ‎4、C　[设A(a,0)，B(0，b)，则＝2，＝－1，‎ 解得a＝4，b＝－2，‎ ‎∴|AB|＝2．]‎ ‎5、B ‎6、A　[由＝5，解得b＝0或8．]‎ 二、填空题 ‎7、2 解析　|BD|＝|BC|＝2，‎ ‎|AD|＝＝2．在Rt△ADB中，‎ 由勾股定理得腰长|AB|＝＝2．‎ ‎8、(2,10)或(－10,10)‎ 解析　设M(x，y)，则|y|＝＝10．‎ 解得或．‎ ‎9、 解析　由题意知解得 ‎∴d＝＝．‎ 三、解答题 ‎10、‎ 证明　如图所示，设点O(0,0)，A(x，y)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，则原不等式左边＝|OA|＋|AD|＋|AB|＋|AC|，‎ ‎∵|OA|＋|AC|≥|OC|＝，|AB|＋|AD|≥|BD|＝，‎ ‎∴|OA|＋|AD|＋|AB|＋|AC|≥2(当且仅当A是OC与BD的交点时等号成立)，故原不等式成立．‎ ‎11、解　‎ 原式可化为 y＝ ‎＋．‎ 考虑两点间的距离公式，如图所示，‎ 令A(4,2)，B(0,1)，P(x,0)，‎ 则上述问题可转化为：在x轴上求一点P(x,0)，‎ 使得|PA|＋|PB|最小．‎ 作点A(4,2)关于x轴的对称点A′(4，－2)，‎ 由图可直观得出 ‎|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，‎ 故|PA|＋|PB|的最小值为A′B的长度．‎ 由两点间的距离公式可得|A′B|＝＝5，‎ 所以函数y＝＋的最小值为5．‎ ‎12、证明　‎ 如图所示，D，E分别为边AC和BC的中点，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．‎ 设A(0,0)，B(c,0)，C(m，n)，‎ 则|AB|＝c，‎ 又由中点坐标公式，‎ 可得D，E，‎ 所以|DE|＝－＝，‎ 所以|DE|＝|AB|．‎ 即三角形的中位线长度等于底边长度的一半．‎ ‎13、解　由于B在l上，可设B点坐标为(x0，－2x0＋6)．‎ 由|AB|2＝(x0－1)2＋(－2x0＋7)2＝25，‎ 化简得x－6x0＋5＝0，解得x0＝1或5．‎ 当x0＝1时，AB方程为x＝1，‎ 当x0＝5时，AB方程为3x＋4y＋1＝0．‎ 综上，直线l1的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0．‎